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页数:478

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出版时间:2006-6

价格:36.00元

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isbn号码:9787561220887

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现代数学思想与方法 本书导读：跨越基础，直击前沿的数学思维之旅 第一部分：数学的逻辑基石与结构之美 本卷聚焦于构建现代数学大厦所依赖的逻辑框架与基本结构。我们深知，扎实的逻辑基础是进行高阶数学研究的必要条件。 第一章：集合论的完备性与公理化基础 本章将不再停留于初识集合的基本概念，而是深入探讨策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的公理系统。我们将详细剖析每一条公理（如分离公理、替换公理、选择公理等）在集合论体系中扮演的角色，特别是选择公理（AC）在构造性数学与经典数学中的不同影响。我们不仅会阐述这些公理如何确保集合论的无矛盾性（在可证范围内的探索），更会引导读者思考大基数理论的引入如何扩展我们对无穷集合的理解。我们将通过具体的实例，如良序定理与良基原理的等价性证明，展示公理系统内部的内在联系。 第二章：数系的构造与超限归纳法 本章致力于从最基础的逻辑原子出发，构造出自然数、整数、有理数、实数乃至复数域的严谨过程。我们采用冯·诺依曼序数的方法来定义自然数，确保每一步构造都可溯源至逻辑公理。在实数构造部分，我们将侧重于戴德金分割与柯西序列两种方法的精细对比，分析它们在拓扑性质完备性上的差异。此外，本章将系统介绍超限归纳法和超限递归定理，这是处理超出自然数范围的数学对象（如序数和基数）进行定义的关键工具。通过对序数 $omega$ 及其后续序数的构造，读者将能深刻理解无穷的“层次结构”。 第三章：范畴论的抽象视角 本章是全书最抽象但也最具统一性的部分。范畴论被誉为数学的“胶水”。我们首先界定范畴、函子和自然变换的基本概念。随后，我们将深入探讨极限与余极限在不同范畴中的具体表现形式（如积、拉回、推出等）。本章的重点在于阿贝尔范畴的概念及其在代数K理论中的应用背景，特别是如何利用同构（Isomorphism）而非具体元素来描述结构之间的关系。读者将学习如何从一个宏观的、关系性的角度重构传统的群论、环论和拓扑学的结构。 第二部分：代数结构的深化与张量分析 本部分将代数知识从初级的群环域提升至更高阶的模与表示论，并引入处理多线性关系的张量方法。 第四章：模论与同调代数的萌芽 抛弃对有限群和域上向量空间的关注，本章转向模（Module）这一更具普遍性的结构。我们将详细分析自由模、投射模和内射模的性质，并严格定义链复形的概念。在讨论模的结构分解时，我们将侧重于同调代数的初步概念，如短精确序列及其在提取模结构信息中的应用。通过张量积（Tensor Product）的定义，展示如何在一个域上的向量空间概念推广到任意环上的模之间的“乘积”结构。 第五章：表示论导论：对称性的量化 本章将群表示论置于核心地位。我们定义群表示及其等价性，并引入马施克定理在半单群上的应用。我们将重点分析不可约表示的性质，并利用群特征（Character）来计算表示的维度和分解情况。本章将结合群代数的结构理论（特别是与$mathbb{C}$上的群代数），解释如何通过对代数结构的分析来反推群本身的性质，这为研究对称性提供了强大的分析工具。 第六章：多线性代数与张量分析 本章专门处理涉及多个变量的线性关系，这是理解微分几何和物理学（如相对论、连续介质力学）的桥梁。我们将区别协变张量（下指标）与反变张量（上指标），并解释它们在坐标变换下的行为。本章将严谨定义张量积和张量积的交换律，并讨论张量积与同态空间的对偶性。最后，我们将介绍张量分解的基本思想，尽管不涉及复杂的数值算法，但会阐明其在数据降维和结构识别中的理论意义。 第三部分：分析的严谨性与拓扑的广度 本部分将分析学的精确性与拓扑学的几何直观相结合，构建现代分析的框架。 第七章：度量空间与泛函分析的起点 本书不再满足于 $mathbb{R}^n$ 上的微积分。本章从度量空间的抽象定义出发，建立收敛、完备性、紧致性等拓扑概念的精确度量。我们将深入讨论巴拿赫空间（完备的赋范向量空间），这是泛函分析的基石。重点分析等距同构以及开集、闭集在不同度量空间中的性质。通过对Baire范畴定理的详细阐述，揭示完备性在证明许多关键存在性定理中的核心作用。 第八章：拓扑空间与连续性的推广 本章构建拓扑空间的通用框架。我们将分析开集、闭集、邻域以及开/闭集的构造。重点研究连续函数的拓扑定义，并阐述同胚概念在区分拓扑空间本质差异上的优越性。本章将特别关注连通性和紧致性（使用开复盖的语言），并讨论它们在度量空间中的重要推论，例如Heine-Borel定理的拓扑版本。 第九章：测度论与勒贝格积分 本章是现代积分理论的基石。我们从外测度的构造出发，系统地定义$sigma$-代数和勒贝格可测集。严格构建简单函数和非负可测函数的积分，并最终推广到一般可测函数的积分。本章将详细证明单调收敛定理（MCT）和勒贝格控制收敛定理（DCT），这些定理是分析学中处理极限与积分顺序交换问题的核心工具，也是概率论的理论基础。 结语：数学的统一视野 本书旨在提供一个统一的视角，展示集合论的逻辑、代数的结构、分析的严谨性与拓扑的广度是如何相互交织，共同构筑起现代数学的宏伟图景。它要求读者具备较强的抽象思维能力，并乐于在不同数学分支间架设桥梁，为未来的高级研究打下坚实的思维基础。

