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出版者:Jones & Bartlett Publishers

作者:Patty, C. Wayne

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:2008-11-4

价格:$87.95

装帧:

isbn号码:9780763742348

丛书系列:

图书标签:

• topology
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• 拓扑学
• 数学
• 基础
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• 抽象代数

《拓扑学基础》 本书深入浅出地阐述了现代拓扑学中最核心的概念和理论，旨在为读者构建坚实的数学基础。从最基础的集合论和逻辑出发，逐步引入拓扑空间的概念，包括开集、闭集、邻域、紧致性、连通性等基本性质。书中详细讲解了度量空间、仿紧空间、豪斯多夫空间等重要拓扑空间类型的定义、性质及其相互关系，并提供了丰富的实例来说明这些抽象概念。 本书一大亮点在于对连续映射和同胚的深入探讨，揭示了它们在刻画拓扑空间之间等价性方面的关键作用。读者将学习如何运用同伦、同调等代数工具来区分拓扑性质不同但具有相似结构的空間。此外，书中还介绍了纤维丛、流形等更高级的拓扑概念，为进一步探索微分拓扑、代数拓扑等前沿领域奠定了坚实的基础。 本书的叙述清晰流畅，逻辑严谨，力求用最直观的方式解释最抽象的概念。大量的例题和练习题能够帮助读者巩固所学知识，并提升解决问题的能力。无论您是数学专业本科生、研究生，还是对拓扑学感兴趣的科研人员，本书都将是您不可或缺的参考书。通过阅读本书，您将深刻理解拓扑学的内在美，并掌握分析和理解几何对象在连续变形下不变性质的强大工具。 具体内容梗概： 第一部分：拓扑学的预备知识 集合论基础： 集合、子集、并集、交集、差集、笛卡尔积、映射、函数、单射、满射、双射、等价关系、划分。 逻辑基础： 命题、逻辑联结词、量词、证明技巧（直接证明、反证法、数学归纳法）。 第二部分：拓扑空间的构建 点集拓扑的起源： 度量空间的定义与性质，距离的概念，开球、闭球。 拓扑空间的定义： 通过开集的集合族来定义拓扑，等价的定义方式（闭集、邻域）。 基本拓扑概念： 内部、闭包、边界、点集的稠密性。 重要拓扑空间类型： 度量空间： 距离函数的性质，完备性，依序列收敛。 序拓扑： 由序关系诱导的拓扑。 积拓扑： 多个空间的积上的拓扑。 商拓扑： 通过等价关系定义的拓扑。 基与次基： 简化拓扑定义的工具，方便描述拓扑结构。 第三部分：拓扑空间的性质 分离公理： T0空间： 区分任意两个不同点。 T1空间： 任意单点集是闭集。 豪斯多夫空间（T2空间）： 任意两个不同点可以被不相交的开集分开。 正则空间（T3空间）： 任意闭集和不在闭集中的点可以被不相交的开集分开。 完全正则空间（T3.5空间，吉洪诺夫空间）： 任意闭集和不在闭集中的点可以被连续函数分开。 正规空间（T4空间）： 任意两个不相交的闭集可以被不相交的开集分开。 一致性与度量化： 讨论哪些拓扑空间可以被度量定义，例如吉洪诺夫定理。 紧致性： 定义： 开覆盖的有限子覆盖性质。 重要性质： 紧致空间的连续像仍然是紧致的，紧致豪斯多夫空间是正规的。 Heine-Borel 定理： 在欧几里得空间中的重要应用。 序列紧致性与可数紧致性： 与紧致性的关系。 连通性： 定义： 不能分解为两个不相交的非空开集的并集。 重要性质： 连通空间的连续像仍然是连通的。 路径连通性： 空间中任意两点之间存在一条连续曲线连接。 局部连通性： 任意点的局部基由连通集组成。 道路连通性与连通性的关系。 可数性公理： 第一可数公理： 任意点存在可数的邻域基。 第二可数公理： 拓扑存在可数的基。 可分性： 存在可数稠密子集。 第四部分：连续映射与同胚 连续映射的定义： 开集的原像是开集。 连续映射的性质： 保持拓扑结构，像的性质（紧致、连通等）。 同胚（Homeomorphism）： 双射且其逆映射也连续，是拓扑空间之间的“等价”。 同胚不变量： 在同胚下保持不变的拓扑性质（例如：紧致性、连通性、分离公理）。 同伦（Homotopy）： 连续映射之间的“形变”，用于区分不相似的空间。 同伦等价： 两个空间可以通过同伦映射相互关联。 第五部分：拓扑不变量与代数拓扑初步 基本群（Fundamental Group）： 定义： 基于路径的同伦类构成的群，反映了空间的“洞”。 应用： 区分同伦等价但不是同胚的空间。 同调群（Homology Groups）： 直观介绍： 衡量空间的“洞”的更高级的工具，特别是“更高维度”的洞。 辛勤的工作： 讲解如何构建同调群（链复形，边界算子）。 其他拓扑不变量（简要介绍）： 拟合法（Genus）、欧拉示性数（Euler Characteristic）。 第六部分：高级话题入门 流形（Manifolds）： 定义： 本地欧几里得空间，拓扑性质与欧几里得空间相似。 低维流形： 曲线、曲面，拓扑分类。 微分流形（微分拓扑）： 引入光滑结构。 纤维丛（Fiber Bundles）： 概念： 局部来看是积空间，整体上看结构更复杂。 应用： 在几何学、物理学中的重要作用。 本书致力于培养读者严谨的数学思维，并提供一个深入理解拓扑学宏大图景的平台。通过系统性的学习，您将能够运用拓扑学的语言和工具来分析和理解各种数学对象和几何结构。

