Monoidal Categories and Topological Field Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser

作者:Vladimir Turaev

出品人:

页数:523

译者:

出版时间:2017

价格:USD 127.09

装帧:Hardcover

isbn号码:9783319498331

丛书系列:

图书标签:

• 数学物理
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《范畴论中的范畴与拓扑量子场论》：一本介绍代数拓扑与代数几何交叉领域著作的导读 这本书是一本深入探讨代数拓扑和代数几何前沿交叉领域的著作，旨在为读者提供一个理解这些复杂而迷人的数学分支的坚实基础。它聚焦于“范畴”这一核心概念，并在此基础上，将读者引向一个充满活力的研究领域：拓扑量子场论。这本书并非直接介绍某一本特定的名为《Monoidal Categories and Topological Field Theory》的书籍内容，而是基于该书所代表的研究方向，梳理和介绍与之相关的核心概念、关键理论以及潜在的应用场景。 一、 范畴论：数学的统一语言 本书的基石是范畴论。范畴论提供了一种高度抽象和统一的框架来描述数学结构及其之间的关系。它超越了集合论的限制，将各种看似不同的数学对象（如集合、群、拓扑空间、向量空间等）以及它们之间的态射（如函数、群同态、连续映射、线性变换等）纳入一个统一的语言体系。 基本概念： 书中会详细介绍范畴（Category）的定义，即对象（Objects）的集合和态射（Morphisms）的集合，以及态射的复合（Composition）和恒等态射（Identity Morphisms）的性质。例如，集合范畴（Set）中对象是集合，态射是函数；群范畴（Grp）中对象是群，态射是群同态。 函子与自然变换： 范畴之间的映射，即函子（Functor），是连接不同范畴的桥梁。函子可以保留范畴的结构，将一个范畴中的对象和态射映射到另一个范畴中。自然变换（Natural Transformation）则是在函子之间的“映射”，它描述了函子之间的自然关系。 积与余积、极限与余极限： 书中会深入探讨范畴中的一些基本构造，例如积（Product）和余积（Coproduct），它们提供了将多个对象组合起来的方式。极限（Limits）和余极限（Colimits）则是在范畴中定义通用对象的强大工具，例如在集合范畴中，积是笛卡尔积，余积是不交并。 幺半范畴（Monoidal Categories）： 这是本书理论体系中的一个关键概念。幺半范畴是在范畴的基础上，增加了一个张量积（Tensor Product）运算，以及一个单位对象（Unit Object）。这个张量积运算满足结合律（Associativity）和单位律（Unitality），并且通常伴随着一些相容性条件（如相容性同构）。幺半范畴在量子信息、表示论和拓扑场论等领域有着至关重要的作用。例如，向量空间的张量积构成了一个幺半范畴。 二、 拓扑量子场论（Topological Quantum Field Theory, TQFT）：连接几何与物理的桥梁 在扎实的范畴论基础之上，本书将读者引入拓扑量子场论（TQFT）的世界。TQFT是一种在数学和理论物理学中都非常重要的理论，它将拓扑学、代数和量子场论联系起来。 TQFT的核心思想： TQFT的核心在于，它所描述的物理理论的性质（例如，物理可观测量的数值）只依赖于空间的拓扑结构，而与具体的几何结构无关。这意味着，即使空间发生连续形变（如拉伸、压缩，但不撕裂或粘合），物理量也不会改变。 西格尔-维滕定理（Siegel-Witten Theorem）/ 阿蒂亚公理（Atiyah Axioms）： TQFT的数学形式化通常是通过一套公理来定义的，这套公理由迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）提出，并基于伊尔德·维滕（Edward Witten）的物理思想。这些公理将一个拓扑空间（通常是流形）映射到一个向量空间（或者更一般地，一个代数对象）上，并定义了流形之间的映射（例如，边界之间的映射）如何产生态射。 流形与向量空间： TQFT将一个n维流形映射到一个（n-1）维的向量空间，称为“希尔伯特空间”（Hilbert Space）。 边界与映射： 流形的边界上的结构与映射到希尔伯特空间上的态射相关联。 乘积与张量积： 不相交流形的并集对应于向量空间的张量积，这是幺半范畴概念的直接体现。 定向性： 流形的定向性在TQFT中扮演着重要角色。 2维TQFT与3维TQFT： 书中会重点介绍2维和3维TQFT。 2维TQFT： 2维TQFT与黎曼曲面的模空间（Moduli Space of Riemann Surfaces）以及相关的代数结构（如顶点算子代数）有着深刻的联系。例如，2维的共形场论（Conformal Field Theory, CFT）可以看作是具有额外结构的TQFT。 3维TQFT： 3维TQFT与3维流形的拓扑不变量（如琼斯多项式、卡森不变量）以及量子群（Quantum Groups）有着密切的联系。维滕的著名工作表明，3维TQFT可以与某些拓扑弦理论相关联。 与代数几何的联系： TQFT与代数几何的联系体现在多个方面。例如，代数簇（Algebraic Varieties）可以被视为具有丰富结构的拓扑空间。某些TQFT的构建过程涉及到代数几何中的工具和概念，反之，TQFT的某些不变量也可以用于研究代数簇的性质。 与量子信息和凝聚态物理的联系： TQFT在量子信息理论和凝聚态物理领域也有着重要的应用。例如，量子纠错码（Quantum Error Correction Codes）的某些结构可以用TQFT来描述。拓扑序（Topological Order）是凝聚态物理中的一种重要相，其性质正是由系统的拓扑性质决定的，这与TQFT的思想不谋而合。 三、 学习本书的价值 阅读本书，读者将能够： 掌握现代数学的核心语言： 深刻理解范畴论作为一种统一的数学语言，如何连接和组织不同的数学领域。 领略前沿研究的魅力： 探索拓扑量子场论这一连接数学与物理的迷人领域，了解其基本思想和重要结果。 建立跨学科的视角： 认识到代数拓扑、代数几何、量子场论以及凝聚态物理之间深刻的内在联系。 为进一步深入研究奠定基础： 为未来在范畴论、拓扑场论、量子引力、弦理论、量子信息等相关领域的深入研究打下坚实的理论基础。 这本书适合那些对抽象数学具有浓厚兴趣，并希望理解现代数学和理论物理交叉领域前沿研究的本科生、研究生和研究人员。它需要读者具备一定的线性代数、群论、拓扑学和基础的分析学知识。通过对范畴论和拓扑量子场论的系统介绍，本书将带领读者进入一个充满挑战与机遇的数学与物理新世界。