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在准备高等代数考研的过程中，我曾经一度陷入了知识的泥潭，感觉所有的概念都混杂在一起，难以区分。直到我偶然发现了《高等代数考研教案》这本书，才仿佛拨开了迷雾。这本书最大的亮点在于，它不是简单地罗列公式和定理，而是将它们有机地串联起来，形成了一个清晰的知识网络。书中的语言风格非常亲切，而且善于使用比喻和类比来解释抽象的概念，让我在理解时感到轻松许多。我尤其喜欢它在讲解线性空间和线性变换时，会详细地介绍它们在不同领域中的应用，这极大地激发了我学习的兴趣，让我不再觉得高等代数是一门枯燥的学科。

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我一直觉得，学习高等代数就像是在攀登一座高耸入云的山峰，需要坚实的步伐和清晰的指引。《高等代数考研教案》这本书，对我来说，就是那位最可靠的向导。它并没有把每一个知识点都写成一篇冗长的学术论文，而是用一种更适合考研学习的语言风格，深入浅出地讲解。我非常喜欢书中对每一个概念的界定，清晰明了，并且会立刻给出相应的例子来帮助我们理解。在遇到那些比较抽象的定理时，它会用更通俗的语言去解释定理的内涵，并且会联系一些实际的应用场景，让我觉得这些理论知识并非空中楼阁，而是具有实际意义的。

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对于我这样数学基础相对薄弱的学生来说，高等代数一直是我的“软肋”。每次看到那些复杂的矩阵运算，或者抽象的群论概念，都感觉头昏脑涨。然而，当我拿到《高等代数考研教案》这本书时，我惊喜地发现，它并没有让我感到畏惧。书中的逻辑非常清晰，一步步地引导我理解那些看似复杂的概念。它不仅仅是知识的罗列，更重要的是，它教会了我如何去思考，如何去分析问题。例题的选取也非常有代表性，涵盖了考研的重点和难点，并且每道例题的解析都详尽到位，让我能够理解解题思路，而不仅仅是记住答案。我尤其喜欢书中对一些证明过程的拆解，将一个看似冗长的证明分解成几个简单的小步骤，让我能够更容易地掌握证明的技巧。

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作为一名数学专业本科生，我深知高等代数这门学科的难度和重要性。在接触《高等代数考研教案》之前，我曾尝试过多种学习方法和教材，但效果都不是很理想。这本书最打动我的地方在于，它能够将抽象的理论与具体的解题技巧完美地结合起来。书中的内容编排非常科学，从最基础的群、环、域的概念，到线性空间、线性变换，再到二次型等等，每一个章节都过渡自然，逻辑严密。我特别欣赏书中对一些关键定理的证明，不仅给出了严谨的推导过程，还会用图示或者更直观的比喻来帮助我们理解证明的思路。这对于我理解那些抽象的数学证明大有裨益。

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“高代”这两个字，对我而言，简直就是大学四年里最令我头疼的三个字。尤其是考研的这个阶段，更是如同洪水猛兽一般压在我心头。无数个夜晚，我对着那些抽象的概念、复杂的定理，感觉自己像是置身于一片迷雾之中，伸手不见五指。我尝试过各种不同的教材，从最基础的入门到号称“经典”的进阶，但总感觉隔靴搔痒，无法真正领会其中的精髓。那些证明过程，动辄便是十几个符号的堆砌，看得我眼花缭乱，却抓不住核心的思路。习题更是难如登天，一道题可能要花上几个小时去啃，最终也未必能得出正确答案。我开始怀疑自己是否真的适合这条路，无数次想要放弃，但心中的不甘又让我咬牙坚持。我渴望找到一本能够真正指引我走出迷茫的书，一本能够化繁为简，让我重拾信心的“救星”。它不仅仅是一本书，更是我考研路上的一盏明灯，是我突破瓶颈的关键。

