组合论（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:科学

作者:魏万迪

出品人:

页数:456

译者:

出版时间:1987-12

价格:98.00元

装帧:

isbn号码:9787030292919

丛书系列:中国科学技术经典文库 数学卷

图书标签:

• 组合设计
• 组合学
• 数学
• 组合数学
• 离散数学
• 图论
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 组合优化
• 排列组合
• 数学分析
• 算法

《组合数学基础——枚举与生成函数》 本书是《组合数学基础》系列的第二卷，在前一卷（《组合数学基础——集合与图论》）的基础上，深入探讨组合数学的核心分支——枚举和生成函数。作为组合数学的基石，这两个概念不仅是理解复杂计数问题的关键，更是连接离散数学与其他学科，如算法设计、概率论、统计物理甚至生物信息学的桥梁。 第一部分：枚举学的进阶技巧 本部分将带领读者从基础的排列组合概念，迈向更精妙的计数方法。我们将详细阐述以下几个核心主题： 容斥原理的深度应用： 在涵盖基本容斥原理（包含-排除原则）之后，我们将深入探讨其更复杂的变体和推广。这包括利用容斥原理解决带有“至少”、“至多”条件的计数问题，以及如何将容斥原理应用于解决具有特定性质的集合的计数，例如求解涉及“互斥”或“部分重叠”的计数问题。我们将通过一系列精心设计的实例，展示容斥原理在解决实际问题中的强大力量，例如计算非邻接元素排列、染色问题以及其他涉及限制条件的组合计数。 递推关系与母函数： 递推关系是描述序列项之间关系的重要工具。本书将系统地介绍如何建立和求解不同类型的递推关系，包括线性齐次递推关系（常系数和变系数）、线性非齐次递推关系，以及非线性递推关系。我们将重点讲解求解这些递推关系的方法，包括特征方程法、生成函数法（将在后文详述）以及其他一些迭代或组合技巧。通过大量来自实际问题的例子，例如斐波那契数列、Catalan数、Stirling数等的推导和求解，读者将深刻理解递推关系的建模能力。 斯特林数与贝尔数： 斯特林数是组合计数中非常重要的一类数，它们描述了将一个集合划分为若干个非空子集的方式。本书将详细介绍第一类斯特林数（无符号和有符号）和第二类斯特林数，并阐述它们在置换、整数划分以及其他组合对象计数中的作用。例如，第一类斯特林数与置换的循环分解有关，而第二类斯特林数则与集合的划分有关。我们将推导它们的递推公式和一些重要的恒等式，并展示它们在具体问题中的应用，例如计算将n个元素划分成k个非空子集的方法数，或计算n个元素的置换中恰好包含k个循环的方法数。 贝尔数则表示将一个n元集合划分为若干个非空子集的总数。本书将探讨贝尔数的递推公式、指数生成函数，以及它与斯特林数之间的关系。通过对贝尔数的深入分析，读者将能解决更广泛的集合划分问题。 图的计数： 在前一卷的基础上，本卷将进一步探讨图论中的计数问题。我们将学习如何对特定类型的图进行计数，例如树的计数（Cayley公式的推广）、连通图的计数、有向图的计数等。我们将利用Burnside引理和Polya计数定理来处理具有对称性的图的计数问题，例如计算具有特定同构关系的图的数量，或者计算着色后的图的数量。 第二部分：生成函数的强大魔力 生成函数是组合数学中最具表现力的工具之一，它将抽象的计数问题转化为代数方程的运算。本部分将引领读者领略生成函数的魅力： 普通生成函数（OGF）的理论与应用： 我们将从定义普通生成函数入手，详细阐述如何利用多项式乘法、幂级数展开以及代数运算来求解组合计数问题。本书将覆盖以下关键内容： 组合对象的生成函数： 学习如何为各种组合对象，如排列、组合、二叉树、Dyck路径等构造对应的生成函数。 代数运算与组合意义： 深入理解加法、乘法、求和、求导、积分等代数运算在生成函数中对应的组合意义。