Abelian Group Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Gbel, R.; Lady, L.; Mader, A.

出品人:

页数:771

译者:

出版时间:1983-09-13

价格:USD 59.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540123354

丛书系列:

图书标签:

• Abelian Groups
• Group Theory
• Algebra
• Mathematics
• Abstract Algebra
• Commutative Algebra
• Modern Algebra
• Mathematical Structures
• Pure Mathematics
• Algebraic Structures

好的，这是一本名为《抽象代数核心概念》的图书简介，内容涵盖了抽象代数中的基础理论和重要结构，但不涉及特定关于“Abelian Group Theory”的详细内容。 --- 书籍简介：《抽象代数核心概念》 本书概述： 《抽象代数核心概念》是一本旨在为读者提供扎实、全面而深入理解代数结构基础的专著。本书聚焦于现代代数理论的基石，涵盖了群论、环论和域论的经典构建模块。本书的编写目标是为数学专业本科生、研究生初学者以及希望在代数领域进行更深入研究的科研人员提供清晰、严谨且富有洞察力的导读。我们通过精选的例子、详细的证明和结构化的章节安排，力求将抽象概念与具体的数学实例紧密结合。 内容结构与深度： 本书分为四个主要部分，层层递进，构建起抽象代数的知识体系。 第一部分：代数结构的基础——集合与运算 本部分是全书的基石，为后续复杂结构的讨论奠定必要的集合论和逻辑基础。我们首先回顾了集合、映射、关系等基础概念，并引入了代数结构的关键要素——二元运算。 基础回顾与预备知识： 详细阐述了集合的幂集、笛卡尔积、函数（单射、满射、双射）的性质。 代数结构初步概念： 定义了代数系统（Algebraic Systems），重点讨论了运算的封闭性、结合律和交换律。引入了单位元和逆元的严格定义。 同余关系与商集： 深入分析了等价关系，特别是模运算（在整数集上）所体现的同余关系。详细阐述了如何利用等价关系构造商集，这是构建群、环等结构中“商结构”的先导步骤。 第二部分：群论的宏大框架 第二部分是本书的核心内容之一，致力于全面构建群论的理论体系。我们从最基础的群定义出发，逐步深入到子群、陪集、正规子群，并最终讨论到群的同构与分类。 群的定义与基本性质： 严格定义了群的四个公理，并通过实例展示了非交换群（如对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$）的复杂性。详细讨论了群元素的阶、子群的性质，以及生成元和循环群的概念。 拉格朗日定理及其推论： 详细给出了拉格朗日定理的证明及其在有限群分类中的关键作用。推导出子群的指数、群元素的阶与群的阶的关系。 正规子群与商群（Factor Groups）： 这是理解抽象代数结构分解的关键。本书详细区分了子群与正规子群，阐述了正规性的充要条件。系统地构造了商群，并详尽讨论了商群的性质和重要性。 群同态与同构定理： 引入群同态的概念，证明了第一同构定理（或称基本同态定理），展示了群结构之间映射的深刻联系。并讨论了第二和第三同构定理。 作用（Group Actions）： 讨论了群如何作用于集合，重点分析了轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）。利用群作用的理论，推导了共轭类公式，并探讨了 $p$-群的性质。 第三部分：环论的拓扑结构 第三部分将视野从单一运算扩展到涉及两种运算的代数结构——环。本书着重于阐明环的加法结构（作为阿贝尔群）与乘法结构的交互作用。 环的定义与基本类型： 严格定义了环，包括交换环、单位环。引入了零因子、整环（Integral Domains）的概念，并探讨了域（Fields）的初步特征。 子环、理想与商环： 类似于群中的子群和正规子群，本书详细定义了子环和理想。重点阐述了理想作为加法子群的特殊性，并构造了商环。理想在乘法结构中扮演的角色，尤其是在保持结构分解上的重要性，得到了充分的讨论。 环同态与同构定理： 证明了环同态的基本性质和第一同构定理在环论中的对应形式。 特殊类型的理想： 深入研究了主理想（Principal Ideals）、素理想（Prime Ideals）和极大理想（Maximal Ideals），并精确地阐明了它们与整环和域之间的关系。 第四部分：域论的进阶探索 本书的最后一部分关注代数结构中具有高度规律性的代表——域。我们探讨了域的构造、特征以及域的扩张概念。 域的构造与特征： 讨论了域的最小子域，特别是素域（Prime Fields）的结构（$mathbb{Q}$ 或 $mathbb{F}_p$）。严格定义了域的特征（Characteristic）。 多项式环与整环性质： 重点分析了在整环（如 $mathbb{Z}$ 或 $F[x]$，其中 $F$ 为域）上的多项式运算。讨论了多项式的整除性、因式分解的唯一性（在唯一分解整环中）。 域扩张的初步： 引入了域扩张（Field Extensions）的概念，如 $E/F$。初步探讨了代数元和超越元，并讨论了构造有限域的基本原理。 本书特色： 1. 证明的严谨性与清晰性： 所有关键定理均提供了完整、详细的证明，力求逻辑链条无懈可击。 2. 例证的丰富性： 大量使用矩阵群、对称群、二面体群、整数环 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$ 等经典实例来阐释抽象概念。 3. 结构化的章节设计： 从最简单的代数结构逐步提升到更复杂的环和域，确保读者能够平稳过渡，避免知识断层。 《抽象代数核心概念》不仅仅是一本教科书，更是一份导引读者进入现代数学核心领域的路线图。通过系统学习本书内容，读者将建立起对代数结构本质的深刻理解，为进一步学习伽罗瓦理论、表示论等高级课程打下坚实的基础。

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