Abelian Group Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Routledge

作者:R. Gobel

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1987-01-01

价格:USD 219.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9782881241666

丛书系列:

图书标签:

Abelian Groups
Group Theory
Algebra
Mathematics
Abstract Algebra
Commutative Algebra
Modern Algebra
Mathematical Structures
Pure Mathematics
Algebraic Structures

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具体描述

线性代数：结构、变换与应用一、绪论：线性世界的基石本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的线性代数学习体验。我们摒弃了传统教材中枯燥的、碎片化的定义堆砌，转而聚焦于线性代数的核心思想——向量空间、线性变换以及矩阵表示之间的内在联系。线性代数不仅仅是关于解方程组的工具，它更是理解和描述自然界、工程技术、经济模型以及复杂数据结构的基础语言。本书首先会从最直观的几何视角入手，引入向量的概念，并探讨向量的线性组合、张成空间以及线性相关性。我们将详细剖析仿射空间与欧几里得空间的差异，为后续的几何解释打下坚实的基础。随后，我们将严谨地定义向量空间及其子空间，重点讲解基（Basis）和维数（Dimension）的概念，它们是衡量空间复杂度和自由度的关键度量。读者将学习如何通过坐标变换来系统地改变对同一对象的描述方式，理解基的选取如何影响矩阵的简洁性。二、矩阵运算与线性映射的统一视图矩阵作为线性代数的核心工具，其意义远超于简单的数表。本书将矩阵视为线性变换在特定基下的具体实现。我们将深入探讨矩阵乘法的几何意义，即变换的复合。在这一部分，我们将系统地介绍行列式的性质及其计算方法。行列式的几何意义——体积或面积的缩放因子——将贯穿始终，帮助读者建立直观理解，而非仅仅依赖于代数公式。接着，本书将详细阐述线性方程组的解法，重点介绍高斯消元法和LU分解，并分析系统解集的几何形态（点、线、面等）。我们将讨论秩的概念，及其与零空间（核空间）和像空间（值域）的关系，这直接揭示了线性映射的“可逆性”和“信息损失”程度。三、特征值与特征向量：系统的内在韵律特征值和特征向量是分析动态系统和结构稳定性的核心工具。我们将解释，特征向量代表了在特定线性变换下方向保持不变的特殊向量，而特征值则描述了其伸缩比例。本书将详细介绍相似变换的概念，并证明一个矩阵可以通过相似变换对角化，这使得复杂矩阵的幂次计算变得异常简单。我们将讨论对角化的条件（是否可对角化，何时可以）。对于不可对角化的情形，我们将引入若尔当标准型（Jordan Normal Form），这是一个更为普适的工具，用于揭示线性变换的全部结构信息。此外，我们还会探讨对称矩阵的特殊性质，包括谱定理，它保证了实对称矩阵总能被正交相似对角化，这在主成分分析等领域至关重要。四、内积空间与正交性：度量与几何的深化为了在抽象的向量空间中引入长度、角度和投影的概念，本书引入了内积（或点积）。我们将从欧几里得空间出发，推广到一般域上的内积空间。正交性是理解空间结构的关键。我们将详细介绍施密特正交化过程，它允许我们在任意向量空间中构造一组正交基。这一工具的直接应用是正交投影，用于解决最小二乘问题——在无法精确求解时，找到“最优近似解”。本书将把最小二乘问题置于几何投影的框架下进行阐释，而非仅仅作为一个公式来记忆。此外，我们将讨论正交矩阵的特性，它们在保持长度和角度不变的几何操作（如旋转）中扮演核心角色。五、线性代数在应用中的延伸虽然本书的核心是理论基础，但我们深信理论的价值在于指导实践。在章节的末尾和附录中，我们将简要探讨线性代数在不同领域中的应用： 1. 微分方程的解法：如何利用矩阵指数和特征值方法求解常系数线性微分方程组。 2. 图论与网络分析：利用邻接矩阵和拉普拉斯矩阵分析网络的连通性和中心性。 3. 优化理论基础： Hessian 矩阵在确定函数极值点中的作用，以及线性规划的几何意义。 4. 数值稳定性：简要介绍矩阵的条件数，解释病态问题，以及为什么数值计算需要鲁棒的矩阵分解方法。本书的写作风格力求清晰、严谨，同时注重概念之间的逻辑链条。我们希望读者在合上书卷时，不仅掌握了计算的技巧，更能深刻理解线性代数这一强大理论框架背后的深刻几何和代数直觉。