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出版者:清华大学出版社

作者:胡金德

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2001-12-01

价格:15.0

装帧:平装

isbn号码:9787302017608

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探索《微分几何入门》：一趟弯曲空间的几何之旅 图书名称： 微分几何入门 图书简介： 本书旨在为读者打开一扇通往微分几何的宏伟世界的大门。它不仅仅是一本介绍数学概念的教科书，更是一次关于空间结构、曲线和曲面的深刻哲学与数学探索之旅。微分几何作为连接代数、分析与几何的桥梁，是现代物理学（如广义相对相对论）和工程学（如计算机图形学和机器人学）中不可或缺的基石。 我们深知，初学者在面对“流形”、“张量”和“联络”这些术语时可能会感到畏惧。因此，《微分几何入门》的设计哲学是循序渐进，以直观几何图像为引导，辅以严谨的分析工具。我们不急于堆砌复杂的符号，而是先从读者熟悉的欧几里得空间中的曲线和曲面入手，通过直观的例子建立起对曲率、测地线等核心概念的感性认识。 第一部分：从平面到三维空间的回顾与升华 本部分聚焦于为读者打下坚实的二维和三维基础，这是理解更高维抽象流形的跳板。 1. 空间曲线的精细分析： 我们从参数化曲线开始，深入探讨了曲线的Frenet-Serret 公式。这不是简单地罗列公式，而是详细解析“切向量”、“主法向量”和“次法向量”这三个相互垂直的基向量是如何随着曲线的运动而动态变化的。挠率（Torsion）的概念被赋予了物理意义——它度量了曲线偏离其所在平面的趋势。我们通过大量的实例，如螺旋线、扭棱曲线，展示了曲率和挠率如何共同决定空间曲线的形状。读者将体会到，在三维空间中，即使是最简单的曲线也蕴含着丰富的几何信息。 2. 曲面的黎曼几何雏形： 进入曲面世界，我们将从经典的第一、第二基本形式出发。第一基本形式如同曲面上的“尺子”，定义了长度、角度和面积的内在度量，这是黎曼几何的萌芽。我们详细探讨了如何利用第一基本形式计算曲面上的弧长和面积。 更进一步，第二基本形式则关注曲面如何嵌入三维空间，引入了形状算子（Shape Operator）。通过形状算子，我们自然而然地导出了主曲率、高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）。高斯曲率是微分几何中最具代表性的概念之一，本书将通过一个独立章节，生动地解释“高斯绝妙定理”（Theorema Egregium），强调高斯曲率是曲面内在属性的体现，不受其在外部空间如何弯曲的影响。例如，圆柱面是平的（高斯曲率处处为零），而球面的高斯曲率处处为正，这些内在差异仅凭在曲面上行走和测量即可得知。 第二部分：抽象化与现代框架的建立 在坚实的基础之上，本书开始向更高维度的、更抽象的微分几何迈进，引入现代微分几何所必需的工具。 3. 流形的概念与拓扑预备： 我们引入了微分流形（Differentiable Manifold）的概念，将其描述为“在局部看起来像欧几里得空间的空间”。为了严谨地描述流形，我们需要回顾必要的拓扑学知识，如开集、紧致性和连通性，但重点在于如何利用坐标图册（Atlas）和转移映射（Transition Map）来“平铺”弯曲的空间。本书将球面的参数化，如球极坐标，作为第一个引入流形概念的实例，帮助读者理解为什么需要局部坐标系来处理全局的非欧几里得结构。 4. 向量场与张量分析： 微分几何的核心在于研究空间中场的行为。我们详细区分了向量场与切向量，并引入了张量的严格定义。张量被清晰地解释为多重线性映射，而不是简单地堆砌指标。我们将使用协变导数和指标标记法（在必要时引入爱因斯坦求和约定），展示如何对张量进行微分。这部分内容是通往更高级物理学的前提。 5. 联络与测地线： 什么是“两点之间最短的路径”？在弯曲空间中，这不再是直线。我们引入了联络（Connection）的概念，最常用的是Levi-Civita 联络，它基于黎曼度量张量自然产生。联络的作用是定义“平行移动”——即如何在不同点之间一致地比较向量。 基于此，我们导出了测地线方程（Geodesic Equation）。我们将展示，测地线是曲面上“没有加速度的路径”，即在切空间中保持“平行移动”的曲线。读者将通过实例，如球面上的大圆，直观理解测地线在弯曲空间中的行为，体会到其与欧氏空间中直线的深刻类比。 第三部分：积分几何与核心定理的触及 最后一部分将微分几何的工具应用于积分和更深刻的结构发现。 6. 积分形式与外微分： 本书采用现代的微分形式（Differential Forms）框架来处理积分，这比传统的矢量微积分更加优雅和普适。我们定义了 $k$ 形式，并引入了外导数（Exterior Derivative） $d$ 算子。$d$ 算子的强大之处在于它统一了梯度、旋度和散度。读者将看到，经典的格林定理、斯托克斯定理和高斯散度定理，在微分形式的语言下，都统一为同一个简洁的广义斯托克斯定理：$int_{partial M} omega = int_M domega$。这展示了微分几何的内在和谐。 7. 黎曼曲率张量： 这是本书的高潮部分之一。我们利用之前建立的 Levi-Civita 联络，导出了黎曼曲率张量。曲率张量是描述流形弯曲程度的最全面、最复杂的代数对象。我们将展示它如何通过衡量向量在不同路径上平行移动后产生的差异来定义弯曲。我们还将探讨曲率张量与高斯曲率之间的关系，并简要提及爱因斯坦场方程中出现的里奇张量（Ricci Tensor），为有志于进入广义相对论的读者提供清晰的路线图。 总结与展望 《微分几何入门》力求在严格性与可读性之间取得完美的平衡。它避免了过多繁琐的指标计算，而是强调几何直觉的培养和核心定理的深刻理解。通过对曲线、曲面、流形、张量和联络的系统梳理，读者将不仅掌握微分几何的基础工具，更能以一种全新的、更广阔的视角去审视我们所处的时空结构。本书适合数学系高年级本科生、研究生，以及需要应用这些工具的物理学和工程学研究人员。掌握了这些知识，您就掌握了描述弯曲世界的语言。

