Lectures on the Theory of Algebraic Numbers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:E. T. Hecke

出品人:

页数:260

译者:R. Kotzen

出版时间:2010-12-3

价格:USD 84.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441928146

丛书系列:

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欧几里得的遗产：一次深入的数论之旅 书名：欧几里得的遗产：一次深入的数论之旅 作者：亚历山大·科瓦列夫斯基 页数：XXX 出版社：学术前沿出版社 --- 导言：在数字的迷宫中探寻结构 自古希腊的哲人将自然界的和谐归结为数字的比例以来，数论便成为了数学皇冠上的明珠，承载着人类对纯粹逻辑与无限结构的永恒追求。本书《欧几里得的遗产：一次深入的数论之旅》并非仅仅是对经典定理的简单复述，而是一次邀请——邀请读者深入到数论这片广袤而深邃的领域，去理解其内在的结构、演变以及它与现代数学其他分支的奇妙联系。 本书的写作视角是几何化与拓扑化的。我们不再仅仅将整数视为离散的点，而是将其视为一个更宏大、更具内在几何形态的结构的一部分。我们将从最基础的算术公理出发，逐步构建起一个能够解释“素数为何如此分布”以及“何时整数可以表示为特定形式的平方和”的严密框架。 第一部分：从皮亚诺到黎曼——基础的重建与延伸 本部分旨在为读者打下坚实的分析基础，为后续对高阶概念的理解做准备。 第一章：公理系统的坚实基石 我们将从皮亚诺公理出发，严谨地构建自然数集 $mathbb{N}$。随后，我们探讨集合论的视角如何影响我们对“可数性”和“不可数性”的直观理解。重点在于对良序原理和归纳法的深入讨论，将其视为一切算术证明的逻辑支柱。 第二章：素数的迷雾与解析的曙光 素数，是数论永恒的谜题。本章将超越欧几里得对素数无限性的经典证明，转而采用复分析的工具来审视它们的分布。我们将详细介绍黎曼 $zeta$ 函数的构造，并深入探讨其解析性质，特别是其零点与素数定理之间的深刻关联。本章的难点在于对解析延拓概念的清晰阐释，使读者领会如何用连续的函数概念来探究离散的整数性质。 第三章：模运算的几何语言 模 $n$ 算术是数论的“线性代数”。本章将把同余关系视为在有限环 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 上的代数结构。我们将详述欧拉 $phi$ 函数的乘法性质，并利用中国剩余定理来分解大模运算问题。几何上的理解在于，我们将模运算视为在有限域（或环）上的“旋转”和“投影”。 第二部分：丢番图的挑战与二次形式的宇宙 本部分将聚焦于方程的求解问题，特别是那些要求解是整数的方程，以及二次型的分类。 第四章：费马的猜想与椭圆曲线的先声 我们将回顾费马大定理的历史脉络，但重点将放在其更一般的形式——丢番图方程的求解策略上。我们不会直接深入到谷山-志村猜想的现代证明，而是将焦点放在马尔可夫方程和佩尔方程的求解上。