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出版者:上海科技教育出版社

作者:陈计

出品人:

页数:225

译者:

出版时间:2009-8

价格:18.00元

装帧:

isbn号码:9787542848482

丛书系列:数学奥林匹克命题人讲座

图书标签:

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《代数不等式》是一本深入探讨代数不等式理论与应用的书籍。全书结构严谨，内容充实，旨在为读者构建一个系统、扎实的代数不等式知识体系。 第一部分：基础概念与性质 本部分将从最基础的概念入手，为读者打下坚实的基础。 什么是代数不等式？ 我们将清晰地定义代数不等式，区分不等号的类型（如<, >, ≤, ≥），并介绍其基本构成元素——变量、常数和代数式。 不等式的基本性质： 详细阐述不等式的传递性、对称性、可加性、可乘性等核心性质。例如，如果a > b且b > c，则a > c。我们会通过直观的例子和严谨的证明来解释这些性质，并说明它们在解不等式过程中的重要作用。 不等式的等价变形： 介绍如何对不等式进行各种等价变形，使其更容易求解。这包括移项、两边同乘（除）以正数、两边同乘（除）以负数（注意不等号方向改变）等操作。 绝对值不等式的初步认识： 简要介绍绝对值的概念及其与不等式的结合，为后续更复杂的绝对值不等式求解做铺垫。 第二部分：一元一次不等式 本部分将聚焦于最简单但也是最基础的不等式类型——一元一次不等式。 一元一次不等式的定义与解法： 明确定义一元一次不等式，并系统地介绍其求解步骤。我们将强调通过移项、合并同类项、化系数为1等方法，最终将不等式化为x > a, x < a, x ≥ a, x ≤ a等形式。 数轴在解一元一次不等式中的应用： 详细讲解如何利用数轴直观地表示不等式的解集。通过在数轴上标记端点、空心圆（不包含）和实心圆（包含），以及用阴影表示解集范围，帮助读者更清晰地理解和掌握不等式的解。 一元一次不等式组的求解： 介绍两个或多个一元一次不等式组成的“不等式组”的概念。我们将重点讲解求解方法，即分别求解每个不等式，然后在数轴上找到它们的公共部分作为不等式组的解集。 实际问题中的应用： 通过一系列贴近生活的实际应用题，展示一元一次不等式在解决实际问题中的强大能力。例如，关于费用、利润、时间、距离等方面的实际问题。 第三部分：一元二次不等式 本部分将深入探讨更为复杂的一元二次不等式。 一元二次不等式的定义与形式： 定义一元二次不等式，以及它可能出现的各种形式，如ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c ≤ 0。 二次函数与不等式的关系： 深入剖析二次函数y = ax² + bx + c的图像（抛物线）与一元二次不等式的解集之间的内在联系。我们将讲解如何通过抛物线的开口方向、与x轴的交点（即对应二次方程的根）来确定不等式的解集。 一元二次不等式的求解方法： 提供多种实用的求解方法，包括： 图像法： 利用二次函数的图像直观地判断解集。 因式分解法： 当二次三项式可以因式分解时，将其转化为几个一次因式的乘积或商，再利用“穿根法”（或称“五点定号法”）确定解集。 