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出版者:Princeton University Press

作者:Eisenhart

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:1997

价格:USD 67.50

装帧:

isbn号码:9780691023533

丛书系列:Princeton Landmarks in Mathematics and Physics

图书标签:

• 微分几何7
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• 黎曼几何
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几何的边界：探索非欧几何的宏伟图景 这是一本献给所有对空间本质、几何学的深度以及宇宙万物运作规律着迷的读者的书籍。它并非一本教科书，也非一本严谨的学术专著，而是旨在以一种引人入胜、充满启发的方式，带领读者踏上一段穿越几何学发展史的长河，揭示那些隐藏在日常经验之外、却深刻影响着我们理解世界的数学思想。 我们的旅程始于古希腊，那是一个理性思辨的光辉时代。欧几里得的《几何原本》至今仍是人类智慧的丰碑，它以公理化的形式，构建了一个和谐、直观的平面世界。在这个世界里，直线是两点之间最短的距离，平行线永远不会相交，三角形的内角和永远是180度。这种“欧氏几何”的和谐与确定性，在接下来的两千多年里，成为了我们理解空间、丈量土地、建造房屋的基石，也深深地根植于我们的直觉之中。我们从小学习的几何，正是欧氏几何的精髓。 然而，历史的进程并非总是沿着一条直线前进。当数学家们试图挑战和理解《几何原本》中的第五公设——平行公设时，一段激动人心的探索便由此拉开了序幕。这条看似微不足道的公设，却隐藏着非欧几何的种子。长久以来，无数智者尝试证明它，却一次又一次地发现，无论他们如何努力，都无法摆脱它的独立性。直到19世纪，当高斯、波尔约和罗巴切夫斯基这三位独立探索者，敢于打破传统思维的桎梏，开始思考“如果平行公设不成立，会发生什么？”时，几何学的地平线被无限拓宽了。 他们构造出了双曲几何，一个充满奇妙特性的世界。在这个世界里，经过一条直线外一点，可以有无数条直线与其平行。三角形的内角和小于180度，而且随着边长的增大，内角和会越来越小。想象一下，在马鞍形的表面上，你试图画一个三角形，它的角会比在平面上更“尖”。双曲几何的发现，挑战了人们对空间的直观感受，也为理解一些看似“奇怪”的自然现象提供了全新的视角。 与此同时，另一个更加激进的几何学分支——椭圆几何，也逐渐浮出水面。在这里，所谓的“直线”其实是球面上大圆的弧段，而通过直线外一点，则不存在与其平行的直线。任意两条“直线”都会相交。椭圆几何最直观的例子便是我们生活的地球。地球表面是一个近似球体，地球上的大圆（比如经线）便是球面上“直线”的类比。在地球表面上，任何两条经线都会在两极相交，而纬线（除了赤道）则并不遵循欧氏几何的平行公理。椭圆几何的内角和总是大于180度，而且边越长，内角和也越大，这与双曲几何形成了有趣的对照。 这些非欧几何的出现，不仅仅是数学上的好奇心驱使，它们更深层地触及了我们对现实世界的理解。我们是否真的生活在一个欧氏空间中？还是说，我们所处的宇宙，其内在的几何结构比我们想象的要复杂得多？ 本书将带您深入探讨这些问题的思想根源，追溯那些伟大的数学家们是如何一步步揭开非欧几何的面纱。我们将了解高斯是如何以一种谨慎而又深刻的方式，在信件中悄悄勾勒出双曲几何的雏形，虽然他未曾公开发表。我们将惊叹于波尔约和罗巴切夫斯基的勇气，他们敢于将非欧几何推向公众，即使面对当时的质疑和不解。 更重要的是，我们将把目光投向20世纪，当爱因斯坦的广义相对论横空出世，将几何学与物理学紧密地联系在一起时，非欧几何的意义被提升到了前所未有的高度。爱因斯坦提出的引力理论，不再将引力视为一种神秘的力量，而是描述为时空本身的弯曲。而描述这种弯曲的数学语言，正是黎曼几何。 黎曼几何，这本书的名称虽未出现在简介中，但它所代表的数学思想，正是我们探索的重点。它并非一种单一的几何，而是一种广义的几何框架。黎曼几何允许我们用数学的语言来描述任意光滑流形（可以想象成光滑的三维空间，但可以具有非常复杂的形状，不一定是平直的）的几何性质。它引入了度量张量的概念，这个张量可以测量流形上任意两点之间的距离，以及任意切向量的长度和夹角。通过度量张量，我们可以计算曲率，曲率是衡量空间弯曲程度的关键。 在黎曼几何的框架下，欧氏几何、双曲几何和椭圆几何都只是特殊情况。欧氏空间拥有恒定的零曲率，双曲空间拥有恒定的负曲率，而球空间则拥有恒定的正曲率。黎曼几何的伟大之处在于，它能够描述那些曲率并非恒定的、更加复杂和不规则的空间。 广义相对论中，物质和能量的存在导致了时空的弯曲。行星绕太阳运动，并不是因为受到太阳的“引力牵引”，而是因为太阳的质量使周围的时空发生了弯曲，行星沿着弯曲时空的“测地线”（可以理解为弯曲空间中的“直线”）运动。这就像你在一个被压弯的床垫上滚动一个弹珠，弹珠会沿着床垫的弯曲轨迹运动，而不是直接直线前进。黎曼几何提供了精确的数学工具，来描述这种时空的弯曲，以及物质在弯曲时空中如何运动。 本书将逐步揭示黎曼几何的核心思想，比如联络（用于定义平行移动，即在弯曲空间中如何“平行地”移动向量）、曲率张量（用于量化空间的弯曲程度，以及它如何影响向量的平行移动）以及测地线方程（用于描述在弯曲空间中最短路径的运动）。我们将看到，这些抽象的数学概念，如何优雅地解释我们观察到的宇宙现象。 此外，我们还将触及黎曼几何在其他领域的影响。例如，在微分拓扑学中，它为研究空间的形状和连接性提供了强大的工具。在理论物理学的许多分支，如弦理论、量子引力等领域，黎曼几何更是不可或缺的基石。 本书并非试图灌输复杂的公式和证明，而是致力于描绘一幅宏伟的数学图景，让读者能够理解这些思想的演进脉络，感受到数学家们探索未知时的那种激情与智慧。我们将通过历史故事、直观的类比和一些精妙的数学思想，来展现几何学的深度和广度，以及它与我们赖以生存的宇宙之间那令人惊叹的联系。 我们相信，理解这些超越日常直觉的几何思想，将极大地拓展您的思维边界，让您以一种全新的视角去审视世界，去欣赏那些隐藏在自然规律背后的数学之美。这是一次关于空间、关于宇宙、关于我们理解自身存在方式的深刻对话。

