强非线性系统周期解的能量法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:132

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出版时间:2008-5

价格:40.00元

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isbn号码:9787030215338

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• 非线性系统
• 周期解
• 能量法
• 动力系统
• 常微分方程
• 数值分析
• 稳定性
• 数学物理
• 应用数学
• 控制理论

复杂动力学系统中的非线性现象与分析方法：聚焦非周期性与混沌行为 本书旨在深入探讨复杂动力学系统中普遍存在的非线性现象，特别是那些难以通过传统线性方法进行精确描述的复杂行为。全书围绕非线性系统的内在特性、不同类型的解（如分支、拟周期解和混沌）的形成机制，以及用于分析这些复杂运动的先进数学工具展开。本书的深度和广度，旨在为研究人员、工程师和高级学生提供一个全面、详尽的参考框架，用以理解和预测工程、物理、生物学等领域中常见的高维非线性系统的动态演化。 第一部分：非线性动力学基础与定性分析 本部分首先为读者建立坚实的非线性动力学基础，重点区分线性与非线性系统在定性行为上的本质差异。 第一章：非线性系统的基本概念与相空间重构 本章详细介绍了非线性系统的数学描述，包括常微分方程组（ODEs）和偏微分方程（PDEs）的表示形式。我们将重点分析系统的保守性、耗散性以及存在奇点的可能性。相空间（Phase Space）的概念被引入，用以几何化地描述系统随时间的状态演化。随后，我们将介绍如何利用实验或观测数据，通过延迟坐标法（Time-Delay Embedding）重构系统的高维吸引子，这是分析不可直接观测系统的关键技术。重点讨论了嵌入维度（Embedding Dimension）和延迟时间（Time Delay）的选择标准及其对结果重构质量的影响。 第二章：平衡点分析与局部稳定性理论的扩展 对于非线性系统，平衡点（不动点）的稳定性分析至关重要，但其线性化方法在鞍点和中心点附近会失效。本章扩展了李雅普诺夫（Lyapunov）理论的应用范围，讨论了李雅普诺夫稳定性的严格定义。我们将深入研究中心流形理论（Center Manifold Theory），该理论允许我们将高维系统的动力学简化到仅包含稳定子空间和中心子空间的低维流形上，从而在平衡点附近对非线性行为进行定性分析。本章还将介绍规范型（Normal Forms）的计算，用于揭示由高阶项引起的局部非线性效应，例如超临界和亚临界分支的区分。 第三章：分岔理论：定性行为的剧变 分岔（Bifurcation）是系统参数变化时，其相空间结构发生拓扑变化的现象。本章系统地分类和分析了主要的低维分岔类型。我们将详细阐述鞍结分岔（Saddle-Node Bifurcation）、超临界和亚临界霍普夫分岔（Supercritical and Subcritical Hopf Bifurcation）的数学条件和物理后果。此外，间歇性（Intermittency）现象——即系统在稳定状态和复杂状态之间交替出现——的机制，特别是其与鞍结分岔和倍周期分岔的关联，也将被深入剖析。本章将侧重于展示分岔如何导致系统从稳态向复杂振荡过渡。 第二部分：复杂非线性振荡与拟周期动力学 本部分聚焦于系统在参数空间中，当系统行为从简单周期解过渡到更复杂的、非周期的振荡行为时的动力学过程。 第四章：极限环与次临界振荡的生成与维持 极限环（Limit Cycles）是孤立的周期性轨道，代表了非线性系统中自激振荡现象的核心。本章侧重于次临界霍普夫分岔产生的可击穿吸引子（Bloch Attractions），以及全局极限环的存在性。我们将探讨多重极限环和同宿/异宿（Homoclinic/Heteroclinic）连接在限制振荡范围中的作用，尤其是在耗散系统中，异宿连接如何导致解的周期趋于无穷大，为混沌的出现埋下伏笔。 第五章：多频振荡：拟周期运动的分析工具 当两个或更多独立频率在系统中耦合时，可能出现拟周期运动（Quasi-periodic Motion），其轨迹在相空间中形成一个环面（Torus）。本章详细介绍了陈数（Winding Number）的概念，用以区分环面上的合理（有理绕数）和非合理（无理绕数）运动。