判别式法： 利用判别式Δ = b² - 4ac来判断二次方程ax² + bx + c = 0的根的个数，并结合a的符号来分析不等式的解。 一元二次不等式组的求解： 讲解如何求解由多个一元二次不等式组成的“不等式组”，方法与一元一次不等式组类似，需要找到所有不等式解集的公共部分。 实际应用： 给出一些涉及到二次函数性质和一元二次不等式的实际应用案例，例如最优化问题、物理学中的运动轨迹分析等。 第四部分：其他类型的不等式 本部分将拓展到更广泛的不等式类型，为读者提供更全面的视野。 高次不等式的求解： 介绍如何处理次数高于二次的不等式，主要方法是因式分解（如果可能）并结合“穿根法”。 分式不等式的求解： 讲解如何处理含有变量的分母的不等式。重点在于将不等式化为整式不等式，并注意使分母不为零的条件。 绝对值不等式的深入探讨： 含单个绝对值的不等式： 详细讲解形如|ax + b| > c, |ax + b| < c, |ax + b| ≥ c, |ax + b| ≤ c的解法，以及其在数轴上的表示。 含多个绝对值的不等式： 介绍如何通过“分段讨论法”来求解含有多个绝对值的不等式，即将数轴分成若干个区间，在每个区间内去掉绝对值符号，转化为普通不等式求解。 含有参数的不等式： 介绍如何处理含有参数的不等式。这类问题通常需要根据参数的取值范围进行分类讨论，找出不等式对于所有可能参数值的解。 不等式的性质在证明中的应用： 介绍如何利用不等式的基本性质以及一些重要的不等式（如均值不等式），来证明一些数学命题。 第五部分：重要不等式与证明技巧 本部分将介绍一些重要的不等式及其证明方法，并总结一些常用的不等式证明技巧。 基本不等式： 均值不等式（AM-GM不等式）： 详细介绍算术平均数与几何平均数之间的关系，包括基本形式、推广形式，以及其在求最值问题中的广泛应用。 柯西-施瓦茨不等式： 介绍该重要不等式，及其在证明和解题中的应用。 其他常用不等式： 如三角不等式、闵可夫斯基不等式等（根据书籍的详略程度和目标读者群体决定是否包含）。 不等式的证明方法： 比较法： 作差法、作商法。 分析法（执因导果法）。 综合法（执果索因法）。 反证法。 换元法。 数学归纳法（用于证明与自然数相关的命题）。 不等式证明的常见误区与技巧。 学习目标与读者群体 本书适合以下读者： 高中生： 作为高考数学复习的重要参考资料，帮助学生巩固和提升代数不等式部分的知识和解题能力。 大学生： 作为高等数学、线性代数等课程的学习基础，以及在工程、经济、计算机科学等领域进行建模和分析的工具。 数学爱好者： 对代数不等式及其理论感兴趣的读者，可以从中获得系统深入的学习。 通过阅读《代数不等式》，读者将能够： 深刻理解代数不等式的概念、性质和基本解法。 熟练掌握一元一次、一元二次不等式及其不等式组的求解技巧。 能够应对各种类型的不等式，包括高次、分式、绝对值和含参数不等式。 掌握利用图像、因式分解、判别式等多种方法求解不等式。 学习并应用重要的不等式（如均值不等式）来解决实际问题和进行数学证明。 提升逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。 本书的编写风格力求清晰易懂，理论与实践相结合，辅以大量的例题和练习题，帮助读者在练习中巩固所学知识，最终达到融会贯通的境界。