佩尔方程的求解将通过连分数展开来实现，这为读者提供了一个将代数问题转化为几何（逼近）问题的绝佳范例。 第五章：二次型的分类与基本域 二次型，如 $ax^2 + bxy + cy^2$，是数论中一个极其重要的研究对象。本章的目标是理解如何对这些形式进行分类，特别是正定二次型。我们将引入理想类群的概念，虽然不进行深入的代数拓扑推导，但会阐明理想类群如何影响二次型的代表元集合，从而揭示其分类的内在规律。我们将使用米尼洛夫斯基紧化的思想，来直观地理解在特定判别式下二次型所能覆盖的平面区域。 第六章：高斯整数与欧几里得域的推广 本书将整数环 $mathbb{Z}$ 视为一个欧几里得整环的特例。我们将详细研究高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$，并论证其是唯一因子分解整环（UFD）。通过分析 $mathbb{Z}[i]$ 上的素数分解，我们可以清晰地理解费马平方和定理的简洁证明。更进一步，我们将探讨二次整数环的推广，并指出并非所有数域上的环都具有唯一分解的性质，这为代数数论的必要性埋下伏笔。 第三部分：超越有理数——数域的几何拓扑视图 本部分是本书的理论核心，旨在将读者的视野从有理数 $mathbb{Q}$ 拓展到更广阔的数域。 第七章：代数数与环的嵌入 我们定义代数数和代数整数，并构建数域 $K/mathbb{Q}$。这里的关键工具是环的嵌入。我们将从几何拓扑的角度来理解这些嵌入：实嵌入将数域映射到 $mathbb{R}^n$，而复嵌入则映射到 $mathbb{C}^n$。我们通过分析这些嵌入的性质（如实嵌入的对和复嵌入的共轭），来定义判别式——一个衡量数域结构“扭曲”程度的拓扑不变量。 第八章：环的结构——理想与单位群 在数域 $K$ 的代数整数环 $mathcal{O}_K$ 中，理想的性质变得异常复杂。本章的核心是狄利克雷单位定理。我们将用有界素向量空间（Minkowski Lattice）的几何论证方法，来证明单位群是有限生成群，并且其结构是自由阿贝尔群与有限循环群的直积。理解这个定理，意味着我们掌握了在任何数域中，整数“乘法单位”的完整结构。 第九章：班级类群与黎曼-洛赫定理的遥远回声 作为本书的收官之作，我们将简要介绍类群的概念。类群衡量的是环 $mathcal{O}_K$ 中理想是否具有唯一分解的程度。我们将指出，类数 $h_K$ 的非平凡性标志着代数数论的深刻复杂性。虽然不深入探讨其代数几何基础，但我们会类比于黎曼-洛赫定理的结构，将类群视为衡量数域“拓扑缺陷”的关键不变量。 结语：未竟的远征 《欧几里得的遗产》将数论置于一个更广阔的几何和代数框架下进行审视。本书的目的不在于提供所有现代数论分支的详尽指南，而在于为读者提供一个坚实的、具有深刻洞察力的工具箱，使其能够独立面对更前沿的课题，如L函数、模形式或算术几何的挑战。数论的远征永无止境，本书所铺就的，正是通往那片未知大陆的坚实航道。 --- 目标读者： 具备微积分和线性代数基础，对抽象代数和复分析有初步接触的数学专业学生及研究人员。 特色： 强调几何直觉与代数严格性的结合，尤其侧重于对数域结构进行拓扑和晶格的几何化解释。

