Géométrie différentielle, variétés, courbes et surfaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Presses Universitaires de France - PUF

作者:Marcel Berger

出品人:

页数:520

译者:

出版时间:1992-4-1

价格:EUR 33.50

装帧:Broché

isbn号码:9782130447085

丛书系列:

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• 微分几何7
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• 微分几何学

《几何学：从欧几里得的公理到现代的洞察》 这是一本关于几何学的全面指南，它追溯了这一学科从古希腊时期奠基以来，漫长而辉煌的发展历程。本书将带领读者穿越时间的长河，探索那些塑造了我们对空间、形状和度量理解的伟大思想和理论。我们不局限于任何单一的几何学分支，而是试图勾勒出这门学科的广阔图景，展示其核心概念如何演变，以及它如何在不同的历史时期和不同的思想家中焕发出新的生命力。 第一章：几何学的黎明——欧几里得与公理化体系 本章将我们带回到公元前三世纪的古希腊，那里诞生了西方文明的智慧基石之一——欧几里得的《几何原本》。我们将深入探讨《几何原本》的核心——公理与公设。理解这些基本假设是如何被小心翼翼地构建起来，以及它们如何通过逻辑推理推导出庞大的几何知识体系，是理解几何学思想根源的关键。我们会详细分析欧几里得的五条公设，特别是第五公设（平行公设）的独特地位，为后续章节中非欧几何的诞生埋下伏笔。本章还将考察《几何原本》的结构和证明方法，展示其严谨性和系统性，并探讨这部著作对西方数学和科学思想产生的深远影响，其作为逻辑推理典范的地位。 第二章：从平面到空间——解析几何的革命 时间步入17世纪，数学家笛卡尔和费马的出现，为几何学注入了全新的活力。本章将聚焦解析几何的诞生。我们将详细阐述笛卡尔坐标系的引入是如何将抽象的几何图形与代数方程紧密联系起来的。这意味着，我们可以用代数的语言来描述几何对象的性质，反之亦然。我们将探讨直线、圆、抛物线、椭圆和双曲线等基本曲线在代数方程下的表示，以及如何通过代数方法研究它们的性质，例如交点、距离和角度。本章还将介绍三维空间中的解析几何，包括平面和曲面的方程，以及向量在描述几何对象中的作用。解析几何的出现，极大地扩展了我们能够研究的几何对象的范围，并为后续的微积分发展奠定了基础。 第三章：运动与变换——仿射与射影几何的视角 几何学不仅仅是关于静止的形状，它也关乎形状之间的关系以及它们在运动和变换中的不变性。本章将探索仿射几何和射影几何。我们将定义仿射变换，如平移、旋转、缩放和剪切，并考察在这些变换下保持不变的几何性质，例如平行性。仿射几何让我们能够更深入地理解不同类型的图形，例如仿射变换将直线映射为直线，将平行线映射为平行线。随后，我们将进入射影几何的世界。射影几何研究在投影变换下保持不变的性质，例如点在线上，线相交于一点。我们将讨论射影坐标系以及射影几何中的一些著名定理，如帕斯卡定理和摩尔甘定理。这些几何分支提供了看待几何对象的新视角，强调了不同形状之间的内在联系和不变属性。 