A Course on Finite Groups (Universitext) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:H.E. Rose

出品人:

页数:311

译者:

出版时间:2009-12-28

价格:USD 59.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781848828889

丛书系列:universitext

图书标签:

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代数拓扑基础：从同伦群到纤维丛 作者： [虚构作者姓名，例如：李明，张伟] 出版社： [虚构出版社名称，例如：高等教育出版社] ISBN： [虚构ISBN，例如：978-7-04-XXXXXX-X] --- 图书简介 《代数拓扑基础：从同伦群到纤维丛》是一部全面深入的教材，旨在为数学研究生和高年级本科生提供代数拓扑学领域的坚实基础。本书严格遵循逻辑结构，从点集拓扑的基本概念出发，逐步引导读者进入代数拓扑的核心领域，最终涵盖了纤维丛理论的初步介绍。本书的叙述风格力求清晰、严谨，并在引入抽象概念的同时，提供了大量的具体实例和几何直觉，以帮助读者建立深刻的理解。 全书共分为七个主要部分，共计二十章，涵盖了从最基础的拓扑空间概念到相对复杂的同调与上同调理论的过渡，重点聚焦于使用代数工具研究拓扑空间的结构。 第一部分：拓扑空间的几何基础 本书的开篇回顾并巩固了读者在点集拓扑方面的知识，但着眼于代数拓扑所需的前置概念。 第一章：预备知识与拓扑空间的复习 本章简要回顾了集合论、连续函数、紧致性、连通性等基本概念。重点引入了拓扑空间（Topological Spaces）的严谨定义，并探讨了子空间、商空间、积空间等构造方式。特别强调了“同胚”（Homeomorphism）的概念，这是后续所有等价性讨论的基石。 第二章：基本群与布线 本章是代数拓扑的第一个代数工具的引入。我们详细定义了回路（Loops）和道路（Paths），并建立了基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的结构。本书花费大量篇幅讨论了基本群的性质，特别是它如何对空间的“洞”进行编码。通过计算圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$ 上的基本群，展示了该工具的威力。此外，还介绍了万有覆叠空间（Universal Covering Spaces）的概念，并证明了单连通空间的覆叠空间的存在性定理。 第二部分：同伦论：更高级的代数不变量 在建立了基本群之后，本书自然过渡到更高阶的同伦群。 第三章：同伦的构造与性质 本章正式定义了 $n$ 维同伦群 $pi_n(X, x_0)$。重点在于建立一个从 $S^n$ 到 $X$ 的连续映射的等价类集合。我们证明了对于 $n ge 2$， $pi_n(X)$ 总是一个阿贝尔群，并详细论证了这一关键差异的几何来源。 第四章：Hurewicz 映射与同伦群的计算 本章引入了 Hurewicz 定理，这是连接高阶同伦群和同调群的关键桥梁。通过计算球面的同伦群（如 $pi_k(S^n)$），展示了这些群的复杂性和计算难度，为后续引入更易处理的同调理论做了铺垫。 第三部分：链复形与同调论的萌芽 代数拓扑的精髓在于将拓扑问题转化为线性代数问题。本部分专注于构建链复形。 第五章：链复形的代数结构 本章引入了链复形（Chain Complexes）和链映射（Chain Maps）的抽象代数定义。重点讲解了边界算子（Boundary Operators）和它们的性质，确保 $partial circ partial = 0$ 的关键性质。 第六章：奇异同调群的构造 这是本书的核心部分之一。我们定义了奇异 $n$-单纯形 $sigma: Delta^n o X$，并构造了自由阿贝尔群 $C_n(X)$ 作为这些单纯形的线性组合。随后，利用边界算子，我们定义了奇异同调群 $H_n(X) = ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$。详细阐述了零维、一维同调群的直观意义（连通分支和环路）。 第七章：同调群的函子性质与正合性 本章讨论同调论的关键性质：函子性（Functoriality）和正合性（Exactness）。我们证明了任何连续映射 $f: X o Y$ 诱导出同调群之间的同态 $f_: H_n(X) o H_n(Y)$。随后，通过分解空间（如圆盘和球面），引入了短正合序列和重要的迈耶-维托里斯（Mayer-Vietoris）序列，这是计算复杂空间同调群的强大工具。 