例如，两个生成函数的乘积对应于两个独立选择过程的组合，而求和则对应于互斥选项的组合。 求解递推关系： 将生成函数方法应用于求解前文介绍的各类递推关系，展示其简洁性和高效性。 恒等式与证明： 利用生成函数来证明组合恒等式，将复杂的组合证明转化为代数推导。 指数生成函数（EGF）的深入探讨： 对于涉及有序排列、带标签元素或具有特定结构（如单点、边）的组合对象，指数生成函数提供了更自然的建模方式。本书将详细讲解指数生成函数的定义、性质及其在以下方面的应用： 带标签组合对象的计数： 例如，计算n个带标签元素的排列、置换，以及其他与标签相关的组合结构。 图论计数： 利用指数生成函数对具有特定结构的图进行计数，例如有根树、森林等。 与普通生成函数的联系与转换： 探讨指数生成函数与普通生成函数之间的关系，以及在何种情况下选择何种生成函数更为合适。 广义生成函数与双生成函数： 在掌握了普通生成函数和指数生成函数之后，我们将触及更高级的生成函数概念。 广义生成函数： 探讨其定义和应用，尤其是在处理具有多种属性或更复杂结构的组合对象时。 双生成函数： 介绍双生成函数如何同时对两个参数进行编码，以及它在解决涉及两个变量的组合计数问题中的优势，例如在网格路径计数、二维序列计数等方面。 第三部分：组合计数与其他领域的交汇 本部分将展示组合数学的核心思想如何渗透到其他数学分支和计算机科学领域： 概率论中的组合计数： 许多概率分布的推导和分析都依赖于组合计数。我们将展示如何利用组合学原理来计算离散概率分布的概率质量函数，例如二项分布、超几何分布、泊松分布等的推导。同时，也将探讨组合方法在期望、方差计算中的应用。 算法分析与组合学： 许多算法的性能分析（如时间复杂度、空间复杂度）本质上是组合计数问题。我们将介绍如何使用组合学方法来分析常见算法的运行次数，例如排序算法、搜索算法、图算法的平均情况分析。生成函数在这里也将扮演重要角色，例如分析分治算法的复杂度。 编码理论中的组合对象： 组合学在编码理论中扮演着关键角色，用于构造和分析纠错码。本书将简要介绍一些基本的组合结构在编码理论中的应用，例如线性码、循环码的构造与计数，以及与组合设计相关的码。 本书的特点： 循序渐进的结构： 从基础概念到高级主题，确保读者能够逐步建立起扎实的组合数学知识体系。 大量的例题和习题： 每一章节都配有丰富的例题，详细展示解题思路和方法，并提供大量习题供读者练习巩固。 严谨的数学表述： 在保证可读性的同时，力求数学表述的严谨性。 注重实际应用： 强调组合数学在计算机科学、概率论等领域的实际应用，激发读者的学习兴趣。 通过对本书的学习，读者将能够熟练掌握组合数学中的核心工具和技术，解决各种复杂的计数问题，并为进一步深入研究离散数学、算法理论、概率统计等相关领域打下坚实的基础。本书适合作为高等院校计算机科学、数学、信息科学等专业本科生和研究生的教材或参考书，也适合对组合数学感兴趣的自学者。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的难度曲线略显陡峭，尤其对于自学者而言，可能需要反复咀嚼才能真正领会其精髓。我特别想提一下关于代数方法在组合学中的应用这一部分。作者没有回避那些复杂的代数工具，反而将它们视为解决特定问题的利器。例如，对于二项式系数的恒等式证明，书中展示了如何运用牛顿级数或者更底层的域论知识来进行优雅的推导，这完全颠覆了我过去只靠“凑项”和“构造”来解决问题的习惯。这种层次的提升，让我对数学工具箱的认识得到了极大的丰富。书中穿插的“历史背景”小节也很有趣，它让读者知道这些看似抽象的概念最初是如何被人类历史上的数学家们提出的，增加了阅读的趣味性。不过，我必须指出，对初学者来说，直接啃这本书可能会感到吃力，建议最好搭配一套更基础的离散数学教材作为辅助参考，以便在遇到术语障碍时能够迅速回调。但对于进阶学习者来说，这本书提供的深度和广度是其他同类书籍难以匹敌的。

