Seiberg Witten and Gromov Invariants for Symplectic 4-manifolds pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Clifford Henry Taubes

出品人:

页数:405

译者:

出版时间:2000-04-15

价格:USD 70.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781571460615

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何7
• 拓扑
• Seiberg-Witten theory
• Gromov-Witten theory
• Symplectic geometry
• 4-manifolds
• Topological invariants
• String theory
• Mathematical physics
• Algebraic geometry
• Differential geometry
• Kähler manifolds

《辛扑流形上的赛伯格-维滕与格罗莫夫不变量》 引言 在现代数学的诸多分支中，几何学与拓扑学的交叉领域一直涌现出深刻而迷人的理论。其中，辛几何作为研究具有辛结构的流形（即辛流形）的学科，在过去的几十年里取得了爆炸性的发展。辛流形不仅出现在经典力学和量子力学等物理理论的数学表述中，更在代数几何、低维拓扑等领域扮演着至关重要的角色。理解辛流形的拓扑性质，是该领域的核心课题之一。 本书《赛伯格-维滕与格罗莫夫不变量 for Symplectic 4-manifolds》深入探讨了辛4-流形这一特定而重要的几何对象。4-流形，即具有四维空间的流形，由于其独特的拓扑和几何特性，一直以来都是数学家们关注的焦点。而当它们被赋予辛结构时，便成为了连接代数几何、低维拓扑和规范场论的桥梁。本书旨在阐述两种强大的不变量——赛伯格-维滕不变量（Seiberg-Witten invariants）和格罗莫夫不变量（Gromov invariants）——如何被应用于研究辛4-流形的拓扑性质，以及它们之间可能存在的深刻联系。 第一部分：辛4-流形基础 在深入不变量的研究之前，建立坚实的辛4-流形基础至关重要。本部分将详细介绍辛流形的定义、基本性质及其在4维情况下的特殊性。 辛结构的定义与性质： 我们将从辛形式（sympletic form）的定义出发，阐述其闭合性和非退化性，并讨论这些性质如何引申出辛流形上的许多重要概念，例如泊松括号、辛同胚等。 4-流形的拓扑： 4-流形在拓扑上表现出与低维度流形截然不同的特性。我们将回顾4-流形的基本拓扑工具，如霍普夫映射（Hopf fibration）、基本群、同调群、庞加莱对偶等，并特别强调它们在4-流形中的表现。 辛4-流形的存在性与构造： 并非所有4-流形都能赋予辛结构。我们将探讨哪些类型的4-流形可以成为辛流形，并介绍一些构造辛4-流形的常用方法，例如通过Dehn surgery、取积以及利用代数簇的辛结构等。 辛4-流形上的几何特性： 辛结构蕴含着丰富的几何信息。我们将介绍一些与辛结构密切相关的几何对象，如拉格朗日子流形（Lagrangian submanifolds）、极小曲面（minimal surfaces）等，并讨论它们在辛4-流形中的一些基本性质。 Kahler流形与辛流形的联系： Kahler流形是辛流形的一个重要子类。我们将探讨Kahler流形与一般辛流形之间的关系，以及Kahler结构如何影响辛流形的几何和拓扑性质。 第二部分：格罗莫夫不变量与伪全息映射 格罗莫夫不变量，特别是全息曲线（J-holomorphic curves）的计数，是研究辛流形拓扑的有力工具。本部分将专注于介绍格罗莫夫不变量的理论框架及其在辛4-流形上的应用。 全息曲线的定义： 我们将引入复结构 $J$ 下的全息曲线的概念，阐述其满足的 Cauchy-Riemann 方程。全息曲线的测地线性质和它们如何在辛流形中“度量”几何和拓扑信息，将是核心的讨论内容。 伪全息映射（Pseudo-holomorphic Maps）： 理论的完备性需要考虑光滑映射，而不仅仅是解析映射。我们将介绍伪全息映射的概念，以及如何通过它们来定义更一般的全息曲线。 模空间（Moduli Spaces）： 一族全息曲线的集合构成了模空间。我们将详细讨论全息曲线模空间的拓扑结构、维度以及与之相关的稳定性问题。 格罗莫夫-威滕不变量（Gromov-Witten Invariants）： 这是全息曲线计数的核心。