第四章：曲率的奥秘——微分几何的诞生与发展 当我们将目光投向18世纪和19世纪，高斯等数学家的工作开启了微分几何的时代。本章将深入探讨如何使用微积分的工具来研究曲线和曲面的局部性质。我们将从曲线的曲率概念入手，理解它如何衡量曲线的弯曲程度。随后，我们将过渡到曲面的微分几何，引入曲面参数化、法向量、切平面等基本概念。高斯曲率和平均曲率将是本章的重点，它们能够描述曲面的弯曲方式，例如平面、球面、马鞍面等。我们还将介绍测地线——连接曲面上两点的最短路径，并探讨曲面内蕴几何的重要性，即只依赖于曲面本身性质的几何。微分几何为理解我们周围世界中各种弯曲的形状，从行星轨道到人造曲面，提供了强大的数学工具。 第五章：非欧世界的崛起——挑战与创新 平行公设的“困境”长久以来困扰着数学家。本章将聚焦非欧几何的革命性突破。我们将重温平行公设的表述，并探讨历史上试图证明或修改它的各种努力。然后，我们将介绍19世纪两位伟大的数学家——罗巴切夫斯基和波约，他们独立地构建了双曲几何。我们将解释在双曲几何中，过已知直线外一点可以作无数条不过该直线的直线，以及由此产生的几何性质。接着，我们将介绍黎曼几何，它提供了一个更为广阔的框架，允许我们研究任意流形上的几何。我们将讨论黎曼几何中的度量张量，它赋予了流形长度和角度的概念。非欧几何的出现，彻底颠覆了我们对空间的直观认知，并在广义相对论等物理学理论中扮演了至关重要的角色。 第六章：拓扑学——形状的“软”连接 本章将把我们的注意力转移到拓扑学，它是一门研究空间在连续形变下保持不变性质的学科。与欧几里得几何关注度量和角度不同，拓扑学更关心“连接性”和“孔洞”等更本质的属性。我们将介绍拓扑空间的定义，以及连续映射的概念。本章将重点介绍一些重要的拓扑不变量，例如欧拉示性数，它与多面体的面、边和顶点的数量有关，与具体形状和大小无关。我们将探讨同胚的概念，即两个拓扑空间在拓扑意义上是等价的。我们将通过一些有趣的例子，如莫比乌斯带和克莱因瓶，来展示拓扑学如何揭示我们熟悉的形状背后更深层的数学结构。拓扑学在现代数学的许多分支，如代数拓扑、微分拓扑中都有广泛应用。 第七章：现代几何学的图景——流形、张量与更广阔的领域 本章将为我们勾勒出20世纪及以后现代几何学的宏伟图景。我们将深入介绍微分流形的思想，它是一个局部看起来像欧几里得空间，但在整体上可以是弯曲的“空间”。我们将探讨切空间的概念，它是流形上一点的“局部线性化”，以及切丛的结构。张量分析将是本章的重要组成部分，我们将介绍张量作为一种处理多线性映射的数学工具，它们在描述物理定律和几何关系方面至关重要。我们将提及一些现代几何学的活跃研究领域，如里奇流、弯曲空间中的积分几何、以及黎曼几何在广义相对论中的应用。本书的最后，我们将展望几何学的未来，以及它在物理学、计算机科学、工程学等领域的持续重要性，强调几何学作为理解我们宇宙和抽象概念的根本语言的地位。 结语 从欧几里得的朴素公理到现代微分几何的精妙理论，几何学的历史是一部充满智慧、创造和不断突破的史诗。本书旨在为读者提供一个清晰的脉络，理解几何学的核心思想是如何孕育、发展并相互影响的。我们希望通过这次旅程，读者能够领略到几何学的魅力，体会到它作为一种抽象思维工具的力量，以及它在探索宇宙奥秘和构建现代科学体系中所扮演的不可或缺的角色。几何学的探索永无止境，每一个新的发现都可能开启一个全新的视角。

