Banach Spaces And Their Applications In Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Randrianantoanina, Beata (EDT)/ Randrianantoanina, Narcisse (EDT)

出品人:

页数:453

译者:

出版时间:

价格:158

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isbn号码:9783110194494

丛书系列:

图书标签:

• Banach空间
• 泛函分析
• 数学分析
• 算子理论
• 应用数学
• 拓扑向量空间
• 固定点定理
• 谱理论
• 逼近论
• 实分析

好的，这是一本关于“Banach Spaces And Their Applications In Analysis”的图书简介，但内容将完全专注于数学分析中其他关键领域，不涉及Banach空间本身： --- 数学分析前沿：拓扑、测度和泛函分析基础 简介 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的数学分析基础，重点探讨了拓扑空间理论、勒贝格积分理论以及传统泛函分析（非集中于Banach空间理论）的核心概念与应用。在深入研究数学的严谨性和应用广度的同时，本书力求平衡理论的深度与清晰的阐述，引导读者理解现代分析学的基石。 本书的结构设计旨在循序渐进，从最基础的集合论和拓扑概念开始，逐步过渡到更高级的测度论和积分理论，并辅以对线性空间结构和算子理论的初步探讨，为后续更专业的领域学习打下坚实的基础。 第一部分：拓扑空间与连续性 本部分致力于系统地建立拓扑空间的理论框架，这是现代分析学，乃至几何学、代数拓扑学中不可或缺的语言和工具。 第一章：拓扑空间的引入与基础 本章首先回顾必要的集合论预备知识，如关系、函数、以及良序原理。随后，引入拓扑空间的开集系统定义，这是理解拓扑学的核心。我们将详细讨论邻域基、可数性（如可数紧致性、可数紧等价概念）以及拓扑空间之间的连续映射的精确定义。连续性在拓扑学中被重新框架为对开集的保持，这与微积分中的$epsilon-delta$定义形成了重要的概念桥梁。 第二章：重要的拓扑结构 本章将深入研究几种具有特殊结构的重要拓扑空间，它们在分析学中频繁出现： 度量空间（Metric Spaces）： 作为最直观的一类拓扑空间，度量空间提供了距离的概念。本章将详细分析开球、闭球、完备性（例如，Baire范畴定理的初步讨论）以及收敛的概念。完备性是许多存在性证明的关键假设。 紧致性与局部紧致性： 紧致性的概念（开覆盖的有限子覆盖）是处理连续函数性质（如一致连续性、极值存在性）的核心工具。我们将探讨紧致性在度量空间中的等价描述（如序列紧致性），并讨论局部紧致性在构建积分理论中的作用。 连通性： 连通性的概念用于描述空间的“完整性”。本章将区分连通空间与路径连通空间，并研究连续映射如何保持这些性质。 第三章：连续函数空间与等价拓扑 本章聚焦于函数空间作为拓扑空间的结构。我们将研究赋范线性空间（不深入Banach空间，而是侧重于其作为函数族的结构），并探讨一致收敛与拓扑收敛的关系。关键内容包括： 等价拓扑： 如何从一个已知的拓扑结构（如欧几里得拓扑）导出或确定一个新的拓扑结构（例如，由一个范数诱导的拓扑）。 乘积拓扑与商拓扑： 研究如何从已有的拓扑空间构造出新的、更复杂的拓扑空间，这对于研究无限维空间上的函数族至关重要。 第二部分：测度论与勒贝格积分 本部分是现代分析学与传统黎曼积分理论的分水岭。我们将构建一个严谨的积分理论——勒贝格积分，这极大地扩展了可积函数的范畴，并为概率论和泛函分析提供了必要的分析工具。 第四章：外测度与$sigma$-代数 本章是测度论的起点。我们从一个集合的外测度概念出发，阐述了测度理论的动机。核心在于引入$sigma$-代数（可测集的集合族），并证明了$sigma$-代数在有限交、并和可数补运算下保持封闭性。随后，我们将构建外测度，并证明一个集合必须满足的可测性条件（Carathéodory条件），以确保其具有良好的性质。 第五章：勒贝格测度和可测函数 本章正式定义勒贝格测度，并展示其相对于长度、面积的优越性。我们构建了简单函数（取有限个可测值的函数）的积分，这是勒贝格积分的基石。接着，通过逼近过程定义了非负可测函数的积分。 收敛定理： 本章的重头戏是介绍勒贝格积分理论的核心优势所在——单调收敛定理（MCT） 和 Fatou引理。这些定理提供了在函数序列逐点收敛时，积分与极限互换的强大工具。 第六章：$L^p$ 空间（侧重于$L^p$的度量结构） 本章将$L^p$空间作为一个特殊的函数空间来考察，重点放在其作为一个度量空间（当 $p ge 1$ 时）或线性空间的结构，而非其作为Banach空间的完备性（尽管会提及）。 绝对连续可积性： 定义勒贝格可积函数，即黎曼可积函数的超集。 $L^p$ 范数： 定义 $L^p$ 范数，并初步探讨其性质。 H"older不等式与Minkowski不等式： 证明这些核心不等式，它们是确保积分运算在这些空间上具有良好几何结构的关键。 第三部分：初步算子理论与线性空间结构 本部分将视角从纯几何和积分结构转向线性结构，探讨了向量空间（不特指赋范空间）和线性算子的一般性质，为更高级的泛函分析做准备。 第七章：向量空间与线性泛函 本章回顾并强化了线性空间（向量空间） 的概念，着重于其代数结构。随后引入线性泛函——从向量空间到其基础域（如实数域或复数域）的线性映射。 代数对偶空间： 初步探讨线性泛函构成的代数对偶空间的概念，理解其在坐标变换中的重要性。 第八章：线性算子与谱的初步思想 本章关注线性算子，即在向量空间之间（或自身）的线性映射。 算子的有界性（有限维空间）： 在有限维欧几里得空间中，所有线性算子都是有界的，我们将此概念推广到一般结构中。 算子的分类： 区分线性算子、连续线性算子（在度量空间或拓扑空间上定义）的初步概念。 特征值与特征向量（矩阵表示）： 即使在抽象的线性空间背景下，特征值的概念依然是理解算子作用的核心。本章将通过有限维矩阵理论的类比，引入对特征值问题的初步理解。 结语 本书的构建旨在提供一个严谨、自洽且富有几何直觉的分析学基础。通过对拓扑空间的抽象化、勒贝格积分的强大工具以及线性结构的基本考察，读者将具备所需的数学语言和技术能力，以便在后续的深入研究中，如微分方程、概率论、或更高级的泛函分析领域中游刃有余。本书强调的是分析学的基础结构而非特定结构的完备性，为读者构建一个坚实的分析底层逻辑。

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