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当我开始阅读《代数数论讲义》时，我并没有预料到自己会被书中如此精妙的数学思想所吸引。这本书以一种非常系统的方式，将代数数论的各个分支有机地联系起来。从域扩张的初步概念，到代数整数及其环的构造，再到理想理论在数域算术中的应用，这本书的内容是如此的丰富和全面。我尤其欣赏作者在讲解关于类群和类数时，所使用的精确语言和深入分析，这让我对代数数域的算术性质有了更深刻的理解。书中的例子，例如对高斯整数环的详细分析，以及其与整数环的对比，都为我理解抽象理论提供了坚实的支撑。我记得在学习关于素数在代数数域中分解的章节时，作者通过引入一些辅助性的引理，清晰地解释了不同素数在不同域中的分解行为。这本书的魅力在于它能够将看似不相关的概念联系起来，揭示出隐藏在它们背后的统一数学结构。它的深度足以让有经验的数学家从中获益，同时它的清晰度也足够吸引和引导初学者。我发现自己会经常在阅读过程中，尝试着去泛化这些证明，并且思考这些定理在更广泛的数学领域中的应用。这本书不仅仅是一本教材，更是一种思维方式的培养，它鼓励读者去探索数学的边界，去发现新的可能性。

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我一直对代数数论这个领域充满好奇，而《代数数论讲义》这本书，无疑是我探索这个领域最得力的助手。它以一种非常系统的方式，将代数数论的各个分支有机地联系起来。从伽罗瓦理论在代数数域结构分析中的应用，到理想理论在数域算术中的核心作用，再到狄克特单位定理和类数公式的深刻阐释，这本书的内容是如此的丰富和全面。我尤其喜欢作者在讲解代数整数环的性质时，所采用的“局部-整体”原则，以及如何利用局部性质来推断整体性质，这是一种非常强大的数学思想。书中的例子，例如对有理数域的扩张，以及对某些特定的二次域和三次域的深入分析，都为我理解抽象理论提供了坚实的支撑。我记得在学习关于理想的范数和理想的乘法时，作者通过类比整数的因式分解，使得这些概念变得生动起来。这本书的魅力在于它能够将看似不相关的概念联系起来，揭示出隐藏在它们背后的统一数学结构。它的深度足以让有经验的数学家从中获益，同时它的清晰度也足够吸引和引导初学者。我发现自己会经常在阅读过程中停下来，思考作者是如何构建每一个证明的，并且尝试着去泛化这些证明。这本书不仅仅是一本教材，更是一种思维方式的培养，它鼓励读者去探索数学的边界，去发现新的可能性。

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《代数数论讲义》是一本真正意义上的“讲义”，它不仅仅是知识的堆砌，更是智慧的传承。书中的每一个论证都充满了严谨的逻辑和深刻的洞察力，每一次阅读都仿佛是在与一位博学的智者进行对话。作者对于代数数域的分类和性质的讨论，从最小多项式到判别式，再到嵌入，层层深入，让我对这些抽象概念有了更清晰的认识。我印象深刻的是关于素数的分解在不同代数数域中的行为的章节，这不仅揭示了数论中许多经典问题的根源，也展示了代数方法在解决这些问题时的强大威力。例如，在讲解二次域中的素数分解时，作者通过引入类群的概念，清晰地解释了为什么某些素数可以在某个域中唯一分解，而某些则不能，这让我对“唯一因子分解”这一重要概念有了更深刻的理解。这本书的语言风格虽然严谨，但又不失清晰，作者善于通过一些辅助性的引理和定理来铺垫，确保读者在理解核心定理时不会感到突兀。我发现自己会反复回读某些章节，因为每次重读都能发现新的理解角度和更深层的含义。这本书不仅仅教授了代数数论的知识，更重要的是它教会了我如何去思考数学问题，如何去构建严谨的论证，以及如何去欣赏数学的内在美。它是一本能够激发读者求知欲，并引导读者走向更高层次数学探索的杰作。

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《代数数论讲义》如同一本精心雕琢的艺术品，每一页都散发着数学的智慧光芒。它不仅仅是关于代数数论的知识，更是关于如何进行数学思考的范例。作者在介绍域扩张时，从最基础的域的定义和扩张次数出发，逐步深入到可分扩张、正规扩张以及伽罗瓦扩张，为理解代数数域的结构打下了坚实的基础。我尤其欣赏作者在讲解代数整数及其环的构造时，所采用的清晰的语言和例证，比如关于有理数域上的代数整数环的描述，以及其与普通整数环的类比，让我对这个抽象概念有了更直观的感受。书中的证明，逻辑严谨，步步为营，常常在关键之处提供深刻的解释，使得即使是复杂的多步证明，也变得容易理解。例如，在证明狄克特单位定理时，作者通过引入一些辅助函数和不等式，巧妙地将问题化简，最终得到了简洁而优美的证明。这本书的难度是循序渐进的，但其深度是毋庸置疑的。它能够帮助读者建立起扎实的理论基础，并且培养出独立解决数学问题的能力。我发现自己会经常在阅读过程中，尝试着去推导书中出现的公式和定理，并且思考这些定理在更广泛的数学领域中的应用。这本书不仅是一本学习代数数论的优秀教材，更是一本能够激发读者对数学的热爱和追求的启迪之作。

