Banach Spaces And Their Applications In Analysis pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Randrianantoanina, Beata (EDT)/ Randrianantoanina, Narcisse (EDT)

出品人:

頁數:453

译者:

出版時間:

價格:158

裝幀:

isbn號碼:9783110194494

叢書系列:

圖書標籤:

• Banach空間
• 泛函分析
• 數學分析
• 算子理論
• 應用數學
• 拓撲嚮量空間
• 固定點定理
• 譜理論
• 逼近論
• 實分析

好的，這是一本關於“Banach Spaces And Their Applications In Analysis”的圖書簡介，但內容將完全專注於數學分析中其他關鍵領域，不涉及Banach空間本身： --- 數學分析前沿：拓撲、測度和泛函分析基礎 簡介 本書旨在為讀者提供一個堅實而全麵的數學分析基礎，重點探討瞭拓撲空間理論、勒貝格積分理論以及傳統泛函分析（非集中於Banach空間理論）的核心概念與應用。在深入研究數學的嚴謹性和應用廣度的同時，本書力求平衡理論的深度與清晰的闡述，引導讀者理解現代分析學的基石。 本書的結構設計旨在循序漸進，從最基礎的集閤論和拓撲概念開始，逐步過渡到更高級的測度論和積分理論，並輔以對綫性空間結構和算子理論的初步探討，為後續更專業的領域學習打下堅實的基礎。 第一部分：拓撲空間與連續性 本部分緻力於係統地建立拓撲空間的理論框架，這是現代分析學，乃至幾何學、代數拓撲學中不可或缺的語言和工具。 第一章：拓撲空間的引入與基礎 本章首先迴顧必要的集閤論預備知識，如關係、函數、以及良序原理。隨後，引入拓撲空間的開集係統定義，這是理解拓撲學的核心。我們將詳細討論鄰域基、可數性（如可數緊緻性、可數緊等價概念）以及拓撲空間之間的連續映射的精確定義。連續性在拓撲學中被重新框架為對開集的保持，這與微積分中的$epsilon-delta$定義形成瞭重要的概念橋梁。 第二章：重要的拓撲結構 本章將深入研究幾種具有特殊結構的重要拓撲空間，它們在分析學中頻繁齣現： 度量空間（Metric Spaces）： 作為最直觀的一類拓撲空間，度量空間提供瞭距離的概念。本章將詳細分析開球、閉球、完備性（例如，Baire範疇定理的初步討論）以及收斂的概念。完備性是許多存在性證明的關鍵假設。 緊緻性與局部緊緻性： 緊緻性的概念（開覆蓋的有限子覆蓋）是處理連續函數性質（如一緻連續性、極值存在性）的核心工具。我們將探討緊緻性在度量空間中的等價描述（如序列緊緻性），並討論局部緊緻性在構建積分理論中的作用。 連通性： 連通性的概念用於描述空間的“完整性”。本章將區分連通空間與路徑連通空間，並研究連續映射如何保持這些性質。 第三章：連續函數空間與等價拓撲 本章聚焦於函數空間作為拓撲空間的結構。我們將研究賦範綫性空間（不深入Banach空間，而是側重於其作為函數族的結構），並探討一緻收斂與拓撲收斂的關係。關鍵內容包括： 等價拓撲： 如何從一個已知的拓撲結構（如歐幾裏得拓撲）導齣或確定一個新的拓撲結構（例如，由一個範數誘導的拓撲）。 乘積拓撲與商拓撲： 研究如何從已有的拓撲空間構造齣新的、更復雜的拓撲空間，這對於研究無限維空間上的函數族至關重要。 第二部分：測度論與勒貝格積分 本部分是現代分析學與傳統黎曼積分理論的分水嶺。我們將構建一個嚴謹的積分理論——勒貝格積分，這極大地擴展瞭可積函數的範疇，並為概率論和泛函分析提供瞭必要的分析工具。 第四章：外測度與$sigma$-代數 本章是測度論的起點。我們從一個集閤的外測度概念齣發，闡述瞭測度理論的動機。核心在於引入$sigma$-代數（可測集的集閤族），並證明瞭$sigma$-代數在有限交、並和可數補運算下保持封閉性。隨後，我們將構建外測度，並證明一個集閤必須滿足的可測性條件（Carathéodory條件），以確保其具有良好的性質。 第五章：勒貝格測度和可測函數 本章正式定義勒貝格測度，並展示其相對於長度、麵積的優越性。我們構建瞭簡單函數（取有限個可測值的函數）的積分，這是勒貝格積分的基石。接著，通過逼近過程定義瞭非負可測函數的積分。 收斂定理： 本章的重頭戲是介紹勒貝格積分理論的核心優勢所在——單調收斂定理（MCT） 和 Fatou引理。這些定理提供瞭在函數序列逐點收斂時，積分與極限互換的強大工具。 第六章：$L^p$ 空間（側重於$L^p$的度量結構） 本章將$L^p$空間作為一個特殊的函數空間來考察，重點放在其作為一個度量空間（當 $p ge 1$ 時）或綫性空間的結構，而非其作為Banach空間的完備性（盡管會提及）。 絕對連續可積性： 定義勒貝格可積函數，即黎曼可積函數的超集。 $L^p$ 範數： 定義 $L^p$ 範數，並初步探討其性質。 H"older不等式與Minkowski不等式： 證明這些核心不等式，它們是確保積分運算在這些空間上具有良好幾何結構的關鍵。 第三部分：初步算子理論與綫性空間結構 本部分將視角從純幾何和積分結構轉嚮綫性結構，探討瞭嚮量空間（不特指賦範空間）和綫性算子的一般性質，為更高級的泛函分析做準備。 第七章：嚮量空間與綫性泛函 本章迴顧並強化瞭綫性空間（嚮量空間） 的概念，著重於其代數結構。隨後引入綫性泛函——從嚮量空間到其基礎域（如實數域或復數域）的綫性映射。 代數對偶空間： 初步探討綫性泛函構成的代數對偶空間的概念，理解其在坐標變換中的重要性。 第八章：綫性算子與譜的初步思想 本章關注綫性算子，即在嚮量空間之間（或自身）的綫性映射。 算子的有界性（有限維空間）： 在有限維歐幾裏得空間中，所有綫性算子都是有界的，我們將此概念推廣到一般結構中。 算子的分類： 區分綫性算子、連續綫性算子（在度量空間或拓撲空間上定義）的初步概念。 特徵值與特徵嚮量（矩陣錶示）： 即使在抽象的綫性空間背景下，特徵值的概念依然是理解算子作用的核心。本章將通過有限維矩陣理論的類比，引入對特徵值問題的初步理解。 結語 本書的構建旨在提供一個嚴謹、自洽且富有幾何直覺的分析學基礎。通過對拓撲空間的抽象化、勒貝格積分的強大工具以及綫性結構的基本考察，讀者將具備所需的數學語言和技術能力，以便在後續的深入研究中，如微分方程、概率論、或更高級的泛函分析領域中遊刃有餘。本書強調的是分析學的基礎結構而非特定結構的完備性，為讀者構建一個堅實的分析底層邏輯。

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