第四部分：相对同调与同调的计算 本部分专注于拓扑空间“挖洞”后对剩余结构的影响，并展示如何利用代数工具计算经典空间。 第八章：相对同调群 我们定义了子空间 $A subset X$ 的相对同调群 $H_n(X, A)$，并展示了它与相对同伦群的关系（广义 Hurewicz 定理）。相对同调群在处理截断结构，如球面上的圆盘移除后形成的环状结构，至关重要。 第九章：单纯复形与可计算性 为了从理论走向实践，本章引入了单纯复形（Simplicial Complexes）的构造。我们定义了单纯同调（Simplicial Homology），并证明了奇异同调群与单纯同调群之间的同构关系，从而为实际计算提供了可行的方法。 第十章：经典空间的同调计算 利用迈耶-维托里斯序列和单纯同调，本章系统地计算了一系列重要空间的同调群： 1. 球面 $S^n$： 证明 $H_k(S^n) cong mathbb{Z}$ 当 $k=0$ 或 $k=n$，其余为零。 2. 环面 $T^2$ 和射影平面 $mathbb{R}P^2$： 计算其 Betti 数，直观展示了拓扑不变量的威力。 第五部分：系数域的扩张与简化 拓扑空间通常使用整数系数进行研究，但为了方便计算和理论统一，需要引入系数域。 第十一章：系数域的改变与张量积 本章将同调理论推广到一般的阿贝尔群 $G$ 作为系数，定义 $H_n(X; G)$。重点讨论了张量积 $otimes_R$ 在链复形中的作用，以及系数改变对同调群结构的影响。 第十二章：折合同调群与欧拉示性数 引入折合链复形（Augmented Chain Complexes）的概念，定义折合同调群，并推导出欧拉示性数 $chi(X)$ 的定义。通过简单的组合拓扑论证，展示了欧拉示性数在不同空间间的变换公式，特别是与 Betti 数之间的关系： $chi(X) = sum (-1)^k b_k(X)$。 第六部分：乘法结构与上同调的引入 本部分为深入研究拓扑空间提供了乘法结构，并自然地引出了上同调理论。 第十三章：张量积与上链复形 本章定义了上链复形（Cochain Complexes）和上边界算子。随后，我们介绍了张量积在连接同调与上同调中的作用，并建立了上同调群 $H^n(X; G)$ 的初步定义。 第十四章：上同调的基本性质与对偶性 证明了上同调群是同调群的对偶结构，即 $H^n(X; G) cong ext{Hom}(H_n(X), G)$ 在特定条件下成立。讨论了上同调的函子性质，并推导出对应的长正合序列。 第十五章：库内特乘积（Künneth Formula） 本章的核心是库内特公式，它描述了两个拓扑空间乘积空间的上同调群与其各自上同调群之间的关系。这一公式在计算积空间（如 $S^n imes S^m$）的上同调时极为有效。 第七部分：纤维丛与经典几何结构 最后一部分将代数工具应用于几何对象，特别是纤维丛理论。 第十六章：向量丛与主丛 本章从几何直觉出发，定义了向量丛（Vector Bundles）、截面（Sections）以及主丛（Principal Bundles）的概念。重点讨论了从拓扑空间到丛的映射，以及“局部平凡性”的精确含义。 第十七章：陈氏示性类（Chern Classes） 介绍如何利用上同调理论来定义纤维丛的拓扑不变量——陈氏示性类 $c_i(E)$。我们首先通过 $S^1$ 上的线丛（Line Bundles）来构造第一陈类，并展示其与拓扑的联系。 第十八章：塞格定理与布朗构造 本章介绍了如何使用特定的链复形构造来计算纤维丛的上同调群。详细分析了如何利用主丛的横截面性质，建立塞格序列（Serre Spectral Sequence），这是连接底空间、纤维和总空间的上同调的强大代数工具。 第十九章：基本群与纤维丛的分类 重新审视基本群 $pi_1(X)$ 在分类纤维丛中的作用。我们证明了不同纤维丛的分类与底空间 $X$ 到特定空间（如 Eilenberg-MacLane 空间）的映射之间的关系，这是 Fibre Bundles 分类理论的基础。 第二十章：几何实例与应用展望 本章通过对切丛（Tangent Bundles）和法丛（Normal Bundles）的简要讨论，展示了代数拓扑如何直接应用于微分几何和流形理论。最后，对庞加莱对偶性、广义上同调理论（如奇异上同调与 De Rham 上同调的联系）进行了展望。 --- 目标读者与特点 本书要求读者具备扎实的抽象代数（群论、环论）和线性代数基础，并对一般拓扑学有初步了解。本书的特点在于： 1. 直观与严谨并重： 每一个代数构造后都伴随着清晰的几何解释或例子。 2. 计算驱动： 大量篇幅用于展示如何实际计算 $H_n(X)$ 和 $H^n(X)$，而非停留在抽象定义。 3. 逻辑连贯性： 确保了从同伦到同调，再到纤维丛的过渡是自然且相互依赖的。 通过系统学习本书内容，读者将不仅掌握代数拓扑学的核心技术，更能对几何对象拥有更深层次的代数洞察力。