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坦白说，在我接触《线性代数辅导》之前，线性代数对我来说简直是一道无法逾越的鸿沟。每一次课程都让我感到身心俱疲，尤其是涉及到那些复杂的证明题和矩阵分解等内容，简直让人望而生畏。我曾经尝试过阅读几本不同的线性代数书籍，但都因为其过于理论化和抽象化而最终放弃。直到我偶然发现了《线性代数辅导》，它彻底改变了我对线性代数的看法。这本书的优点太多，让我不知道从何说起。首先，它的语言风格非常亲切，就像一位经验丰富的老师在娓娓道来，没有那种高高在上的学术腔调。作者善于运用类比和生活化的例子来解释抽象的数学概念，这让我能够迅速建立起对这些概念的直观理解。例如，在讲解“高斯消元法”时，作者用了一个非常巧妙的例子，将复杂的矩阵运算转化为解决一系列方程组的实际问题，让我一下子就明白了它在解决实际问题中的应用价值。其次，这本书的结构安排也非常合理，每一章都围绕着一个核心概念展开，并且层层递进，逻辑性非常强。在每个章节的末尾，都会有大量的习题，而且这些习题的难度梯度设置得非常合理，从简单的概念检验题，到需要综合运用多个知识点的难题，都有涵盖。更让我感到惊喜的是，书中对于一些关键概念的讲解，会反复强调，并且从不同的角度进行阐述，确保读者能够彻底理解。我最喜欢的一点是，这本书在解答习题时，不仅仅是给出答案，而是对解题的思路、方法和步骤进行了详细的分析，甚至还会指出一些常见的错误和误区，这对我来说是无价的。通过这本书的学习，我不仅能够轻松应对各种考试中的计算题，更重要的是，我对线性代数的基本原理有了更深刻的理解，能够运用它来分析和解决更复杂的问题，极大地提升了我的学习效率和自信心。

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我必须坦诚地说，《线性代数辅导》这本书在帮助我建立对线性代数系统性认知方面，起到了至关重要的作用。在我翻开这本书之前，我对线性代数的感觉更像是碎片化的知识点堆砌，我可能知道如何计算一个行列式，也知道如何找到一个矩阵的逆，但却对这些操作背后的数学意义缺乏深刻的理解。例如，关于“线性映射”的概念，我一直觉得它很抽象，难以理解它在几何上究竟代表了什么。然而，在这本书中，作者通过大量的几何图形和动态的变换过程来解释线性映射，让我瞬间明白了它实际上就是一种对空间的“拉伸”、“旋转”或“投影”。这种将抽象概念具象化的方式，让我受益匪浅。此外，这本书在习题的设计上也独具匠心。它不仅仅是提供了一些计算题，更多的是设计了一些需要分析和思考的题目，例如，要求解释某个数学性质在几何上的含义，或者要求设计一个算法来解决某个实际问题。这些题目迫使我去主动思考，去理解概念的本质，而不是仅仅停留在机械的计算层面。最让我惊喜的是，书中在介绍某个定理或性质时，不仅会给出证明，还会分析这个证明的思路和核心思想，以及这个定理在后续章节中的应用。这种“由表及里”的讲解方式，让我能够真正地掌握线性代数的知识体系，而不是死记硬背。通过这本书的学习，我感觉自己对线性代数的理解更加透彻，也更有信心去面对更复杂的数学问题。

