具体描述
《大学数学简明教程》是教育部高职高专规划教材。
在内容编排上，对传统教材进行了较大改革，吸取了西方教材的某些特点，将数学的应用贯穿始终，《大学数学简明教程》涉及的基本内容分成三篇：应用微积分（第1～7章）、微积分计算与理论（第8～10章）应用数学基础，共12章，函数、方程与图形、极限与连续的概念、矩阵及其应用、概率论与数理统计等内容。应用微积分部分侧重介绍数学的概念及其相关实际背景，突出数学概念的图形与数值特性，同时介绍数学的应用与简单数学建模。作为第一篇的补充，微积分计算与理论部分则侧重数学概念的代数特性，借以充实第一篇数学理论与计算方面的不足。应用数学基础是数学应用必不可少的建模工具与理论基础，书中涉及线性代数、概率论与数理统计的部分内容。
《大学数学简明教程》适用于高职高专工科各专业，还可作为工程技术人员的参考书，也可供经管类各专业选用。
好的，这是一份关于一本名为《大学数学简明教程》之外的，关于另一本可能存在的数学著作的详细图书简介，旨在提供与《大学数学简明教程》内容不重叠的详细描述。 --- 《现代分析基础与应用：从实数系统到微分几何入门》 图书简介 作者： [虚构作者名 A. N. Mathematician] 出版社： [虚构出版社名：科学前沿出版社] ISBN： [虚构 ISBN 号码] 页数： 约 780 页 装帧： 精装 目标读者： 数学、物理、工程、计算机科学、经济学等领域的本科高年级学生、研究生，以及对严谨数学分析感兴趣的自学者。 --- 内容概述与特色 本书《现代分析基础与应用：从实数系统到微分几何入门》旨在为读者提供一个深入、严谨且兼具应用视野的现代数学分析框架。它不仅是对传统微积分概念的简单重复或“简明”总结，而是侧重于建立分析学的理论根基，并逐步过渡到更高级的拓扑和几何分析领域。本书的编写哲学是“先求严谨，后谋应用”，力求在保证数学形式精确性的同时，清晰阐述核心概念的直观意义及其在现代科学中的地位。 全书共分为五大部分，共计二十章，结构紧凑而内容饱满。 第一部分：实数系统的公理化基础与拓扑结构（第 1-4 章） 本部分是全书的基石，其深度远超一般“简明教程”对实数系的介绍。 第 1 章：皮亚诺公理与实数域的构造 详细论述了自然数集的构造，并通过戴德金截或柯西序列的方法严谨地构建出实数域 $mathbb{R}$。重点在于证明 $mathbb{R}$ 上的全序性和完备性（单调收敛定理、中值定理的完备性推论）。 第 2 章：度量空间与拓扑空间引论 引入了度量空间的概念，如巴拿赫空间和希尔伯特空间的部分结构。详细探讨了开集、闭集、紧致性（Heine-Borel 定理的推广）、连通性的定义及其在函数空间中的表现。本章强调拓扑结构的抽象视角，而非仅仅停留在欧几里得空间。 第 3 章：序列、级数与收敛的拓扑视角 重新审视了数列的极限，使用邻域和拓扑邻域的概念进行重新定义。重点讨论了级数的一般收敛判据，特别是对于函数项级数（如傅立叶级数的前期讨论）的均匀收敛性。 第 4 章：连续性与一致连续性 深入剖析了连续函数的性质，特别是从拓扑空间到拓扑空间的映射。详细区分了点态收敛与一致收敛，并解释了一致连续性在保证极限运算中的重要性，这为后续的微积分奠定了严格的理论基础。 第二部分：一元函数微积分的深入探究（第 5-7 章） 此部分在基础求导和积分的基础上，引入了更高级的分析工具。 第 5 章：导数的精确定义与微分中值定理的严密证明 专注于导数的限制性定义，并对罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理给出清晰的拓扑证明路径。引入了高阶导数的概念及其在泰勒展开中的应用。 第 6 章：黎曼积分的精细分析 详述了黎曼可积的充要条件（勒贝格控制测度思想的初步渗透），并系统性地讨论了积分的性质，包括积分的极限交换问题。