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《Finite Groups (Universitext)》的语言风格非常具有感染力。作者在讲解数学概念时，常常会使用一些生动的比喻和形象的描述，这使得原本抽象的数学概念变得鲜活起来。我感觉自己并非在被动地接受知识，而是在积极地参与到数学的探索过程中。书中所包含的案例分析，让我能够看到有限群论在其他科学领域的应用，例如在密码学和编码理论中的作用，这极大地激发了我对数学的兴趣，让我认识到数学不仅仅是理论研究，更是解决实际问题的有力工具。

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这本书的深度和广度是我之前从未遇到过的。它不仅覆盖了有限群论的核心内容，还巧妙地引入了一些相关领域的概念，如表示论和模论的初步思想。这使得我在学习有限群的同时，也能对更广泛的代数领域有一个初步的了解，为我今后的深入学习打下了坚实的基础。我发现，每当我遇到一个不熟悉的概念时，这本书的总能以一种非常合理的方式将其与我已经掌握的知识联系起来，或者提供清晰的定义和解释。这种“触类旁通”的学习体验，让我对自己的学习能力充满了信心。

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这本书的语言风格是一种我非常喜欢的“恰到好处”的平衡。它既保持了数学著作应有的严谨性和学术性，又避免了过于晦涩难懂的专业术语堆砌。作者在处理复杂证明时，会穿插一些启发性的思考，引导读者去探索证明的思路和背后的逻辑，而不是简单地罗列步骤。我感觉自己像是在和一位经验丰富的数学家进行一场深入的对话，他耐心解答我的疑惑，指引我发现隐藏在表面之下的数学规律。书中对于一些经典问题的讨论，如西罗定理的证明，更是让人印象深刻。作者对证明的每一个细节都进行了细致的剖析，让我能够真正理解定理的强大之处以及证明过程的精妙。这种对细节的关注，不仅帮助我掌握了知识，更培养了我严谨的数学思维。

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总而言之，《Finite Groups (Universitext)》是一本非常出色的教材，它不仅内容丰富、讲解清晰，而且在教学方法上也有独到之处。它成功地将一个复杂的数学领域以一种引人入胜的方式呈现给读者，让我受益匪浅。我强烈推荐这本书给任何对有限群论感兴趣的学习者。这本书的价值远不止于其纸面上的文字，更在于它能够点燃读者对数学的热情，培养严谨的思维方式，以及开启更广阔的学术视野。我确信，这本书将会在我未来的学术生涯中扮演重要的角色。