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这本《代数数论讲义》如同一座巍峨的山峦，在初次攀登时，的确会让人感到一丝被其浩瀚与深邃所震撼。翻开书页，映入眼帘的便是那些严谨的定义和层层递进的定理，它们像是精心编织的网，将一个个抽象的概念紧密相连。最初的几章，尤其是在介绍域扩张、代数整数的基本性质以及理想理论时，那种数学语言的精确性和逻辑的严密性，让我深切体会到了数学的美丽与力量。每一次对证明的理解，都像是拨开云雾，看到更广阔的风景。作者在解释诸如单位群、类群以及域的算术性质时，总能巧妙地引入一些历史背景和直观的例子，这对于我这样一个在代数数论领域尚属初学者的人来说，是极其宝贵的。尤其是关于二次域的详细讨论，以及其与数论中经典问题的联系，比如平方互反律的证明，更是让我沉醉其中。我发现自己常常会停下来，反复咀嚼一个定义，或者是在草稿纸上尝试着推导一个定理的中间步骤。这本书并没有试图将所有的细节都一次性灌输给读者，而是留下了足够的空间，鼓励读者自己去思考和探索。虽然有时候会因为一个艰深的证明而苦思冥想，但当最终豁然开朗的那一刻，所带来的成就感是无与伦比的。它不仅仅是一本教材，更像是一位耐心的引路人，带领我在代数数论的奇妙世界中逐步前行，解锁那些深藏的数学宝藏。对于想要深入理解代数数论的读者来说，这本书绝对是一笔丰厚的精神财富。

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《代数数论讲义》这本书，在我眼中，不仅仅是一本学术著作，更是一扇通往数学深邃世界的大门。它以其独有的严谨与洞察力，为我揭示了代数数论的精妙之处。从域扩张的基础理论，到代数整数环的复杂构造，再到理想理论在算术中的核心地位，这本书的内容是如此的丰富和连贯。我特别欣赏作者在阐述狄克特单位定理时，所采用的巧妙证明方法，它不仅展示了数学的简洁之美，也揭示了代数数域中单位群的深刻结构。书中对素数在代数数域中的分解行为的探讨，让我理解了诸如二次互反律等数论中经典问题的代数根源。我记得在学习关于完备离散赋值环的性质时，作者通过将其与整数环进行类比，使得这些抽象的概念变得更加容易理解和掌握。这本书的逻辑结构严谨，循序渐进，确保了读者在学习过程中能够牢固地掌握每一个概念和定理。我发现自己会经常在阅读过程中，尝试着去复现书中的证明步骤，并且思考这些证明的普适性。这本书不仅仅是传授知识，更是培养一种数学思维方式，它鼓励读者去独立思考，去探索数学的未知领域。

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当我开始研读《代数数论讲义》时，我便被其结构严谨、逻辑清晰的论证方式所深深吸引。这本书以一种系统性的方式，将代数数论的核心概念一一呈现。从基础的域扩张理论，到代数整数的定义和性质，再到理想理论在算术中的关键作用，作者层层递进，为读者构建起一个完整的知识框架。我尤其欣赏作者在讲解理想在代数数域中的分解时，所采用的细致分析，这让我对算术的“基本定理”有了更深刻的理解。书中关于类群和类数的研究，更是将抽象的代数概念与数论中的具体问题紧密联系起来，揭示了数学研究的内在统一性。我记得在学习关于代数数域的判别式时，作者通过一些具体的例子，阐释了判别式在揭示域结构中的重要作用。这本书的语言风格严谨而精确，同时又不乏清晰的解释，使得学习过程既富有挑战性，又充满乐趣。我发现自己会经常在阅读过程中，尝试着去推广书中出现的定理，或者寻找新的应用场景。这本书不仅仅是一本教材，更是一种数学探索的指南，它引导读者去深入理解数学的本质，去发现数学的无限可能。