评分☆☆☆☆☆

这本《组合论（下册）》简直是理论数学爱好者的福音，尤其是对于那些对离散结构和计数问题有着浓厚兴趣的人来说。书中的内容深度远超我之前的预期，它不仅仅停留在基础的排列组合公式上，而是深入到了更抽象、更精妙的领域。比如，关于生成函数（Generating Functions）的探讨，简直是神来之笔。作者没有仅仅给出公式，而是通过一系列精心设计的例子，展示了如何利用生成函数来解决那些看似无从下手的复杂计数难题。我记得有一章专门讲了如何运用指数型生成函数来处理带有区分元素的排列问题，那种豁然开朗的感觉非常棒。作者的叙述逻辑极其严谨，每一步推导都像是在搭建一座精密的数学大厦，让你不得不佩服数学的内在美。虽然有些证明过程需要读者投入极大的专注力去理解其背后的思想，但这绝对值得。读完之后，我对“结构”这个词的理解都提升了一个层次，因为它不再只是物理世界的堆砌，而是变成了可以被严密计算和预测的数学对象。对于想深入研究算法设计或者需要扎实组合背景的研究生来说，这本书提供的理论基础是无可替代的。

评分☆☆☆☆☆

作为一本“下册”，它完美地承接了前册的铺垫，直接将读者带入了高级组合学的核心领域，特别是关于设计理论（Design Theory）和编码理论（Coding Theory）的初步介绍，这一点我非常欣赏。作者对有限域（Finite Fields）的引入，非常自然地衔接了代数基础与组合结构之间的桥梁。例如，在介绍平衡不完全区组设计（BIBD）时，书中详尽地展示了如何利用射影平面（Projective Planes）的代数构造来生成这些优美的组合结构。这种将抽象代数结构“物化”为可计数对象的思维方式，是这本书最迷人的地方。阅读过程中，我时常会停下来，思考这些数学结构在信息论、密码学等前沿领域的潜在应用。虽然涉及的知识点非常前沿，但作者的语言风格始终保持着一种克制而精准的美感，没有过多渲染，只是将真理以最清晰的方式呈现出来。这本书无疑是一部需要反复阅读、并随着知识积累而不断发掘出新意的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

我购买这本书的初衷是为了系统学习图论中的高级主题，而这本书在处理连通性、匹配理论以及网络流（Network Flow）方面的内容，可以说是极其详尽和出色的。与其他侧重于证明的教材不同，这本《组合论（下册）》在讲解这些算法时，非常注重实际应用和背后的直觉解释。例如，在介绍最大流最小割定理时，作者引入了工程中的实际案例，帮助我们理解为什么这个定理在优化问题中具有如此强大的威力。我对其中关于平面图嵌入和欧拉公式的章节印象尤为深刻，作者巧妙地将拓扑学的一些思想融入进来，使得原本枯燥的定理证明变得生动起来。阅读体验上，这本书的排版清晰，数学符号使用规范，这对于长时间阅读来说至关重要。唯一的挑战在于，有些高级章节，比如关于Ramsey理论的初步探讨，需要读者对离散概率有一定的基础，但作者也贴心地在脚注中给出了必要的背景知识提示。总的来说，如果你正在寻找一本能将抽象的组合概念与实际计算模型紧密结合的书籍，这本书绝对是首选。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我赞叹的一点，是它对“构造性证明”的强调。在很多组合问题中，我们不仅需要知道一个对象“存在”，更需要知道如何“构建”它。这本书在这方面做得非常到位，许多定理的证明本身就提供了一个构造算法。比如，在探讨Hall婚姻定理的应用时，作者不仅证明了完美匹配的存在性，还附带说明了如何通过寻找增广路径来实际找到这个匹配。这种理论与实践的紧密结合，对于我们这些未来想从事算法优化和数据结构设计的人来说，是无价的知识财富。书中的习题设计也相当巧妙，它们大多不是简单的计算题，而是需要深度思考和巧妙洞察力的挑战。我花了大量时间去攻克其中关于Schur函数和Young图的部分，虽然过程煎熬，但最终的收获是巨大的，它们极大地锻炼了我的抽象思维能力和逻辑推理的敏捷性。这本书的价值，不在于你读了多少页，而在于你思考了多少个深刻的数学命题。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