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这本书的排版和格式也值得称赞。清晰的数学符号、规范的公式标注以及适度的留白，都使得阅读体验非常舒适。我从来没有因为排版问题而感到困扰，反而能更专注于数学内容的理解。作者在介绍定理和定义时，通常会先给出简洁的陈述，然后详细解释其含义和重要性，再辅以例子进行说明。这种“先总后分”的模式，非常有利于快速掌握核心信息，并在此基础上进行深入学习。我发现在阅读其他同类书籍时，常常会怀念《Finite Groups (Universitext)》的这种清晰和条理。

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作为一名对抽象代数领域充满好奇的学生，我发现《Finite Groups (Universitext)》是一本不可多得的学习资源。它不仅仅是一本教材，更像是一本能够激发我独立思考和探索欲望的指南。书中提供的习题设计得非常巧妙，既有巩固基础的练习，也有一些需要深入思考才能解决的挑战性问题。我常常花上很长时间去钻研一道习题，而每一次的突破都给我带来巨大的成就感。作者在习题的设置上，也充分考虑到了不同层次的学习者的需求，使得这本书能够适用于从入门到进阶的各个阶段。此外，书中提到的参考文献也为我进一步深入研究相关领域提供了宝贵的线索。

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《Finite Groups (Universitext)》不仅仅是传授知识，更是在培养一种数学的“感觉”。作者通过精选的例子和恰当的讨论，让我能够体会到有限群论的美妙之处，感受到数学的逻辑魅力。这本书让我明白，数学不仅仅是公式和符号，更是对世界的一种理解方式。书中所展现的群论的对称性和结构性，让我对自然界和人为世界的很多现象有了新的观察视角。例如，在学习置换群时，作者通过对对称群的分析，让我看到了数学在描述物理世界中的对称性方面的强大能力。

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我必须强调，这本书的作者在讲解一些较为困难的证明时，表现出了极高的教学艺术。他并非将证明过程一笔带过，而是详细地分解了证明中的关键步骤，并解释了每一步的合理性。在某些情况下，作者甚至会提供几种不同的证明方法，让我们从不同的角度来理解同一个定理。这极大地加深了我对这些定理的理解，也让我学会了如何去分析和构建数学证明。特别是在讨论一些进阶性的概念，例如有限单群的分类问题时，虽然这是一个极其庞大和复杂的领域，但作者以一种非常引导性的方式，为我们勾勒出了其研究的全貌，让我对这个领域的深度和广度有了初步的认识。

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这本书的封面设计简洁而有力，正如它所探讨的数学领域一样，传递出一种严谨而深刻的美感。当我初次翻阅《Finite Groups (Universitext)》时，就被其清晰的逻辑结构和循序渐进的讲解方式所吸引。作者并没有一开始就抛出大量抽象的概念，而是从一些基础性的例子和定义入手，逐步引导读者进入有限群的奇妙世界。我特别欣赏其中对群论基本概念的阐释，比如子群、陪集、正规子群以及同态等，作者都力求用最直观的方式来呈现，配合大量的插图和具体的例子，使得原本可能令人望而却步的抽象理论变得生动易懂。例如，在介绍拉格朗日定理时，作者不仅给出了严谨的证明，还通过对一些小型群的分析，展示了该定理在实际计算中的应用，这极大地增强了我对定理的理解和记忆。

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我尤其欣赏这本书在逻辑连贯性上的表现。从一个概念到另一个概念的过渡，作者都处理得非常自然和流畅，很少出现突兀或难以理解的跳跃。这使得我在阅读过程中能够保持清晰的思路，不受干扰地深入理解群论的各个方面。书中的每一个章节都像是为读者搭建的一级级台阶，稳步地将我们引向更深层次的知识。例如，在学习正规子群和商群时，作者通过引入同态定理，清晰地展示了它们之间的内在联系，这让我对群的结构有了更深刻的认识。这种精心的编排，使得学习过程充满乐趣，而非枯燥的记忆。

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有限群论最讨厌了！

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