我们将介绍格罗莫夫-威滕不变量的定义，它们是如何通过对全息曲线模空间进行积分得到的，以及它们与流形上某个特定流形（如一个点、一条曲线）的相交数的关系。 辛4-流形上的格罗莫夫不变量： 我们将聚焦于辛4-流形上的格罗莫夫不变量。讨论在4维空间中，全息曲线的维度以及它们可能出现的退化情况，并介绍如何通过引入“标记”来解决模空间的退化问题，从而得到光滑的格罗莫夫-威滕不变量。 应用举例： 通过具体的例子，例如Blow-up操作对格罗莫夫-威滕不变量的影响，或者简单辛4-流形（如$CP^2$）的格罗莫夫-威滕不变量的计算，来直观地展示该理论的力量。 第三部分：赛伯格-维滕不变量 赛伯格-维滕不变量源于规范场论，特别是对辛格方程（Seiberg-Witten equations）的解进行计数。本部分将详细介绍赛伯格-维滕不变量的理论基础及其在辛4-流形上的应用。 辛格方程： 我们将介绍赛伯格-维滕方程的定义，它是在一个流形上定义的关于旋量（spinor）和联络（connection）的偏微分方程组。 主丛与旋量丛： 赛伯格-维滕方程的理解离不开主丛（principal bundle）和旋量丛（spinor bundle）的概念。我们将简要回顾这些拓扑和几何工具。 模空间与赛伯格-维滕不变量： 类似于格罗莫夫不变量，赛伯格-维滕方程的解的模空间构成了赛伯格-维滕不变量的基础。我们将讨论赛伯格-维滕方程解的模空间，以及如何通过拓扑的方法（例如对模空间进行积分）来定义不变量。 辛4-流形上的赛伯格-维滕不变量： 重点在于讨论当流形是辛4-流形时，赛伯格-维滕不变量的定义和性质。我们将介绍赛伯格-维滕不变量与辛结构的特殊关系，以及它们如何捕捉流形的拓扑信息。 与辛结构的关系： 辛结构对于理解赛伯格-维滕不变量至关重要。我们将探讨在辛4-流形上，选择不同的复结构 $J$ 会如何影响赛伯格-维滕不变量，以及如何通过“存在性定理”来确保在某些条件下，辛4-流形存在合适的复结构使得赛伯格-维滕方程有解。 第四部分：赛伯格-维滕与格罗莫夫不变量的联系 本书的核心目标之一是探讨赛伯格-维滕不变量和格罗莫夫不变量之间的深刻联系，尤其是在辛4-流形上。 理论背景： 介绍这两种不变量在数学和物理研究中的出现背景，以及它们各自在早期研究中的成功之处。 “同构”猜想： 阐述在某些条件下，赛伯格-维滕不变量和格罗莫夫不变量可能“相等”或“相关”的猜想。 基于辛结构的联系： 重点分析当流形是辛4-流形时，赛伯格-维滕不变量和格罗莫夫不变量如何通过辛结构而联系起来。我们将讨论如何选择合适的复结构 $J$ 来桥接这两种不变量的计算。 Taubes 的定理： 介绍由 C.H. Taubes 提出的突破性工作，他证明了在特定条件下，辛4-流形的赛伯格-维滕不变量等于其格罗莫夫-威滕不变量（在某些归一化下）。我们将概述 Taubes 定理的证明思路，例如如何通过“伪全息曲线”与“流形上的测地线”进行类比，以及如何利用流形上的几何结构来完成从规范场论到计数几何的转化。 推广与进一步研究： 讨论 Taubes 定理的推广，以及在更一般的辛流形或低维拓扑中，这两种不变量之间可能存在的其他联系和开放问题。 应用： 阐述这些联系如何为解决经典的拓扑问题提供新的方法，例如区分同胚的4-流形，研究拉格朗日子流形的性质，以及在弦理论等物理领域中的潜在应用。 第五部分：专题与前沿 本部分将涉及一些更深入的专题，以及与本书主题相关的最新研究方向。 不同流形上的不变量： 探讨在非辛流形或更高维流形上，赛伯格-维滕与格罗莫夫不变量的研究现状。 拉格朗日谱理论（Lagrangian Spectral Theory）： 介绍基于拉格朗日子流形上的全息曲线和赛伯格-维滕理论发展出的谱理论，以及它在辛几何中的作用。 辛4-流形的分类问题： 讨论如何利用这些不变量来帮助解决辛4-流形的分类问题。 代数几何与辛几何的接口： 进一步探讨代数几何中的贝蒂数（Betti numbers）、霍奇结构（Hodge structures）等与辛几何不变量之间的联系。 数值计算与计算机辅助证明： 提及数值计算在验证不变量性质和发现新现象方面的作用。 结论 《赛伯格-维滕与格罗莫夫不变量 for Symplectic 4-manifolds》是一部旨在提供对辛4-流形拓扑研究中两个核心不变量的全面而深入的理解的著作。通过结合格罗莫夫的全息曲线方法和赛伯格-维滕的规范场论方法，本书揭示了它们在刻画辛4-流形拓扑性质上的强大能力，并重点阐述了它们之间深刻的联系，尤其是在 Taubes 工作所揭示的等价性之后。本书适合对低维拓扑、辛几何、代数几何和理论物理有浓厚兴趣的研究者和高年级研究生，为他们提供深入理解这些前沿理论的坚实基础，并激发进一步探索的灵感。