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《线性代数辅导》这本书就像一位循循善诱的导师，它帮助我彻底摆脱了之前对线性代数的“知其然不知其所以然”的困境。我过去在学习线性代数时，最容易混淆的概念之一就是“向量的内积”和“向量的外积”。教科书上的定义虽然严谨，但总感觉缺乏直观的理解。但是，在这本书中，作者用非常生动形象的语言来解释了这两个概念。内积被描述为两个向量“相似度”的一种度量，而外积则被形象地比喻为用来计算平行四边形面积的工具，并且其方向垂直于这两个向量所在的平面。这种生动形象的讲解，让我一下子就抓住了这两个概念的核心。更让我印象深刻的是，本书在讲解“矩阵的转置”和“对称矩阵”时，不仅给出了数学定义，还深入分析了它们在几何变换和物理学中的应用，例如对称矩阵在描述能量守恒等物理定律中的重要性。这些实际应用案例的引入，极大地激发了我学习的兴趣，让我看到了线性代数在科学研究中的强大力量。此外，这本书在习题设计上也十分精妙。它不仅仅是提供了简单的计算练习，还包含了许多需要对概念进行深入分析和推理的题目，比如“请解释为什么两个向量内积为零，它们在几何上是垂直的？”这类题目，能够极大地锻炼我的逻辑思维能力和对概念的理解深度。通过这本书的系统学习，我不仅能够轻松应对各种线性代数的计算和证明题，更重要的是，我对线性代数的核心思想和应用有了更深刻的认识。

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我必须强调，《线性代数辅导》这本书在教授线性代数的核心概念方面，所展现出的细致和清晰度是前所未有的。在我开始阅读这本书之前，我对“线性系统”的理解仅仅停留在解方程组的层面，对于“解的存在性和唯一性”背后的数学原理，以及“参数方程”和“向量方程”之间的关系，都感到十分困惑。例如，教科书上关于“非齐次线性系统”的解的结构，常常是用比较晦涩的数学语言来描述，让我难以消化。但是，《线性代数辅导》这本书则通过大量的图示和具体的例子，将这些抽象的概念变得生动形象。作者会展示不同情况下线性系统解的几何意义，比如解是唯一点、直线、平面，或者是无解。这种可视化的讲解方式，极大地帮助我建立了对线性系统性质的直观认识。更令我欣慰的是，这本书在讲解“矩阵的特征值和特征向量”时，并没有简单地给出定义和计算方法，而是深入探讨了它们在描述线性变换性质（如缩放、旋转）方面的作用。书中还提供了一些实际应用案例，比如在物理学中的振动分析，让我明白了特征值和特征向量并非是纯粹的数学概念，而是具有实际物理意义的。此外，本书在习题设计上也颇具特色，不仅仅是计算题，还包含了不少需要对概念进行深入理解和阐释的题目，这促使我去思考“为什么”，而不是仅仅停留在“怎么做”。通过这本书的系统学习，我不仅熟练掌握了各种计算技巧，更重要的是，我对线性代数的内在逻辑和应用潜力有了更深刻的认识。

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这本书绝对是所有正在苦苦挣扎于矩阵运算、向量空间和线性变换的学生们的救星。我之前对线性代数简直是一头雾水，每次上课都感觉自己像置身于一个陌生的国度，老师讲的那些符号和定义在我看来就像天书。尤其是那些繁琐的行列式计算，每次都要耗费我大量的时间和精力，而且错误率还居高不下。当我拿到《线性代数辅导》这本书时，我带着一丝怀疑，也带着一丝绝望。然而，翻开第一页，我就被它那种循序渐进的讲解方式所吸引。作者并没有直接扔给我一大堆抽象的理论，而是从最基础的概念入手，用非常贴近生活中的例子来解释抽象的数学原理。比如，在讲解向量时，作者会用矢量的位移来类比，让你瞬间就能理解向量的几何意义。在讲解矩阵的乘法时，也用到了类似于“流水线生产”的生动比喻，让复杂的运算变得异常清晰。更重要的是，这本书非常注重解题技巧的传授，它不只是告诉你“是什么”，更告诉你“怎么做”。书中提供了大量的例题，并且每一个例题都进行了详细的步骤解析，从第一步的思路分析，到每一步的操作细节，再到最终的答案验证，都写得清清楚楚，明明白白。我曾经花了很多时间去钻研教科书上的习题，结果常常是绞尽脑汁也想不出解法。但是，通过《线性代数辅导》的学习，我发现很多看似棘手的题目，一旦掌握了正确的思路和方法，其实都可以迎刃而解。这本书就像一位耐心的导师，时刻在我身边指引我，帮助我克服每一个难关。它让我对线性代数不再感到恐惧，而是充满了探索的兴趣。