重点分析了广义积分（反常积分）的收敛判据。 第 7 章：初等函数的超越性探讨 区别于简单公式罗列，本章通过极限定义（如 $exp(x)$ 的定义）来严谨地定义指数函数、对数函数和三角函数，并探讨了它们的微分和积分性质。 第三部分：多元微积分与向量分析的严格化（第 8-11 章） 本部分侧重于多变量函数的微分和积分，特别关注坐标系转换和场论的基础。 第 8 章：多变量函数的偏导数与全微分 严格区分偏导数与全微分，详述了可微性的必要条件与充分条件。引入链式法则在复杂复合函数中的推广应用。 第 9 章：多重积分与坐标变换 系统介绍二重、三重积分，深入探讨雅可比行列式在积分变换中的作用。本章包含对笛卡尔、柱面、球面坐标系变换的严格推导，并对积分区域的选取提供指导。 第 10 章：线积分、面积分与格林、斯托克斯定理 详细阐述向量场的线积分和面积分，并对格林公式、斯托克斯公式及高斯散度定理在二维和三维空间中的精确表述和应用进行深入讲解。 第 11 章：微分形式与外微分（微积分的几何语言） 引入微分形式（1-形式、2-形式等）的概念，将前述的梯度、旋度和散度统一在外微分 ($ ext{d}$) 的框架下，为后续微分几何做铺垫。 第四部分：序列、级数与函数空间分析（第 12-15 章） 本部分是连接基础分析与泛函分析的关键桥梁，聚焦于函数集合的收敛性。 第 12 章：函数序列与函数级数 深入分析点收敛、一致收敛以及收敛的拓扑含义。重点讲解魏尔斯特拉斯 M 检验法及其在幂级数展开中的应用。 第 13 章：傅立叶级数与周期函数的分析表示 不仅是计算，更侧重于傅立叶级数的收敛定理（狄利克雷条件），并讨论其在求解偏微分方程中的初步应用，强调函数空间的完备性概念。 第 14 章：勒贝格积分基础（选讲与概述） 为高阶课程做准备，本章提供勒贝格测度和勒贝格积分的直观介绍，解释其相较于黎曼积分的优越性，着重于可测集和可测函数的概念。 第 15 章：等度连续性与 Arzelà-Ascoli 定理 这是保证函数序列在紧集上存在一致收敛子序列的关键定理。详细分析了等度连续性的概念及其在微分方程解的存在性证明中的作用。 第五部分：微分几何的初步接触（第 16-20 章） 本书的收官部分，将读者从抽象的分析带入到现代几何学的直观世界。 第 16 章：曲线的微分几何 讨论空间曲线的曲率和挠率，引入弧长参数化，并详细推导自然坐标系（TNB 标架）。 第 17 章：曲面的基础参数化与第一、第二基本形式 将分析工具推广到二维曲面，定义曲面的第一基本形式（度量张量）及其在计算长度和面积中的应用。 第 18 章：曲面的第二基本形式与曲率概念 深入探讨曲面的第二基本形式，定义主曲率、高斯曲率和平均曲率。着重阐述高斯绝妙定理的几何意义。 第 19 章：测地线与变分法简介 引入测地线的概念，作为曲面上“最短路径”，并介绍欧拉-拉格朗日方程作为变分法的基础工具，为物理学中的作用量原理提供分析基础。 第 20 章：流形概念的初步介绍 简要介绍光滑流形（Manifold）的概念，将局部坐标系下的分析工具提升到整体几何结构的层面，为读者衔接更高级的微分几何课程做好思维准备。 --- 本书的独特价值 本书的核心优势在于其分析的深度与现代化的视角。它避免了对基础微积分工具的重复叙述，而是将重点放在证明的严谨性、拓扑思想的贯穿，以及分析工具向几何和函数空间的过渡。书中包含了大量精选的习题，这些习题往往需要综合运用多章节的概念，旨在培养读者独立思考和构建数学理论的能力，而非仅仅进行机械计算。 本书是为那些不满足于仅会“计算”微积分，而渴望理解数学“为什么”的读者量身定制的深度分析入门教材。
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