交换代数引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:唐忠明

出品人:

页数:92

译者:

出版时间:2009-8

价格:16.00元

装帧:

isbn号码:9787030252807

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数学之窗：代数几何基础 本书旨在为读者构建一个坚实的代数几何基础，内容涵盖了从经典代数几何的核心概念到现代代数几何的关键工具。不同于侧重于“交换代数”这一特定工具的论述，本书将目光投向了代数几何这一宏大的应用领域，通过几何化的语言和视角，深入剖析了代数结构之间的深刻联系。 第一部分：预备知识与经典几何 本部分首先回顾了读者可能已有的代数背景，重点梳理了交换环论中与代数几何直接相关的部分，如理想、素理想、极大理想的性质，以及诺特环的概念。这并非是为了深入探讨交换代数理论的内部结构，而是为了建立一个必要的“语言”基础，以便后续将这些代数概念转化为几何对象。 随后，我们将引入仿射空间 $mathbb{A}^n$ 的概念，这是代数几何中最基础也是最重要的研究对象之一。我们将详细探讨如何通过多项式环 $k[x_1, dots, x_n]$ 中的理想 $I$ 来定义 $mathbb{A}^n$ 中的代数集（或称零点集）$V(I)$，以及如何通过代数集 $V$ 来构造其坐标环 $A(V)$。这种从“点集”到“环”的映射，以及从“环”到“点集”的映射（即谱映射的非正式引入），是代数几何的基石。我们着重分析了理想与代数集之间关系的反转性——即希尔伯特零点定理（不涉及代数拓扑的复杂证明，侧重于其几何意义和对素理想的解释）。 接着，本书将转向射影空间 $mathbb{P}^n$ 的研究。射影空间不仅是仿射空间的自然推广，更是处理不可约性、交点理论和度数理论的理想框架。我们将定义齐次坐标，构建齐次理想与射影代数集之间的对应关系，并介绍齐次坐标环的概念。通过对射影空间的探索，读者将理解为何在更高层次的几何讨论中，射影化是不可避免的步骤。 第二部分：簇与局部化 在理解了仿射和射影代数集之后，本书引入了代数簇 (Algebraic Variety) 的概念。簇被定义为有限个代数集的并集，它是我们研究的最小的、拓扑意义上“良好”的对象。本书详细讨论了簇的不可约性，并证明了任何簇都可以唯一地分解为其不可约闭子簇的有限并。这一分解为后续的结构分析提供了基础。 紧接着，我们将深入探讨局部化在代数几何中的关键作用。虽然交换代数的知识体系中包含局部化，但本书的视角是几何驱动的：局部化如何帮助我们研究簇在特定“点”附近的性质？我们定义了局部环 $A_P$（其中 $P$ 是一个素理想），并将其几何意义解释为环绕着由 $P$ 定义的“点”的结构。我们将使用局部化来分析簇的奇点问题，即哪些点的邻域看起来比光滑点“更坏”。 第三部分：超越点集——结构层与概形预备 本书的进阶部分开始超越简单的点集构造，引入了现代代数几何的萌芽——结构层的概念，尽管我们避免使用层论的复杂语言。我们引入了正则函数 (Regular Functions) 的概念。在一个代数集 $V$ 上，一个函数 $f: V o k$ 被认为是正则的，如果对于 $V$ 中的每一点 $p$，都存在一个包含 $p$ 的开仿射集 $U subset V$，使得 $f$ 在 $U$ 上可以表示为一个商式 $frac{g}{h}$，其中 $g, h$ 是多项式，且 $h$ 在 $U$ 上的零点集不包含 $U$ 中的任何点。 通过正则函数的概念，我们正式定义了预概形 (Pre-scheme) 的基本结构：一个拓扑空间配上一个结构层 $mathcal{O}$，它满足局部性质（如正则函数的局部定义性）。我们将详细分析结构层 $mathcal{O}_V$ 如何从坐标环 $A(V)$ 导出，特别是通过局部化过程：对于任何包含在 $V$ 中的开集 $U$， $mathcal{O}_V(U)$ 被定义为 $A(V)$ 局部化于所有不与 $V$ 的补集相交的素理想得到的环。 这一构造的意义在于，它将“点”的性质提升到了“开集”的性质，使得几何对象可以被开覆盖下的函数“拼凑”起来，从而获得了强大的局部-全局原理。 第四部分：维数理论 本书的最后一部分聚焦于代数几何中最核心的量之一：维度。我们将维度从传统的线性代数或拓扑学的角度剥离出来，赋予其纯粹的代数定义，并证明其几何解释。 我们引入了Krull 维度的概念，它基于素理想链的长短。本书将详细证明：对于一个代数簇 $V$，其 Krull 维度与其几何维度是相等的。我们将通过希尔伯特多项式和零次多项式的概念，来讨论射影簇的度数和交点理论的初步思想，这为理解代数几何如何处理“交点个数”提供了代数框架。 总结 本书的写作风格力求清晰、直观，强调几何直觉，并在代数工具被引入时，明确指出其在解决几何问题中的作用。全书的脉络是从最具体的对象（仿射空间）出发，逐步抽象化，最终触及结构层和维度理论的门槛，为读者未来深入研究现代代数几何或代数拓扑打下坚实的基础，但其核心内容严格围绕代数几何的建立过程展开，避开了交换代数理论的深层结构探究。