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这本书的结构设计，在某些章节的处理上展现出一种近乎偏执的严谨性，这对于严肃的研究者来说或许是优点，但对于寻求快速了解概貌的读者，可能会显得有些冗余。例如，在介绍某种特定模空间的构造时，作者花费了几乎三章的篇幅来论证某个嵌入的唯一性和光滑性，每一个拓扑空间的微小形变都被拿出来进行详尽的分析。我理解，在这些高维几何的研究中，基础的稳健性是至关重要的，任何一个小小的漏洞都可能导致整个理论大厦的倾覆。然而，作为一名读者，我渴望看到更早一些的“应用”或“洞察”，而不是无休止的微积分和层论的验证。这本书仿佛是在对一位技术完美主义者说话，它拒绝任何形式的捷径或简化，坚持把每一个支撑点都夯实到磐石的深度。这使得这本书的阅读速度极慢，但不可否认，一旦你跟上了作者的节奏，你会发现自己对所学概念的理解深度，是其他任何简略介绍都无法比拟的。

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从装帧和排版的角度来看，这本书给人一种非常“学术机构”的出品感，厚重的纸张，略显暗淡的封面色彩，以及那种仿佛永远不会褪色的墨水，都昭示着它追求的是永恒的知识而非短暂的市场热度。我注意到书中几乎没有图示，这对于一个处理四维几何对象的书籍来说，是一个非常大胆的取舍。作者完全依赖于符号和语言的力量去构建几何图像，这无疑是对读者空间想象力的一种挑战。我不得不经常在脑海中拼凑那些高维流形的截面和纤维丛结构，这过程非常耗费心神。但是，这种“去视觉化”的倾向，反而迫使我对抽象的代数和拓扑工具产生更强的依赖感，从而更深入地理解那些通过代数语言才能被精确捕获的几何特征。这本书成功地证明了，在某些深奥的数学领域，语言和符号的精确性可以超越直观的图像表达。

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坦白讲，当我深入到关于“规范场论”与拓扑结构相互作用的章节时，我感到了智力上的巨大挑战，但这种挑战并非来自叙述的模糊，而是源于内容本身的深刻性。作者在处理规范理论的某些特定情形时，所展现出的那种对细节的把握能力，简直令人叹为观止。他们似乎拥有一种罕见的本领，能够将原本抽象到令人头皮发麻的几何直观，通过一系列精妙的代数构造展现出来。我发现自己不得不频繁地后退几页，重新审视前面章节中那些被我略微跳过的定义，以确保我对当前论证的每一步都能心领神会。这种学习过程是艰苦的，但每一次豁然开朗的瞬间，都伴随着一种强烈的满足感。这本书的真正价值，或许不在于提供现成的结论，而在于它系统地训练了读者如何思考这些极端复杂的拓扑与微分几何交叉点上的问题。它不是一本供人快速查阅的参考书，而更像是一份需要细细品味的、充满挑战性的智力冒险地图。

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这本小册子，初读时给我的感觉如同置身于一个迷宫的入口，封面设计简洁到近乎古板，完全没有现代数学著作那种试图用视觉冲击来吸引读者的意图。我原本以为这会是一本晦涩难懂的理论集合，充满了只有少数专家才能企及的符号和概念的堆砌。然而，翻开扉页，我立刻被作者对数学语境的梳理所吸引。他们似乎并未急于抛出那些复杂的定理，而是花了大篇幅来构建一个清晰的、可供追溯的理论基础。这种叙事手法，对于我这种并非长期浸淫于此领域的读者来说，无疑是一种巨大的友好信号。它不像某些教科书那样，直接将读者扔到深水区，而是耐心地铺设了一条由浅入深的路径。我特别欣赏作者在引言部分对“辛四流形”这一概念的历史演变所做的回顾，它不仅仅是冷冰冰的定义罗列，更像是一段数学思想的编年史，让我明白了为何这些工具会以这样的形式组合在一起。阅读体验上，字体选择和版式设计虽然传统，却异常清晰，长时间阅读下来眼睛的疲劳感也相对较低，这在处理如此密集的数学论证时，是极其重要的细节考量。

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读完最后一部分关于“不变量”如何抵抗某些奇点构造时的论述，我有一种强烈的回味感。这本书最吸引我的地方在于，它并没有将那些复杂的数学工具仅仅视为计算的手段，而是将它们提升到了哲学思考的层面。它探讨的不仅仅是如何计算某个不变量，而是“为什么”在拓扑维度为四的情况下，这些基于弦论或规范场论的工具会自然地涌现出来，并且提供出比传统拓扑方法更精细的区分能力。这涉及到对理论物理与纯数学之间界限的模糊处理，作者在这方面的讨论显得格外老练和审慎，既不夸大联系的强度，也不否认潜在的深刻关联。最终的结论部分，虽然是数学证明的收尾，却散发着一种令人敬畏的美感——那是结构之必然性的体现。这本书无疑是为那些已经具备扎实基础，并渴望在最前沿领域进行探索的数学家和理论物理学家准备的，它是一扇通往特定领域深处、并需要付出巨大努力才能打开的门。

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