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老实说，在遇到《线性代数辅导》这本书之前，线性代数对我来说就像一座难以攀登的高峰，我常常因为其抽象性和复杂性而感到沮丧。特别是关于“线性方程组的解空间”和“矩阵的零空间”这些概念，我总觉得它们与实际问题相去甚远，因此学习起来缺乏动力。然而，这本书作者的讲解方式完全颠覆了我的认知。他非常擅长将抽象的数学概念转化为生动易懂的语言和图像。例如，在讲解“矩阵的零空间”时，作者就用了一个非常巧妙的比喻，将矩阵看作一个“信息压缩器”，而零空间则是那些被压缩成零向量的“信息”，这让我一下子就理解了零空间的含义。更让我惊喜的是，这本书在讲解“向量空间的维数”时，并没有简单地给出定义，而是通过分析“张成空间”和“线性无关向量组”之间的关系，让我明白了维数实际上就是能够“独立描述”这个空间所需的最小向量个数。这种由浅入深的讲解方式，让我能够真正地理解概念的本质。此外，本书在习题设计上也颇具匠心。它不仅仅提供了一些机械的计算练习，还包含了许多需要对概念进行深入分析和推理的题目，比如“请解释为什么一个n维向量空间的任何n+1个向量都一定是线性相关的？”这类题目，能够极大地锻炼我的逻辑思维能力和对概念的理解深度。通过这本书的系统学习，我不仅能够轻松应对各种线性代数的计算和证明题，更重要的是，我对线性代数的核心思想和应用有了更深刻的认识。

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我必须说，《线性代数辅导》这本书在概念的清晰度和例题的丰富性上做得非常出色，这对于我这种容易被抽象概念绕晕的学生来说，简直是雪中送炭。以往我阅读其他的线性代数教材，常常会因为概念定义过于晦涩而感到沮丧，例如，关于“特征值”和“特征向量”的部分，教科书往往是用严谨但难以理解的数学语言来描述，导致我虽然记住了公式，却对它的实际意义一无所知。然而，《线性代数辅导》在这方面做了极大的改进。它不仅给出了标准的数学定义，更重要的是，它花了大量篇幅用通俗易懂的语言来解释这些概念的本质，并辅以各种形象生动的图示。例如，书中在讲解“线性无关”和“线性相关”时，就用了“两个向量是否能互相表达”这样直观的例子，让我一下子就明白了这两个概念的区别。还有关于“向量空间”和“子空间”的部分，作者通过构建一些简单的几何图形，比如直线、平面，来帮助读者理解这些高维空间的结构。更令我惊喜的是，书中每一章后面都附带了大量的练习题，并且这些练习题的难度分布非常合理，从基础的巩固性练习，到一些稍微需要思考的综合性题目，应有尽有。更关键的是，很多例题的解题过程都详细到令人发指，不仅仅是给出答案，更重要的是它会分析解题的思路，指出每一步是如何推理出来的，以及可能会遇到的陷阱。这种精细化的解析，让我能够真正理解解题的逻辑，而不是仅仅记住解题的步骤。通过反复练习这些题目，我不仅熟练掌握了计算技巧，更重要的是，我对线性代数的各个概念有了更深刻的理解，能够举一反三，解决更复杂的问题。