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《代数结构与群论基础》这本书，从一个纯粹的代数角度审视了对称性的概念，其深度和广度都令人称道。作者巧妙地将抽象的群论概念与实际的物理或晶体结构联系起来，使得原本可能枯燥的群元素、子群、同态等定义焕发了生机。特别是对有限域上的线性代数运算的介绍，处理得极为精细，这在许多基础代数教材中是常常被忽略的环节。书中对置换群的详细分析，不仅涵盖了循环分解，还深入探讨了伽罗瓦群与多项式根的可解性之间的深刻联系，这无疑是本书的亮点之一。不过，我发现书中对模运算的引入显得有些突然，对于没有接触过数论基础的读者来说，可能需要花费额外的时间去适应这种新的运算环境。总体而言，对于希望深入理解对称性如何在数学结构中得以形式化的读者，这本书提供了非常扎实的工具箱。

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这本书《经典力学中的拉格朗日与哈密顿表述》给我的感觉是“重塑”而非“教授”。作者并没有从牛顿定律的直接积分开始，而是将焦点完全放在了能量泛函和变分原理上。书中对欧拉-拉格朗日方程的推导，清晰地展示了变分法在力学中的强大威力，每一次对变分符号 $delta$ 的操作都显得精准而有力。随后，对正则坐标变换的讨论，尤其是对泊松括号的引入，将整个理论体系优雅地提升到了一个新的抽象层次。书中关于“作用量最小原理”的论述，有一种回归自然界最基本法则的崇高感。唯一让我感到困惑的是，在介绍哈密顿-雅可比方程时，所使用的偏微分方程工具略显超纲，如果能稍微增加对偏导数在保守系统中的应用示例，或许能更好地服务于力学背景的读者。总而言之，这是一部将力学从直观的力和运动，升华为优美的数学结构的典范之作。

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阅读《物理学中的张量分析》的过程，像是一次在高山之巅的旅行，视野开阔，但每一步都需要谨慎的攀登。本书的叙事风格极其严谨，几乎没有一处多余的修饰词，完全聚焦于爱因斯坦引力场方程背后的数学工具——张量演算。作者对于协变导数和黎曼曲率张量的定义，采用了逐步叠加和精确计算的方式，确保读者能够清晰地追踪每一个指标的升降和求和约定。我特别欣赏作者在引入度规张量时，强调了它在不同坐标系下如何描述时空弯曲的“物理实在性”，而非仅仅是数学上的坐标变换。然而，本书对于“物质场”与“时空曲率”之间关系的几何解释，略显不足。读者需要自行在大脑中构建起将场方程转化为具体物理模型的桥梁，这对于初次接触广义相对论的读者来说，可能是一个不小的挑战。这是一本适合有一定微分几何背景，并准备扎实掌握张量代数的进阶读物。

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这本名为《几何学原理》的著作，着实让我这位常年与解析几何打交道的读者感到耳目一新。作者对于欧几里得空间中经典几何图形的论述，深入浅出，颇有大家风范。尤其是在对透视原理的阐释上，作者似乎并未满足于传统的几何作图法，而是引入了某种更具动态和变换性的视角。书中对于圆锥曲线的早期分类和性质探讨，也流露出一种对早期数学家思想脉络的尊重，而非仅仅是罗列公式。我印象最深的是关于抛物线焦点与准线定义的几何构建过程，作者用极其简洁的语言，将复杂的空间关系还原为最纯粹的距离相等原理，这对于初学者理解几何直觉至关重要。当然，如果能在章节末尾增加一些与非欧几何的早期萌芽的关联探讨，或许能让整体的知识体系更加连贯。总的来说，这是一本结构严谨、论证清晰的几何学入门佳作，适合希望打下坚实几何基础的读者。

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我对这本《空间拓扑导论》的评价，更多的是基于它在概念构建上的大胆与创新。不同于许多教科书采用的从集合论基础稳步推进的方式，本书似乎更倾向于通过直观的例子和想象力的引导来建立读者的空间感。书中对“邻域”和“连通性”的讨论，大量使用了诸如橡胶布、甜甜圈等比喻，这些形象的描述极大地降低了抽象概念的理解门槛。有一章专门讨论了“嵌入”问题，通过一系列三维到高维的类比，探讨了物体如何在不同维度空间中自我相交或分离的可能性，这部分内容写得尤为精彩，充满了哲学思辨的意味。美中不足的是，在涉及严格的拓扑不变量的计算部分，篇幅略显不足，一些关键的证明步骤处理得略显仓促，使得我这样需要精确推导的读者，在后期需要参考其他资料来补全逻辑链条。尽管如此，它作为一本激发读者对高维空间兴趣的引导性读物，无疑是成功的。

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