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第五篇： 这本书的排版和印刷质量，简直是理工科教材中的一股清流。我特别注意到了它在处理数学符号时的细致程度。每一个希腊字母、每一个上下标、每一个箭头符号，都清晰锐利，完全没有出现任何模糊或者油墨扩散的现象。在涉及复杂极限和积分符号的公式排版中，层次感分明，阅读体验极佳，这对于依赖精确符号进行思考的读者来说至关重要。而且，这本书的“引用”和“拓展阅读”部分做得非常到位，它没有简单地罗列参考文献，而是针对性地推荐了每一章节背后思想的来源，或者指出哪些概念在其他分支学科中的应用。这使得这本书不仅是一个知识载体，更像是一个通往更深层研究领域的导航图。它鼓励读者去探索，而不是仅仅满足于书本上的现有内容，这才是真正优秀的学术著作应有的风范。

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第四篇： 说实话，这本书的习题部分是我最爱不释手的地方。很多教材的习题要么太简单，要么就是纯粹的机械计算，但这里的练习题设计得极其精妙。它们真正做到了“学以致用”——既有帮助巩固基础定义的直接检验题，也有一些挑战性的、需要综合运用多个定理才能解决的“小论文”式难题。我发现，许多经典定理的证明思路，其实都隐藏在那些看似不起眼的练习题的引导之中。例如，关于Urysohn引理的某些变体练习，它引导你绕开传统的复杂构造，去发现一个更优雅的证明路径。做这些习题的过程，与其说是检验学习成果，不如说是一种主动的知识重构。我经常会在一个难题上思考很久，但一旦找到突破口，那种豁然开朗的成就感是无与伦比的。这本书的价值，有一半是体现在这些经过深思熟虑的练习中的。

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第二篇： 作为一名数学爱好者，我接触过不少高等数学教材，但这本书在“引人入胜”这一方面做得确实出色。作者的叙述方式非常巧妙，他不是那种高高在上的理论灌输者，更像是一位耐心的老教授，在你耳边细细道来。开篇部分，它并没有直接跳入那些令人望而生畏的公理和定义，而是从一些非常直观的几何问题入手，比如面包圈和咖啡杯的等价性，这种娓娓道来的叙事风格，极大地降低了初学者的心理门槛。我发现自己竟然在不知不觉中就被这些看似枯燥的集合论基础和拓扑空间的概念所吸引。作者在解释“连通性”和“紧致性”时，那种深入浅出的比喻和类比，简直是教科书级别的示范。读起来一点也不费劲，相反，它激发了我更深层次的好奇心，让我迫不及待地想知道接下来的推导会通向何方。这种流畅的阅读体验，在同类书籍中是极其罕见的。

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第三篇： 这本书的理论深度无可挑剔，对于任何想要扎实掌握这个领域的人来说，都是一份不可多得的宝藏。它在处理基础概念（比如度量空间到一般拓扑空间）的过渡上，展现了极高的逻辑严密性。作者显然对知识体系有着宏观的把握，每引入一个新的概念，都会清晰地阐述它与前置概念之间的继承和发展关系。我尤其欣赏它对“商空间”这一复杂概念的处理，作者用了大量的篇幅，通过构造一系列递进的实例，层层剥茧，直到我完全理解了其构造的本质。更重要的是，它并没有停留在纯粹的理论构建上，书中穿插了大量与代数拓扑、微分几何等相邻领域的关联点，这让读者能够从更广阔的视角理解拓扑学的核心地位。读完一个章节，我感觉我的数学思维都被重新“校准”了一遍，那种清晰、准确的逻辑链条，让人感到无比充实。

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第一篇： 这本书的装帧设计实在是太吸引人了，硬壳封面那种低调的哑光质感，拿在手里沉甸甸的，一看就知道是下了功夫的精品。封面上的几何图案简洁又充满张力，让人忍不住想一探究竟。我特别喜欢它那种复古而又现代的排版风格，字体选择非常考究，既保证了阅读的舒适度，又透露出一种学术的严谨感。内页的纸张选择也让我惊喜，它没有那种廉价的漂白感，而是带有一种柔和的米白，即便是长时间阅读也不会感到刺眼。每一次翻阅，都像是在进行一次庄重的仪式。而且，书中的图例和插图简直是艺术品级别的！那些拓扑结构的示意图，绘制得极为清晰流畅，即便是最抽象的概念，也能通过这些视觉辅助瞬间变得生动起来。这本实体书的每一个细节，都体现了出版方对知识的尊重和对读者的体贴，完全配得上它在学术界的分量。它不仅仅是一本书，更是一件值得收藏的珍品。

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full of typos. theorems are awkwardly phrased and could have been stated much more clearly. definitely not recommended as you waste more time rather than actually learning topology

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