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这部巨著，初翻几页，便觉扑面而来一股宏大而严谨的气息，仿佛置身于一个由抽象概念精心编织而成的迷宫。作者显然倾注了毕生的心血，试图将范畴论的精妙结构与拓扑场的深邃内涵融会贯通。阅读过程并非坦途，需要读者具备扎实的代数基础和几何直觉。书中对“幺半范畴”（Monoidal Categories）的探讨，细致入微，从基础的张量积定义，到复杂的交换子、结合子自然同构的性质，层层递进，构建起一个坚实的理论框架。尤其是关于如何用这些范畴语言来描述物理系统的演化和对称性，那部分的论述，读来令人拍案叫绝。它不仅仅是数学概念的罗列，更像是一幅试图描摹宇宙基本运作规律的蓝图。然而，要真正领会其精髓，恐怕需要反复研读，每一次重温都会带来新的感悟，这绝非一本可以轻松略读的书籍，更像是一部需要终生去参悟的工具书和哲学指南的结合体。

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从装帧和排版的角度来看，这本书的制作质量无可挑剔，这对于一本学术著作而言至关重要。内文的字体选择和公式的排布都极大地减轻了阅读时的视觉疲劳，尽管内容本身已经够“烧脑”了。作者在组织章节结构时，展现出一种近乎建筑师般的匠心。理论的铺垫总是恰到好处，总是在你感到即将迷失方向时，及时引入一个关键的例子或一个深刻的直觉解释，将散落的知识点重新串联起来。特别是书中对某些“非交换”几何结构的探讨，其数学语言的优雅性，即使在最复杂的证明中也未能减弱。它不仅仅是数学理论的记录，更像是一部关于数学美学的宣言。读完之后，你会发现自己对“结构”二字的理解，已经提升到了一个全新的层次。

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这本书的阅读体验，如同攀登一座知识的高峰，过程虽是艰辛，但一旦站稳脚跟，所见的风景便无与伦比。它对拓扑场论（Topological Field Theory, TQFT）的引入和处理方式，尤其令人印象深刻。作者没有止步于介绍标准的二维或三维TQFT，而是深入挖掘了更高维度的潜力，并将其与范畴论的代数结构紧密捆绑。那些关于如何利用亚显函数（functors）和自然变换来编码物理不变量的论述，极为精炼且富有洞察力。我尤其欣赏作者在处理那些易于混淆的符号和定义时所展现出的清晰度，尽管主题本身极其晦涩，但其叙述脉络却能引导读者逐步深入。对于那些希望从纯粹的数学角度理解量子场论基础结构的读者来说，此书无疑是提供了最硬核的支撑点。它迫使你重新审视你对空间、维度和结构之间关系的既有认知。

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这本书最令人称道之处，在于它成功地搭建起了一座跨越代数和几何鸿沟的桥梁。它没有将幺半范畴视为孤立的代数工具，也没有将拓扑场论视为纯粹的物理模型，而是展示了两者在概念核心上的高度一致性。作者对于如何将空间（流形）的拓扑信息“编码”进范畴的函子结构中，给出了极其深刻的见解。这种深度融合，使得读者能够以一种全新的、更具概括性的视角去审视以前看似不相关的数学分支。对于希望在理论物理前沿寻找数学基础的研究者来说，此书提供了坚实的起点和丰富的后续研究方向。它不是对已有知识的简单总结，而是对未来研究范式的塑造，具有极强的启发性和引领性。这是一部值得所有严肃的数学物理工作者珍藏的参考书。

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坦白说，对于非专业人士来说，这本书的门槛高得惊人。它不是一本“入门”读物，更像是一份面向领域内专家的技术规范书。书中大量引用的术语，比如阿贝尔范畴、张量积的弱结合性、以及各种同调论的变体，要求读者必须对现代代数拓扑和数学物理有相当的熟悉度。不过，正是这种不妥协的严谨性，使得这本书具有了极高的学术价值和长久的生命力。书中对范畴论如何“解释”拓扑不变量的构造过程，可以说是教科书级别的典范。每一次公式的推导都显得水滴不漏，仿佛在进行一场精密的数学手术。虽然阅读时需要不断查阅参考资料，但每攻克一个难点，那种智力上的满足感是无与伦比的。这本书不是用来消遣的，它是用来构建理论大厦的砖石。

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