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出版者:高等教育出版社

作者:同济大学应用数学系

出品人:

页数:723

译者:

出版时间:2004-5

价格:26.1

装帧:简裝本

isbn号码:9787040139938

丛书系列:

图书标签:

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现代高等代数研究：概念、结构与应用 作者： 钱宇，李明 出版社： 科学技术出版社 装帧： 精装 页码： 850页 定价： 128.00元 ISBN： 978-7-5045-8876-3 --- 内容简介 《现代高等代数研究：概念、结构与应用》是一部面向数学专业本科生高年级、研究生以及对抽象代数有浓厚兴趣的读者编写的深入性教材与专著。本书旨在超越传统线性代数课程的范畴，系统而严谨地介绍抽象代数的核心概念、深刻的结构理论及其在现代数学分支中的广泛应用。全书内容组织遵循从具体到抽象、由浅入深的原则，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾清晰的逻辑推导和丰富的实例支撑。 本书的结构分为四大核心部分：群论基础与结构理论、环与域的深入探讨、模与向量空间的推广，以及伽罗瓦理论的现代视角。 第一部分：群论基础与结构理论（第1章至第4章） 本部分奠定了整个抽象代数研究的基石——群论。 第1章：群的基本概念与例子。 详细阐述了群的定义、子群、陪集与左不变子群。重点分析了常见群的例子，如对称群 ($S_n$)、二面体群 ($D_n$) 和一般线性群 ($ ext{GL}_n(F)$)，并引入了同态、同构的概念，使读者对代数结构保持的性质有初步认识。 第2章：正规子群与商群。 深入探讨了正规子群的性质，并以此为基础，构建了商群（或称因子群）。拉格朗日定理的证明及其在有限群分类中的初步应用被详尽解析。 第3章：群作用与Sylow定理。 这一章是结构理论的核心。详细讲解了群作用的概念、轨道和稳定子，特别是Cayley定理（任一群都同构于一个置换群）的构造性证明。随后，本书花了大量篇幅来推导和证明Sylow三定理，这是研究有限群结构最强有力的工具。定理的推论部分，如Cauchy定理、nilpotent群和simple群的初步分析，为后续章节的应用奠定了基础。 第4章：群的构造与分解。 讨论了如何从已知的群构造新的群。重点包括直积（内直积与外直积）、半直积的构造，以及最重要的分类定理：有限生成阿贝尔群的基本定理。该定理不仅给出了有限阿贝尔群的标准分解形式（初等因子分解），还通过Smith范式引出了Smith正规形，这对理解矩阵理论也有间接帮助。 第二部分：环与域的深入探讨（第5章至第7章） 在掌握了群的结构后，本书转向了具有更复杂运算的代数结构——环。 第5章：环的基本结构与同态。 定义了环、交换环、整环和域。侧重于子环、理想（左、右、双边理想）的性质，并引入了商环的概念。通过环同态，建立了同态基本定理。 第6章：特殊类型的环。 这一章集中讨论了具有特定性质的环：主理想域 (PID)、唯一因子域 (UFD) 和欧几里得环 (ED)。本书细致地阐述了ED $Rightarrow$ PID $Rightarrow$ UFD 的包含关系，并通过反例（如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$）说明了这些性质间的严格区分。 第7章：多项式环与域扩张。 重点研究了在域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ 的结构，证明了 $F[x]$ 是一个欧几里得环，进而是一个PID和UFD。随后引入了域的扩张（有限扩张、代数扩张、超越扩张），并首次引入了最小多项式的概念，为后续的伽罗瓦理论做好铺垫。 第三部分：模与向量空间的推广（第8章至第9章） 本部分将线性代数的概念提升到更一般的代数框架下，引入了模的理论。 第8章：模的基本理论。 将向量空间的标量域替换为环 $R$，从而定义了 $R$-模。讲解了子模、模同态、商模以及模的直和。通过模的角度重新审视了向量空间，使读者理解到向量空间仅是“域上的模”这一特殊情况。 第9章：有限生成阿贝尔群的再探讨与弗氏标准型。 基于模的理论，本书对有限生成阿贝尔群进行了更高级的分解。随后，本书将线性代数中相似矩阵的标准形理论（如Jordan标准型）提升到更一般的环上。本书详细阐述了如何在同一个域上的有限维向量空间中，通过构造伴随矩阵和最小多项式，推导出初等因子理论和弗氏标准型（Rational Canonical Form），这是矩阵理论中比Jordan标准型更具一般性的结果。 第四部分：伽罗瓦理论的现代视角（第10章至第11章） 本部分是全书的高潮，将群论、环论和域论完美地结合在一起。 第10章：伽罗瓦群与基本定理。 详细定义了扩张的伽罗瓦群 $G(L/K)$。重点分析了正规扩张、可分扩张的概念，并建立了伽罗瓦基本定理的严格证明。该定理精确描述了中间域与伽罗瓦群的子群之间的反序对应关系。 第11章：伽罗瓦理论的应用。 利用伽罗瓦理论的强大工具，本书完成了几个经典的数学证明： 1. 证明了“五次及以上的一般多项式不可用根式求解”的结论（通过分析 $S_5$ 的非可解性）。 2. 证明了“正多边形可尺规作图”的充要条件（与二次域扩张相关）。 3. 探讨了有限域的结构和分类。 本书特色 1. 结构深度融合： 本书的独特之处在于它不将群、环、域视为孤立的学科，而是通过模理论和域扩张理论，展示了它们之间深刻的内在联系和相互依存性。 2. 理论与应用的平衡： 每章的核心理论推导后，均附有详细的“应用聚焦”部分，展示了这些抽象结构在密码学（如有限域在椭圆曲线密码中的应用）、代数拓扑（如基本群的概念引入）以及经典代数几何中的初步体现。 3. 严谨的证明风格： 继承了经典代数著作的严谨性，所有关键定理均提供完整且可追溯的证明路径，适合希望建立坚实理论基础的读者。 4. 习题设计： 书末附有大量的课后习题，分为“概念辨析”、“计算与构造”、“定理证明”三类，以帮助读者巩固理解和提升解决问题的能力。 《现代高等代数研究》致力于成为读者通往更高级数学领域——如代数几何、表示论和代数数论——的坚实桥梁。

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