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作为一个多年在数学海洋中遨游的“老兵”，我对各类数学书籍都有着极为挑剔的眼光。坦白说，在翻阅《高等代数考研教案》之前，我对市面上充斥的所谓“考研秘籍”早已失去了耐心。大多数书籍要么是照搬原文，要么是对概念的生硬罗列，缺乏深入的解析和清晰的脉络。直到我偶然接触到这本书，才仿佛拨云见日。它并没有直接灌输知识点，而是像一位经验丰富的老师，娓娓道来，循序渐进地引导读者去理解每一个概念的由来和应用。书中的例题选择极为精妙，涵盖了从基础到拔高的各个层次，并且对解题思路进行了详尽的剖析，让我能够窥探到解题者的“大脑”，学习他们的思考方式。更难能可贵的是，本书在处理线性代数中常见的“陷阱”和易错点时，有着极为独到的见解，能够提前预警，帮助我们规避不必要的失误，这种“先见之明”对于备考至关重要。

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在我开始备考高等代数的时候，我感到非常焦虑。市面上的参考书琳琅满目，但质量参差不齐，很多书要么内容过于晦涩难懂，要么就是知识点讲解不够系统。后来，一位学长向我推荐了《高等代数考研教案》。这本书给我带来的最大震撼，就是它对每一个知识点的深入剖析和梳理。它不是简单地把定理写出来，而是会从概念的起源、发展的脉络，以及在解决问题中的实际应用等方面进行讲解，让读者不仅知其然，更知其所以然。书中的逻辑框架非常清晰，能够帮助我建立起高等代数完整的知识体系。尤其是在处理那些需要融会贯通的知识点时，这本书的引导作用尤为明显。

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每当我翻开《高等代数考研教案》，总会有一种莫名的亲切感油然而生。这不是那种枯燥乏味的教科书，而更像是一位循循善诱的良师益友。它没有使用过于生硬的语言，而是用一种更易于理解的方式，将那些高深莫测的代数概念娓娓道来。我尤其欣赏它在讲解抽象概念时，常常会联系实际的例子或者历史的演变过程，让这些概念不再是冷冰冰的符号，而是鲜活的、有生命力的知识。比如，在讲到向量空间的时候，书中不仅仅介绍了定义和性质，还生动地描述了它在物理学、工程学等领域的应用，这让我一下子就明白了学习它的意义所在，而不是为了考试而考试。那种豁然开朗的感觉，是其他教材无法给予的。

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我一直认为，一本好的考研辅导书，不仅仅是要包含所有的知识点，更重要的是要能激发读者的学习兴趣，并且提供清晰的学习路径。《高等代数考研教案》无疑做到了这一点。它没有给我一种“硬塞”知识的感觉，反而更像是在跟我一起探索高等代数的奥秘。书中的语言风格非常活泼，并且穿插了一些有趣的数学史料或者应用场景，让学习过程不再枯燥。例如，在讲到特征值和特征向量时，它会联系到傅里叶变换的背景，让我瞬间觉得这门学科离我生活更近了。而且，本书在练习题的设计上也非常巧妙，既有巩固基础的题目，也有挑战思维的难题，能够有效地帮助我提升解题能力。

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我在准备高等代数考研的漫长过程中，曾经无数次地感到迷茫和无助。无数的公式、定理、证明，像一座座难以逾越的山峰，让我望而却步。市面上很多教材，虽然内容详尽，但往往过于学术化，对于基础薄弱的学生来说，简直是天书。直到我遇到了《高等代数考研教案》，才真正找到了方向。这本书最大的特点在于，它并非简单地堆砌知识点，而是深入浅出，层层递进地引导读者理解高等代数的核心思想。它能够抓住每一个重要概念的精髓，用通俗易懂的语言将其阐释清楚，并且通过大量的精选例题，帮助我们巩固和运用所学知识。尤其是在处理那些容易混淆的知识点时，这本书的解析尤为透彻，能够精准地指出问题所在，并提供有效的解决方案。

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考研第一轮全靠它

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很好 很好 总之很好

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题目编集的非常详细全面，能扎扎实实刷完感觉高等代数无忧矣……

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很好 很好 总之很好

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考研第一轮全靠它