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出版者:Princeton University Press

作者:John von Neumann

出品人:

页数:316

译者:

出版时间:1998-04-20

价格:USD 72.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780691058931

丛书系列:Princeton Landmarks in Mathematics and Physics

图书标签:

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《连续几何》：一本探索几何之美与逻辑之网的著作 引言 在浩瀚的数学宇宙中，几何学以其独特的直观性和普适性，长期以来吸引着无数智者的目光。它不仅仅是描绘图形、计算面积的学科，更是理解空间、测量距离、构建模型的基础。从古埃及人对土地丈量的实践，到欧几里得《几何原本》对公理体系的严谨构建，再到非欧几何的革命性突破，几何学的发展史就是一部人类认识和改造世界的智慧史。 《连续几何》正是这样一本旨在深入剖析几何学本质、展现其丰富内涵与强大力量的著作。它并非仅仅罗列公式定理，而是试图引导读者跨越具象的图形，抵达几何学背后那严谨的逻辑结构和深刻的数学思想。本书将带领读者领略几何学在不同历史时期、不同分支领域所展现出的迷人魅力，揭示其在现代科学、技术以及艺术等多元领域扮演的关键角色。 第一部分：几何学的思想根基与演变 本书的开篇，将带读者回溯几何学的源头，探寻其最根本的思想脉络。我们将从早期文明中萌芽的朴素几何观念出发，如古埃及的金字塔建造与尼罗河泛滥后的土地重新划分，勾勒出几何学最初的实用价值。随后，目光将聚焦于古希腊文明，特别是欧几里得的《几何原本》。我们将深入剖析“公理—公设—定理”的演绎推理体系，理解其如何构建了一个自洽且强大的几何王国，并探讨其对后世西方科学思想产生的深远影响。 然而，历史的车轮滚滚向前，单一的欧式几何体系逐渐显露出其局限性。本书将详细阐述19世纪以来非欧几何的兴起，如黎曼几何和罗氏几何。我们将介绍它们的提出背景，如高斯对曲面几何的研究，以及洛巴切夫斯基和波约依对平行公理的挑战。通过对这些非欧几何体系的解读，读者将体会到数学的创造力是如何打破既有框架，拓展人类对空间的认知边界。这不仅是数学史上的重大事件，更是思维方式的深刻变革，为爱因斯坦的相对论等现代物理学理论奠定了数学基础。 第二部分：经典几何的辉煌与拓展 在理解了几何学的思想演变后，本书将重点深入探讨几类重要的经典几何。 平面几何（欧几里得几何）： 这是我们接触最多的几何学分支。我们将不仅仅复习点、线、面、角、三角形、四边形、圆等基本概念，更将深入挖掘其内在的逻辑联系。例如，我们将探讨勾股定理的多种证明方式，分析相似三角形的判定与性质，以及圆的切线性质和弦的计算。本书会引导读者理解平面几何的严谨性和其作为基础数学语言的优雅。此外，我们还将关注一些更复杂的平面图形，如多边形、星形线以及它们在设计和艺术中的应用。 立体几何： 从二维平面走向三维空间，立体几何为我们描绘了一个更加真实和丰富的世界。本书将系统介绍点、直线、平面在空间中的位置关系，如平行、垂直、相交。我们将深入研究棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球体等基本立体图形的性质，包括它们的表面积和体积的计算。此外，我们还将探讨截面、旋转体等概念，以及如何利用投影和视图来理解复杂的立体结构。立体几何的知识对于建筑、工程、制造等领域至关重要，本书将通过实例展现其应用价值。 解析几何： 解析几何的诞生是数学史上的一大飞跃，它将代数与几何完美融合，为几何问题的解决提供了强大的分析工具。本书将详细介绍坐标系的概念，如何用代数方程来表示点、直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等几何图形。我们将学习如何利用向量和矩阵来描述几何变换，如平移、旋转、缩放，以及如何求解几何体的交点、距离等问题。解析几何不仅使几何问题更具操作性，更为后来微积分和微分几何的发展铺平了道路。 第三部分：几何学的现代视角与前沿探索 随着科学技术的飞速发展，几何学也焕发出了新的生机，并在许多前沿领域扮演着核心角色。 微分几何： 当我们谈论“弯曲”的空间时，微分几何就登场了。本书将介绍曲线和曲面的微积分性质，如切线、法线、曲率、挠率等概念，帮助读者理解曲面是如何局部逼近平面的，以及如何用微分方程来描述几何对象的局部结构。我们将探讨如高斯曲率和平均曲率等重要概念，以及它们在描述空间曲率特性中的作用。微分几何是研究流形（Manifold）的基础，而流形是现代物理学（特别是广义相对论）描述时空的重要数学工具。 拓扑学： 拓扑学以其“不改变连续性”的独特视角，研究图形在连续变形下保持不变的性质。本书将介绍拓扑学的基本概念，如连续映射、同胚、同伦等，并解释为何拓扑学被誉为“橡皮片几何”。我们将通过一些经典的拓扑学问题，如柯尼斯堡七桥问题、迷宫问题，来展示拓扑学的魅力。拓扑学在数据分析、计算机图形学、网络通信等领域有着广泛的应用，它能够帮助我们理解事物的本质连接和结构特征。 计算几何： 在计算机科学日益普及的今天，计算几何的研究显得尤为重要。本书将介绍如何用算法来解决几何问题，例如点定位、线段相交、多边形分割、凸包计算等。我们将探讨这些算法的效率和复杂度，以及它们在计算机辅助设计（CAD）、计算机图形学、机器人学、地理信息系统（GIS）等领域的应用。计算几何是连接抽象几何理论与实际计算应用的重要桥梁。 几何学在科学与艺术中的应用： 本书还将穿插介绍几何学在各个领域的实际应用。我们将探讨在物理学中，如牛顿力学对欧几里得空间的描述，以及爱因斯坦的广义相对论中对弯曲时空的几何描述。在工程学中，如建筑设计的几何原理，以及机械零件的精确制造。在计算机科学中，如三维建模、图像识别、虚拟现实。甚至在艺术领域，如比例、黄金分割、透视法等，都蕴含着深刻的几何学思想。通过这些例子，读者将更深刻地体会到几何学作为一门基础科学，其普适性和强大生命力。 结语 《连续几何》旨在为读者打开一扇通往几何学宏伟殿堂的大门。它希望通过严谨的论述、清晰的逻辑和丰富的示例，展现几何学的内在逻辑之美，激发读者对数学的探索热情。本书不仅仅是知识的传授，更是思维方式的引导，它鼓励读者用几何的眼光去审视世界，用逻辑的思维去解决问题。学习几何，就是学习如何观察、如何推理、如何构建，这对于任何一位追求深度思考和创新能力的人来说，都是一笔宝贵的财富。希望本书能够成为读者在探索几何奥秘过程中的良师益友，共同感受数学的魅力，享受逻辑的乐趣。