我们将运用卡米定理（KAM Theory）的思想，阐述在微小扰动下，系统如何保持拟周期性，以及当参数跨越共振区时，环面如何破裂（Torus Breakup）的机制。 第六章：共振、锁定现象与二维环面的动力学 在具有两个或更多自由度的系统中，当系统的固有频率之比接近一个有理数时，系统会发生共振（Resonance）和锁定（Phase Locking）。本章分析了$n$维环面上的动力学，特别是二维环面上的锁定行为，这表现为拟周期运动塌缩成周期运动。我们将应用庞加莱截面（Poincaré Section）技术，将连续时间系统转化为离散映射，从而清晰地展示锁定区域（Islands of Stability）在庞加莱平面上的结构，并讨论阿尔诺德圈图（Arnold Tongues）的形成。 第三部分：混沌动力学：无周期性吸引子 本部分是理解复杂系统行为的核心，聚焦于非周期、对初始条件高度敏感的混沌动力学。 第七章：混沌的数学表征与度量 混沌被定义为对初始条件极度敏感的确定性运动。本章从数学上严格界定混沌。我们将引入李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents），特别是最大李雅普诺夫指数（MLE）作为混沌存在的判据。此外，信息熵（Information Entropy）和关联积分（Correlation Integral）被用作量化复杂性的工具。本章还将分析吸引子的几何结构，特别是分形维数（Fractal Dimension），如豪斯多夫维数和关联维数，来描述奇异吸引子的精细结构。 第八章：从拟周期到混沌的过渡：混沌的诞生路径 混沌并非凭空产生，而是通过一系列结构化的非线性过程演化而来。本章详述了主要的过渡路径。我们将详细分析倍周期级联（Period-Doubling Cascade），这是通往混沌的费根鲍姆（Feigenbaum）路径，并讨论其普适性常数。同时，也将探讨间歇性过渡（如P-IFIC Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ型）和准周期到混沌的过渡（如Ruelle-Takens-Newhouse 路径）的机制，强调后者在更高维度系统中的重要性。 第九章：奇异吸引子与拓扑不变量 奇异吸引子是混沌系统的几何载体。本章专注于洛伦兹（Lorenz）吸引子、洛西勒（Rössler）吸引子等典型范例的结构分析。我们将探讨庞加莱截面在混沌分析中的威力，例如，将一个三维吸引子转化为一个离散映射，并分析该映射的迭代特性。本章还会引入拓扑不变量的概念，用以区分不同类型的混沌吸引子，并讨论不可积性（Non-Integrability）与混沌产生的深层联系。 第四部分：数值方法与应用模型 本部分将理论分析与实际计算相结合，介绍用于分析高维和耗散系统的数值工具。 第十章：非线性系统的数值积分与误差控制 精确捕捉非线性系统的复杂轨迹需要高阶数值积分方法。本章将比较经典的龙格-库塔法（Runge-Kutta methods）与针对耗散系统优化的方法。重点讨论辛积分器（Symplectic Integrators）在模拟保守系统中的优势，以及自适应步长控制在穿越快速变化区域（如分岔点或共振区）时的重要性。误差分析，特别是数值散度（Numerical Divergence）对混沌轨迹的影响将被量化。 第十一章：系统辨识与数据驱动的动力学建模 在许多实际工程问题中，系统的微分方程形式是未知的，只能获得时间序列数据。本章介绍了基于数据（Data-Driven）的系统辨识技术。我们将应用再生核希尔伯特空间（RKHS）方法和高斯过程回归（Gaussian Process Regression）来近似系统的非线性向量场。此外，稀疏识别复杂系统（Sparse Identification of Nonlinear Dynamics, SINDy）方法也将被详细介绍，该方法旨在从数据中自动提取出简洁、可解释的微分方程模型，从而弥合理论与实验分析之间的鸿沟。 第十二章：面向应用的非线性分析实例 本章将前述理论应用于具体的物理和工程模型，以展示非线性分析的实际效用。案例研究将包括：耦合振荡器的同步与去同步现象，结构工程中的非线性模态耦合，以及流体力学中的湍流前兆现象。这些案例将贯穿平衡点分析、分岔预测和混沌度量，展示如何利用本手册所学的工具来理解和控制复杂系统的动态行为。 本书结构严谨，论述详细，力求在理论的深度和计算的实用性之间找到最佳平衡点，旨在为读者提供一套完整的、用于驾驭非线性世界复杂性的分析工具箱。