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阅读体验上，这本书给我一种极其扎实和可靠的感觉，仿佛手中拿着的是一本经过时间检验的经典之作。它的内容组织结构非常严谨，从基础的流形、切空间讲起，稳步推进到度量张量、联络，最后深入到曲率和拓扑的关联。我尤其推崇它在引入“联络”时的处理方式，作者非常巧妙地平衡了抽象的张量分析和具体的微分形式语言，使得读者在不同数学工具间切换时能保持思路的连贯性。书中对黎曼测度和积分的讨论也极为详尽，特别是关于测地线方程的变分原理推导，每一步的逻辑跳跃都得到了充分的解释和佐证。虽然全书的理论密度非常高，需要反复阅读和消化，但每一次重读都能发现新的层次和理解上的突破。这本书要求读者投入大量时间，但它所给予的回报是无可估量的知识深度和几何直觉的提升。

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不得不说，这本书的后半部分在拓扑与几何的交汇点上展现了令人惊叹的广度。作者没有将黎曼几何仅仅局限在纯粹的局部分析中，而是将视野拓展到了全球性的结构，比如黎曼流形上的谱理论和柯比方程的应用。我特别欣赏作者对霍奇理论的简洁介绍，虽然篇幅不长，但点出了其在几何分析中的核心地位。对于那些希望将黎曼几何应用于物理学（比如广义相对论的更深层结构）或现代拓扑学的读者，这本书提供了必要的桥梁。书中的例题选择也十分巧妙，它们往往不仅仅是为了练习计算，更多的是为了展示某个理论在特定几何情境下的独特表现。比如，对球面和射影空间的曲率计算，不仅是检验公式，更是对几何直觉的重塑。这本书更像是一本工具箱，里面装载了解决复杂几何问题的精良器械。

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这本书的语言风格带着一种古典数学著作的韵味，精准而克制，几乎没有冗余的修饰词，每一个句子都承载着严密的数学信息。它非常适合那些已经对现代数学分析和线性代数有扎实基础的读者。我个人认为，这本书在处理“度量”与“联络”的相互作用时，达到了一个完美的平衡点——它既没有过度依赖过于庞杂的坐标计算，也没有过早地陷入纯粹的抽象张量符号的泥沼。对于初学者而言，可能会觉得开篇的预备知识要求较高，但对于有一定背景的读者来说，这种直奔主题的方式极其高效。最让我印象深刻的是，作者在论证庞加莱-博内公式时所展现出的优雅和简洁，这几乎是几何学中最美的公式之一，而这本书给出了一个极具洞察力的推导路径。这本书更像是一份严谨的“契约”，它要求你付出努力，但回报是无可替代的深刻理解。

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这本书的行文风格颇具匠心，与其说是教科书，不如说更像一位资深学者的私房笔记，充满了对数学美感的深刻体悟。它避开了那种冷冰冰的公理化叙事，转而用一种更具叙事性的语言来引导读者进入黎曼几何的殿堂。对于那些渴望了解“为什么”而非仅仅“是什么”的读者来说，这本书无疑是一股清流。我特别欣赏作者在引入一些基础概念时所采用的历史视角和动机分析，这使得整个理论体系的构建显得自然而然，而非生搬硬套。例如，在讨论共变导数时，作者先从欧式空间中向量场的“平行移动”的困难性谈起，逐步引出协变导数的必要性，这种铺垫让读者在需要这个工具时，能够深刻理解其存在的意义。然而，对于那些只追求快速掌握计算技巧的读者，这本书的深入探讨可能会显得略微“拖沓”，但对于志在建立扎实基础的人而言，这种深度是不可或缺的。

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这本书的数学推导真是太精彩了，尤其是关于黎曼流形上的曲率张量部分，作者的处理方式清晰而又不失深度。我记得初次接触微分几何时，那些复杂的公式总是让人望而却步，但读了这本书，我感觉那些抽象的概念仿佛被赋予了生命。作者在解释测地线的存在性和唯一性时，那种层层递进的逻辑构建，让我这个初学者也能跟上思路。特别是关于爱因斯坦方程的推导，那几个关键的变分步骤，作者处理得干净利落，既保留了严谨性，又避免了不必要的繁琐。这本书的排版和图示也值得称赞，那些几何图形的绘制得非常直观，帮助我更好地理解了流形上的切空间和张量场的概念。我尤其喜欢它在章节末尾设置的“思考题”，它们并非简单的计算，而是深入到几何直觉的挑战，让人在合上书本后仍能回味无穷。总的来说，这本书是通往高阶微分几何的绝佳阶梯，它不仅教会你如何计算，更教会你如何“看”几何。

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