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我必须承认，这本书的深度远超我的预期。我本以为它会是那种只停留在基础概念介绍和简单例题讲解的“入门读物”，但很快我就发现我错了。作者对数学的理解非常深刻，他不仅仅是在陈述“是什么”，更是在探讨“为什么会这样”。书中对极限和连续性的讨论，虽然没有直接涉及微积分的全部内容，但那种严谨的逻辑推导，让我对后续学习微积分打下了极其坚实的基础。最让我印象深刻的是第三章关于“区间套定理”的证明，作者采用了好几种不同的角度去论证同一个结论，每一种方法都揭示了数学结构的不同侧面。一开始我还有点跟不上，不得不反复阅读和对照草稿纸，但一旦理解了核心思想，那种豁然开朗的感觉简直无与伦比。这本书的难度曲线设计得非常巧妙，从易到难循序渐进，但难度提升的速度非常快，对读者的专注度和基础知识的储备量要求很高。如果读者只是想应付考试，可能这本书会显得有点“吃力不讨好”，因为它更侧重于培养一种数学家的思维方式，而非应试技巧。总而言之，这是一部需要耐心、但回报丰厚的作品。

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我非常欣赏这本书在结构设计上所体现出的平衡感。它并没有完全倒向理论的深渊，也没有沦为一本简单的“速查手册”。作者似乎一直在试图在“完备性”和“可读性”之间找到一个最佳的平衡点。例如，在引入某个高级定理时，它会先给出一个非常直观的、甚至可以称之为“不严格”的几何直觉解释，让读者先建立起感性认识，然后再用严谨的数学语言进行形式化的推导。这种“先感性，后理性”的教学策略，极大地降低了初学者的心理门槛。我个人特别喜欢书末附录中收录的“经典悖论解析”，里面用到了书中介绍的代数工具来分析一些著名的逻辑谬误，比如关于无穷集的悖论，这部分内容虽然不是核心内容，但却是极好的思维训练材料。唯一让我觉得稍微有点美中不足的是，某些复杂证明的中间步骤略显跳跃，如果能再多一两个过渡性的推导步骤，对自学者会更加友好一些。但瑕不掩瑜，这本书无疑是值得反复阅读和钻研的佳作。

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这本书最大的亮点在于它的应用性章节，简直是为那些总问“我学这个有什么用？”的同学量身定做的。作者没有局限于传统的物理或工程应用，而是大胆地将高等代数中的概念引入到了现代信息科学和博弈论的初步模型构建中。我特别喜欢其中关于“最小割最大流”定理在网络优化中的应用案例，虽然讲解得比较简略，但它清晰地展示了如何用代数结构去描述复杂的网络流问题，并利用不等式来判断最优解的存在性。这种跨学科的视角极大地拓宽了我的视野，让我看到了数学的广阔疆域。书中还穿插了一些历史典故，讲述了某个不等式定理的发现过程，这让冰冷的公式变得有了温度，也让人对前人的智慧充满了敬意。不过，这本书的习题设计稍微有点偏重理论证明，对于那些习惯于快速计算和数值求解的读者来说，可能需要花更多时间来适应这种以“结构理解”为导向的练习。总的来说，这本书成功地架设了一座理论与实践之间的桥梁。

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这本书的语言风格真是太“老派”了，但这种“老派”恰恰是我最需要的。它没有使用现在很多教材中那种过于口语化或者试图用动画比喻来解释抽象概念的做法。相反，作者的文字非常凝练、精准，每一个词语的选择都透露着数学的精确性。读起来的感觉，就像是与一位德高望重的教授在进行一对一的私塾教育。例如，在处理不定方程组的解集结构时，作者没有直接给出结论，而是用了一连串的逻辑连接词，如“鉴于此”、“若非如此”、“则可断言”，引导读者跟随他的思路步步为营地推导出最终的结论。这种写作方式，虽然在初读时会让人感到有些晦涩，但一旦适应了这种节奏，你会发现它极大地提高了你的逻辑组织能力。这本书对细节的把控到了令人发指的地步，对于那些定义域、值域的边界条件，作者总是不厌其烦地进行澄清，确保没有任何歧义。对于追求数学纯粹性的读者来说，这本书无疑是圣经级别的参考书。

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这本书真是让我大开眼界，我以前总觉得几何图形和代数公式是两条平行的线，互不干涉。但读完这本书，我才发现，原来它们之间有着千丝万缕的联系。作者用非常清晰的逻辑，把抽象的代数概念具象化到了几何图形中，让我一下子就明白了那些看似复杂的证明过程。比如，关于二次不等式，书里用抛物线的开口方向和与x轴的交点来解释解集，这种可视化处理真是太棒了。我以前面对那些分数和根号的组合式不等式总是头疼，但现在感觉就像是在玩拼图游戏，知道每块积木该放在哪里。尤其是关于反向柯西不等式的应用，作者没有直接给出复杂的公式推导，而是通过一个关于“资源分配”的实际问题，引导我们一步步构建出不等式模型，这种教学方法比死记硬背有效多了。这本书的排版也很舒服，公式和文字的留白恰到好处，不会让人产生阅读疲劳。我特别欣赏作者在章节末尾设置的“思维陷阱”栏目，里面列举了一些学生常犯的错误，提前给我打好了预防针。我感觉这本书不仅仅是数学书，更像是一个帮你建立数学思维体系的工具箱。对于任何想深入理解高等代数基础概念的读者来说，这本书绝对是不可多得的宝藏。

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最喜欢的事情就是和沈man一起虐题，然后被题虐，然后题被阿李虐，然后大家一起被计神虐。

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计神不等式，太暴力了……

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陈计暴力流..

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我觉得很难评分因为陈计是在拿计算机跟你玩……

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膜拜计神