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我不得不承认，这本书在参考文献的引用和对前人工作的梳理上做得极为出色，展现了作者深厚的学术修养和严谨的治学态度。从早期的经典力学先驱，到近几十年在随机系统和混沌理论上做出重大贡献的数学家，几乎所有关键性的理论成果都被系统地、有机地编织进了论证的主线中。这使得这本书不仅仅是作者个人研究成果的展示，更像是一部关于“非线性周期解研究史”的微型百科全书。它帮助我快速定位了当前研究领域的边界和尚未解决的关键难题。然而，这种对历史的尊重和全面的引用，也无形中抬高了阅读的门槛，因为它频繁地跳转于不同的数学分支之间——从拓扑学到变分法，再到泛函分析。读者需要具备一种跨学科的视野，才能将这些分散的知识点融合成一个完整的认知体系。如果期待这本书能提供一套标准化的、开箱即用的数值解法，那么可能会失望。它的价值更多体现在理论的构建和深度的挖掘上，更像是在为未来的数值方法提供坚实的数学基础，而不是直接提供编程实现指南。它更像是理论物理学家手中的“蓝图”，而不是工程师手中的“施工图纸”。

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这本书在结构安排上显露出一种严密的几何美感，如同一个精心设计的建筑群，各个章节之间层层递进，逻辑链条几乎找不到断裂之处。我注意到作者在处理周期解的存在性问题时，采用了一种非常独特的多尺度分析框架。与其他同类著作侧重于运用庞加莱映射或者平均场理论不同，这本书似乎更倾向于从能量泛函的极值原理出发，构建一个更高维度的相空间，并在其中寻找稳定点。这种视角转换带来的理论深度是惊人的，它使得原本难以捉摸的“振荡模式”有了一个清晰的能量守恒或耗散路径可以被追踪。不过，这种高屋建瓴的视角也带来了信息密度的极度饱和。书中几乎没有一句话是多余的填充，每一个公式、每一个脚注似乎都承载着重要的理论信息。这种高度浓缩的表达方式，对于追求效率的读者来说，无疑是高效的，但对于需要时间来“消化”和“吸收”概念的读者来说，压力山大。我常常感觉自己像是在阅读一份极其密集的代码注释，生怕遗漏了某一个不起眼的下标或上标，因为一旦错失，后续几页的推导可能就会完全迷失方向。它更像是一份学术界的“黑话宝典”，需要特定领域的“翻译官”才能完全领会其精髓。

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这本书的装帧设计着实引人注目，那种深沉的墨绿色封面配上烫金的书名，透着一股子老派的学术气息，让人一上手就感觉分量十足。我本来是抱着非常功利的心态来翻阅的，毕竟这类专业书籍往往晦涩难懂，期望能从中快速找到解决某个具体工程问题的切入点。然而，这本书的行文节奏却出乎我的意料。它没有直接一头扎进那些令人头皮发麻的偏微分方程组里，而是用了一种近乎叙事的口吻，首先勾勒了研究该领域的历史脉络和关键的数学哲学背景。作者似乎非常注重思想的铺陈，对于某些基础概念的阐释，可以说是做到了穷尽其源流，仿佛在引导读者进行一场从欧几里得几何到现代泛函分析的漫长旅程。这种详尽到有些“唠叨”的讲解方式，对于初学者或许是一种福音，能扎实地构建起理论的基石，但对于已经有一定基础，急于直奔主题的读者来说，可能会觉得前期铺垫过长，略显拖沓。总而言之，从视觉和初步阅读感受来看，这是一部沉稳、扎实，但可能需要耐心消化的学术专著，它的气质更像是传统大学图书馆里那些蒙着灰尘，却蕴含深厚底蕴的经典教材，而不是那种追求新潮和快速迭代的“速成手册”。

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从排版和校对的角度来看，这本书的质量体现出了出版方的专业水准，印刷清晰，公式排版规范，这在处理大量希腊字母和复杂上下标的数学著作中是至关重要的，大大减少了阅读时的认知负担。不过，这本书最让我印象深刻的，还是它对于“非线性”本身的哲学探讨。作者似乎并不满足于仅仅计算出一个周期解的参数范围，而是深入追问：为什么这个系统会产生周期性？这种周期性在物理或工程背景下究竟意味着什么？这种对“为什么”的执着追问，使得全书的讨论层次拔高了一个维度。它迫使读者跳出纯粹的符号操作，去思考背后的物理实在和数学本质的联系。例如，在分析某一个特定非线性项对系统稳定性的影响时，作者花费了大量篇幅去讨论该项在实际物理系统中可能对应的那种阻尼或反馈机制。这种深刻的洞察力，无疑是这本书的灵魂所在。但这也意味着，如果你只对纯粹的数学形式感兴趣，这本书可能对你而言显得“过于沉重”和“过于具象化”了。它是一部要求读者投入情感和思考的著作，而非可以轻松翻阅的消遣读物。

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阅读这本书的过程，就像是攀登一座技术复杂度极高的技术高峰，每前进一步都需要耗费大量的精神力去校准方向。我特别欣赏作者在引入关键数学工具时的那种审慎态度。例如，在讨论如何处理系统中的某些不连续性时，他没有直接抛出那个看似无懈可击的复杂定理，而是花了整整一个章节，用非常直观的物理类比，甚至是历史上某个著名物理学家是如何受挫并最终找到突破口的轶事来烘托气氛。这种“讲故事”的方式，让原本冰冷的数学推导多了一层人文色彩，极大地缓解了阅读的枯燥感。但话又说回来，这种深度也带来了极高的阅读门槛。当进入到核心的算法推导部分，那些复杂的变量替换和积分变换，如果没有一个扎实的控制论或动力系统背景，读者会感觉像是被卷入了一场文字构成的湍流。我不得不频繁地停下来，反复对照参考文献，甚至需要借助外部的符号计算软件来验证每一步的变换是否严谨。这本书显然不是为那些只想“知道结果”的人准备的，它要求读者必须“理解过程”，并且是对过程的每一个细节都了如指掌。这使得它更像是一本供研究生和青年学者精读的案头工具书，而不是一本可以快速浏览的参考手册。

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