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《线性代数辅导》这本书无疑是我迄今为止接触过的最有效的学习工具之一，尤其是在处理那些曾经让我头疼不已的抽象概念时。之前，我总是觉得线性代数就像一个由各种符号和公式组成的迷宫，每次进入都感觉迷失方向，特别是像“子空间的正交补”或“矩阵的奇异值分解”这类概念，教科书上的描述往往过于精炼，导致我难以捕捉其核心思想。然而，《线性代数辅导》的处理方式完全不同。作者非常注重将理论知识与实际应用相结合，书中大量的例子都源自工程、计算机科学甚至经济学等领域，这让我看到了线性代数在现实世界中的强大生命力，也极大地激发了我学习的动力。比如，书中讲解“特征值和特征向量”时，就联系到了图像处理中的主成分分析（PCA），让我明白了这些抽象概念是如何在实际应用中发挥作用的。此外，这本书在解题技巧上的指导也是非常细致入微的。它不仅仅是提供解题步骤，更重要的是，它会分析每一步的原理和逻辑，指出在解题过程中可能遇到的各种陷阱和需要注意的地方。例如，在解决涉及大规模矩阵运算的问题时，书中会提供一些数值计算上的优化技巧，这对于我这个对计算效率比较敏感的学生来说，简直是如获至宝。更值得称赞的是，本书的排版和设计也非常人性化，大量的图示和表格清晰地呈现了复杂的关系，使得阅读过程更加轻松愉快。我曾经为了理解一个简单的向量空间的基，花了数个小时的研究，而在这本书中，我花了不到半小时就彻底掌握了。这本书的出现，让我不再畏惧线性代数，而是把它当作一个有力的工具，去探索更广阔的数学世界。

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《线性代数辅导》这本书是我在学习线性代数过程中遇到的最得力的助手。在我拿到这本书之前，我对“矩阵的特征值和特征向量”的理解，仅仅停留在它们是求解特定方程组的“特殊值”和“特殊向量”这个层面，对其背后的数学意义和几何解释感到十分模糊。例如，教科书上关于特征值的定义，往往是用抽象的数学语言来描述，让我难以理解它为何能够描述矩阵所代表的线性变换的“尺度因子”。然而，《线性代数辅导》这本书则用非常直观的语言和大量的图示来解释这些概念。作者会展示矩阵所代表的线性变换如何“拉伸”或“压缩”向量，而特征向量就是那些在变换后方向不变的向量，特征值则代表了这种“拉伸”或“压缩”的程度。这种形象的讲解方式，让我瞬间就理解了特征值和特征向量的几何意义。更令我感到惊叹的是，本书在讲解“矩阵的奇异值分解（SVD）”时，并没有简单地给出公式，而是深入探讨了它在数据降维、图像压缩和推荐系统等领域的强大应用。书中提供了大量生动的案例，让我看到了SVD在实际应用中的巨大价值，也激发了我进一步学习的动力。此外，本书在习题设计上也十分精妙。它不仅仅提供了一些机械的计算练习，还包含了许多需要对概念进行深入分析和推理的题目，比如“请解释为什么一个对称矩阵的特征向量一定是相互正交的？”这类题目，能够极大地锻炼我的逻辑思维能力和对概念的理解深度。通过这本书的系统学习，我不仅能够轻松应对各种线性代数的计算和证明题，更重要的是，我对线性代数的核心思想和应用有了更深刻的认识。

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《线性代数辅导》这本书对于我这样一位在数学领域相对“基础薄弱”的学习者来说，简直是量身定制的学习指南。我之前对线性代数中的“向量空间”和“子空间”等概念的理解，一直停留在比较模糊的层面，总觉得它们与实际应用相去甚远，因此学习起来也缺乏动力。然而，这本书的作者非常巧妙地将这些抽象的概念与实际生活中的例子紧密联系起来。例如，在讲解“向量空间的基”时，作者用了一个非常形象的比喻，将任意一个向量比作一个物体的位置，而基向量则如同三维坐标系中的x、y、z轴，它们能够唯一地确定物体的位置。这种贴近生活的类比，让我瞬间就理解了基向量的重要性。更让我印象深刻的是，书中对于“矩阵的秩”的解释。我之前一直对这个概念感到困惑，不明白为什么一个数字能够代表一个矩阵的“信息量”。在这本书中，作者通过将其与“线性无关向量的个数”联系起来，并辅以图示，让我恍然大悟。此外，这本书在习题设计上也体现了作者的良苦用心。它不仅仅提供了一些机械的计算练习，更重要的是，它设计了大量需要分析和思考的题目，比如“请解释为什么某个矩阵的秩为2，它在几何上代表什么意义？”这类问题，能够极大地锻炼我的逻辑思维能力和对概念的理解深度。通过这本书的学习，我不仅克服了对线性代数的畏惧感，更重要的是，我学会了如何从更深层次去理解和运用这些数学工具，这对于我未来的学习和工作都将大有裨益。

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