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阅读这本书的过程，与其说是学习，不如说是一场与作者智力上的深度“对话”。这本书的语言风格非常克制、精准，几乎没有一句多余的话。每一个符号、每一个连接词，似乎都经过了千锤百炼。这使得阅读效率在数学上达到了一个极高的水平——你不会浪费时间在无谓的叙述上。然而，这种极端的精确性也带来了潜在的阅读障碍。在某些复杂的推理环节，我常常需要停下来，在草稿纸上重新演算一遍，以确保自己完全理解了作者是如何从前一个等式跳跃到下一个等式的。我猜测，作者在撰写时，可能主要面向的是那些已经习惯了这种“极简”数学语言的专业人士。对于我这样的业余爱好者来说，这更像是一本“加密”过的文本，需要我投入额外的“解密”成本。但一旦“解密”成功，知识的吸收效率是惊人的。这本书的价值不在于它教给你多少“答案”，而在于它锤炼了你思考问题的方式，让你学会像一个真正的代数学家那样去审视结构和关系。它教会我的，是如何提出更精确的问题。

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说实话，这本书给我的感觉非常“硬核”，它毫不留情地将读者置于一个需要高度自我驱动的环境中。我花了大量时间在查阅参考文献和搜索相关的背景知识上，这本身就是一种学习过程，但对于时间有限的读者来说，可能需要额外的耐心。书中很多关键定理的证明，虽然逻辑无懈可击，但其背后的直觉引导却比较缺乏。我总感觉作者是假设读者已经拥有了某种预设的数学直觉，可以直接跳跃到证明的中间步骤。这使得我对某些定理的“为什么”的理解，需要花费比证明本身还要多的时间去揣摩。这种风格的好处是，一旦你啃下来一个知识点，你会觉得自己的数学“肌肉”得到了极大的锻炼，那种成就感是无以言表的。但坏处也很明显，它对读者的先备知识和学习毅力提出了极高的要求。如果能有配套的视频讲解或者在线资源辅助梳理一下那些“最难啃”的章节的直觉所在，想必能让更多有志于此的年轻人不至于望而却步。目前看来，它更像是一部经典的老式教材，注重知识的完整性和逻辑的严密性，而牺牲了一部分教学上的“友好度”。

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我发现这本书在处理某些特定结构时，展现出了令人赞叹的深度和广度。特别是关于理想的分解和各种同构定理的阐述部分，作者似乎倾注了大量心血，使得那些原本在其他教材中被一笔带过的关键步骤，在这里得到了详尽的剖析。这种对细节的执着，使得这本书在作为一本“工具书”使用时，价值凸显。每当我需要精确回顾某个定义或某个限制条件的精确表述时，翻到这本书总是能找到最可靠的答案。让我印象深刻的是，作者似乎很擅长捕捉到不同概念之间的微妙联系，通过精巧的布局，将原本分散的概念串联起来，形成一个有机的整体。这种整体性的视角，对于建立一个宏观的知识体系至关重要。它不像某些专注于某个分支的专著，这本书的视野更为开阔，似乎在暗示着“这只是一个开始”，后续还有更广阔的天地等待探索。总的来说，它为我构建了一个坚实的基础，让我对这个数学领域有了更宏大和自信的认知。

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这本书，说实话，拿到手里的时候，我心里是有点打鼓的。毕竟“代数”这两个字，听起来就带着一股子枯燥和晦涩的味道，尤其是“交换”这种限定词，总让人觉得是不是要钻进更深、更细的犄角旮旯里去。我本来是想找本能帮我快速建立起现代代数框架的入门读物，结果这本的厚度倒是挺实在的，感觉内容必然是下了大功夫的。翻开前几页，内容很快就切入正题，没有太多花哨的背景介绍，直接就奔着那些定义和公理去了。我得承认，最初的几章确实需要我打起十二分的精神去啃。那种感觉就像是第一次接触拓扑学时的那种眩晕感，很多概念的引入显得非常“纯粹”，仿佛是直接从数学家的脑海里截取出来的片段。不过，随着我耐着性子往后读，尤其是在接触到一些具体的例子和构造性的证明时，我开始感觉到一种“豁然开朗”的体验。作者的逻辑链条搭建得非常严密，虽然一开始看着吃力，但一旦跟上了节奏，后面的推导就变得水到渠成。这本书的难点在于它的抽象层次很高，要求读者有一定的数学功底，否则很容易在符号的海洋里迷失方向。但对于那些真正想探究代数结构底层逻辑的人来说，这无疑是一份宝贵的财富，它不像某些教材那样急于求成地给出现成的结论，而是更注重让你理解这个结论是如何一步步被构建出来的。它更像是一张地图，而不是高速公路，需要你亲自去探索每一条岔路。

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这本书的装帧和排版，说实话，在同类专业书籍中算是中规中矩，但阅读体验上，我个人觉得还是有些许瑕疵的。纸张的质量还可以，油墨印得也算清晰，但当涉及到那些需要大量矩阵和复杂公式展示的章节时，版面的安排就显得有些局促了。有时候，一个推导过程跨了好几页，中间缺乏足够的留白和视觉引导，导致我需要不断地在前后页之间来回翻找，这极大地打断了我的思维连贯性。我期待的是一种流畅的阅读体验，特别是对于这种逻辑性极强的学科，任何阅读上的中断都可能导致对整个论证链条的误解。此外，书中对一些基础概念的引入，虽然力求严谨，但在实例的丰富性上略显不足。我理解作者的意图是想保持内容的纯粹性，避免被太多应用性的例子稀释了核心理论，但这对于初学者或者需要通过具体实例来固化抽象概念的读者来说，无疑是一个挑战。如果能在章节末尾增加一些结构化的问题集，或者提供一些对照性的例子，哪怕只是作为附录，都会让这本书的实用价值大大提升。现在的版本，更像是为已经有了扎实基础的研究者准备的参考手册，而不是一本能引导新手走过“新手村”的向导。

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参考书 比atiyah好在几何图像

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