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《代数数论讲义》这本书，是一次令人惊叹的数学之旅。它以其深刻的洞察力和严谨的逻辑，为我揭示了代数数论的丰富内涵。从域扩张的入门，到代数整数环的构建，再到理想理论在数域算术中的核心地位，这本书的内容之全面，体系之完整，令人印象深刻。我特别欣赏作者在阐释斯旺定理时，所展现出的数学智慧，它不仅解决了代数数域的整环判别问题，也为后续的研究奠定了基础。书中对素数在不同代数数域中的分解行为的分析，更是将抽象的理论与具体的数论现象联系起来，揭示了数学的内在美。我记得在学习关于狄克特单位定理的证明时，作者通过巧妙的辅助构造，将问题化繁为简，展现了数学证明的简洁之美。这本书的编排设计非常合理，从基础概念到高级主题，循序渐进，确保了读者能够逐步掌握每一个知识点。我发现自己会经常在阅读过程中，尝试着去独立完成一些小的证明，以此来加深对理论的理解。这本书不仅仅是一本教材，更是一种数学思维的训练，它鼓励读者去主动探索，去发现数学的奥秘。

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当我翻开《代数数论讲义》时，我并没有预料到自己会被书中如此精妙的数学思想所吸引。这本书不仅仅是知识的集合，更是一种思维的训练。它从最基本的概念出发，逐步构建起代数数论的宏伟体系。作者在讲解理想理论时，对理想的定义、性质以及理想在代数数域中的分解进行了深入的探讨，这使得我对数域的算术结构有了更深刻的理解。我印象深刻的是，书中关于类群和类数的讨论，以及这些概念与素数分解之间的深刻联系。作者通过对二次域的详细分析，展示了代数数论如何能够解释和解决一些经典的数论问题，例如费马大定理在某些特殊情况下的证明。我记得在学习关于判别式及其性质的章节时，作者通过一些具体的例子，清晰地展示了判别式在揭示数域结构中的重要作用。这本书的语言风格严谨而不失生动，作者善于在必要的时刻穿插一些历史背景和直观的解释，这使得学习过程更加有趣和有意义。我发现自己会经常在阅读过程中，停下来思考书中提出的问题，并且尝试着去寻找不同的解题思路。这本书不仅仅是一本教材，更是一种学习方法论的示范，它教会我如何去质疑、去探索、去创造。

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当我开始阅读《代数数论讲义》时，我怀揣着对这一领域的既有认知，希望能够获得更系统、更深入的理解。然而，这本书所呈现出的广度和深度，远超我的想象。它并非仅仅罗列公式和定理，而是以一种连贯的叙事方式，将代数数论的核心思想娓娓道来。从域扩张的初步概念，到迪里赫利单位定理的精妙证明，再到斯旺定理在判别代数数域的整环时的应用，每一个章节都像是为我打开了一扇新的窗户。我尤其欣赏作者在讲解理想理论时所采用的方法，它将抽象的理想概念与熟悉的整数环中的整除性概念巧妙地联系起来，使得对理想分解的研究变得更加直观和富有洞察力。书中的例子，例如高斯整数环和代数整数环的案例分析，更是极大地帮助我将抽象的理论具体化。我记得在学习狄克特公式时，作者通过对 zeta 函数的深入分析，揭示了代数数域的类数的计算方法，这其中蕴含的数学思想之深刻，令我赞叹不已。这本书的编排结构也十分合理，从基础概念到高级主题，循序渐进，确保读者在掌握了前面的知识后，能够更好地理解后续的内容。我发现自己会花很多时间在理解每一个证明的逻辑链条上，并且尝试着去寻找其他的证明方法，以此来加深理解。这本书的价值在于它能够培养读者的独立思考能力，引导读者去探索数学的深层奥秘，而不仅仅是被动地接受知识。

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