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我花了很长时间寻找一本能够真正桥接纯数学理论与应用直觉的书，而《连续几何》在很大程度上满足了这个苛刻的要求。它不像某些纯理论书籍那样高高在上、不接地气，也不像某些过于简化的应用指南那样肤浅无力。作者成功地在严密的数学推导和对“连续性”本质的深刻洞察之间找到了一个绝妙的平衡点。我特别喜欢书中对“不确定性”在连续系统中的数学表述那一段的论述，它巧妙地将概率论的思想融入了几何的框架，使得原本僵硬的结构有了一种动态的、可感知的生命力。这本书的行文风格带着一种独特的学术魅力，既有古典数学家的精确，又不乏当代科学家的创新精神，读起来是一种智力上的享受，更像是一次与一位博学导师的深度对话。

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这是一本需要反复研读的“慢读”之作。我通常习惯于快速消化信息，但《连续几何》迫使我慢下来，甚至在某些章节，我不得不停下来，在笔记本上画出作者描述的那些非欧几何场景的草图。这本书的难度曲线是显著的，开篇还算平易近人，但一旦进入到关于拓扑度量空间的章节，对读者的背景知识要求陡然增高。不过，正是在这种挑战中，我体会到了知识被真正“内化”的过程。作者在处理那些涉及无限集合和可测性理论的部分时，其严谨性令人叹服，丝毫没有为了追求流畅性而牺牲数学的精确性。书中的图示虽然不多，但每一个都点到了问题的核心，起到了画龙点睛的作用。对于研究生级别的学习者而言，这本书无疑是一份宝藏，它提供的不仅仅是知识，更是一种处理复杂结构问题的思维范式。

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说实话，我本来对“连续几何”这个名字抱持着一丝怀疑，总觉得它可能又是某种故作高深的理论堆砌。然而，《连续几何》完全颠覆了我的预期。这本书的叙事方式极其新颖，它不是教科书式的线性推进，更像是一场精心策划的智力探险。作者的叙述节奏把握得炉火纯青，在介绍完一个核心概念后，他会立刻抛出一个精心设计的思想实验，迫使读者停止阅读，转而深入思考其隐含的哲学意涵。例如，书中探讨“点”的构成方式时，那种将基本元素解构到极致的细致，让人不禁联想到早期的哲学思辨。我特别欣赏作者在引用历史背景时的恰到好处，它没有让历史成为负担，反而为那些抽象的定理增添了人性化的温度和时代印记。读完后，我发现自己看待日常中的线条、曲面甚至运动的方式都变得不同了，那种思维的“拓宽感”是其他纯粹的分析性著作难以给予的。

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这部《连续几何》简直是为那些渴望在传统几何学的严谨框架外寻找新视角的读者量身定做的。我花了整整一个周末沉浸其中，每一次翻页都像是在攀登一座宏伟的数学山脉，视野随着海拔的升高而不断开阔。书中的论证逻辑如同精心编织的挂毯，虽然复杂，但每根丝线——那些关于拓扑空间、流形理论以及更抽象的度量空间的讨论——都紧密地交织在一起，最终呈现出一个令人惊叹的整体图景。作者在处理那些看似棘手的高维问题时，展现出了惊人的洞察力，他不是简单地堆砌公式，而是用一种近乎诗意的语言，将那些冰冷的数学概念赋予了生命和直观的图像。尤其是关于“邻域”和“极限”的阐释部分，我感觉自己仿佛真正触摸到了无限的边缘。对于初涉此领域的读者来说，可能会感到一丝眩晕，但请相信我，坚持下去，你会发现自己已经站在了一个全新的哲学高度，重新审视我们赖以生存的空间本质。这本书无疑为现代几何学研究奠定了一个坚实而又富有启发性的基础。

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如果用一个词来形容阅读《连续几何》的体验，我会选择“重塑”。这本书并非简单地介绍“连续几何”这个领域已有的知识体系，它更像是在邀请你参与一次对“连续”这一概念的底层重建。作者对基本公理的审视细致入微，使得读者不得不审视自己过去对空间、距离和路径的所有预设。书中对非标准分析的引入，以及它如何影响我们对极限过程的理解，是我阅读体验中最具颠覆性的部分。这种对基础的彻底反思，让这本书的价值超越了单一的学科范畴，它甚至触及了认识论的边界。它要求你不仅要理解公式，更要理解公式背后的“为什么”，而正是这种对“为什么”的不断追问，才使得这本书成为了一部值得被反复珍藏和研习的杰作。

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