Rational Points on Elliptic Curves (Undergraduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Joseph H. Silverman

出品人:

页数:294

译者:

出版时间:1992-06-24

价格:USD 49.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387978253

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 椭圆曲线
• 数论
• 数学
• Mathematics
• curve
• arithmetic
• number
• elliptic
• 椭圆曲线
• 有理点
• 数论
• 代数几何
• 本科数学
• 数学教材
• 椭圆曲线理论
• 数论基础
• 数学教育
• 研究生数学

椭圆曲线上的有理点：通往数论殿堂的阶梯 本书是一本面向本科生的数学著作，深入浅出地探讨了椭圆曲线上的有理点这一在数论和代数几何领域中占据核心地位的研究对象。对于初次接触此领域或希望巩固基础的读者而言，本书无疑是一本绝佳的入门读物。 核心内容概述： 本书的写作旨在为读者搭建一个坚实的理论框架，引导其逐步理解椭圆曲线的结构及其上的有理点群的性质。内容涵盖了以下几个关键方面： 椭圆曲线的定义与基础概念： 书中首先会清晰地界定什么是椭圆曲线，通常以Weierstrass方程 $y^2 = x^3 + Ax + B$ 的形式引入，并详细阐述其构成元素，包括光滑性条件、基域（通常是有理数域 $mathbb{Q}$）以及无穷远点。读者将学习如何辨识一条曲线是否为椭圆曲线，并理解其几何意义。 群律的构造： 椭圆曲线最引人注目的特性之一是其上的点可以构成一个阿贝尔群。本书将详尽地解释如何构造这个群律，即“加法”。通过几何上的“弦与切线法则”，读者将直观地理解两个点相加的结果是如何得到的。代数上，也会推导和证明加法的具体公式，展示其运算规则。 有理点群的结构： 掌握了群律之后，本书将重点分析椭圆曲线上的有理点构成的群的结构。这将是本书的核心内容之一。读者将学习到著名的 Mordell-Weil 定理，该定理断言，在有理数域上的椭圆曲线上的有理点群是有限生成阿贝尔群。这意味着该群可以分解为一个自由部分（由有限个“生成元”构成）和一个挠部分（有限阶元素组成的子群）。 有限生成性的证明： 本书会引导读者理解 Mordell-Weil 定理的证明思路。通常会涉及到 下降法 (descent) 的思想，通过构造一个辅助函数（如诺姆函数），并利用有限多个抽象的算术工具，一步步地说明有理点群的有限生成性。这个过程虽然需要一定的数论功底，但本书会循序渐进地展开，力求让读者理解其中的逻辑。 挠部分的确定： Mordell-Weil 定理的另一部分是关于挠部分的描述。本书会介绍 Nagell-Lutz 定理，该定理提供了一种方法来确定椭圆曲线上的有理点挠部分的阶。具体而言，它给出了挠点坐标必须满足的整系数条件，为寻找和分类挠点提供了有力的工具。 无穷生成元的研究（选讲）： 对于自由部分的生成元，虽然本书主要侧重于理论框架，但可能会涉及一些关于如何寻找或估计这些生成元阶数的方法，例如与 Hasse-Weil zeta 函数 或 BSD猜想 的初步联系，但这些内容通常会以选讲或展望的形式出现，不会过于深入，以保持本科生的学习节奏。 应用与例子： 为了加深理解，本书会穿插大量的实例。从简单的、具有显式解的椭圆曲线，到一些著名的数论问题（如费马大定理的某些特殊情况），本书会展示如何运用椭圆曲线理论来分析和解决这些问题。通过具体的计算例子，读者可以更直观地体会到抽象概念的实际应用。 本书的特色与价值： 循序渐进的教学方法： 本书的编写理念是将复杂的概念分解为易于理解的步骤，并为每个概念提供清晰的定义和详尽的解释。数学推导过程严谨，同时又不失对直观几何意义的强调。 面向本科生的设计： 语言清晰，避免了过于高深的抽象概念，更注重培养读者对椭圆曲线理论核心思想的理解。对于有一定线性代数、抽象代数和初等数论基础的本科生来说，本书是理想的起点。 构建扎实的数论基础： 通过学习椭圆曲线上的有理点，读者将自然而然地接触到数论中的许多重要工具和思想，如域扩张、模形式、局部-全局原理等，为进一步深入学习代数数论、算术几何等高级领域打下坚实基础。 理论与实践并重： 本书不仅提供了严谨的理论证明，还通过丰富的例题和习题，帮助读者巩固所学知识，并初步掌握解决相关问题的技巧。 谁适合阅读此书： 对数论、代数几何或相关领域感兴趣的本科数学专业学生。 希望系统学习椭圆曲线理论基础的数学爱好者。 需要为进一步研究（如研究生阶段）打下相关基础的学生。 阅读本书，您将不仅仅是学习一个数学分支，更是踏上了一条通往现代数论深刻见解的迷人旅程。您将领略到抽象数学的优雅力量，并有机会触及许多悬而未决的数学难题。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

对于任何想要深入理解数论核心工具之一——椭圆曲线的读者来说，《Rational Points on Elliptic Curves》这本书绝对是一部不可多得的杰作。我之前对椭圆曲线的了解仅限于它们在某些著名数论猜想中的角色，但这本书为我提供了一个系统性的学习框架。作者以一种非常友好的方式，从基础的代数概念出发，逐步引导读者进入椭圆曲线的世界。书中对椭圆曲线的定义，以及如何通过代数几何的方法来理解其点集构成的阿贝尔群，都解释得非常透彻。我特别喜欢书中关于加法群律的几何推导，它通过直观的图形和巧妙的代数运算，展现了椭圆曲线点集运算的优雅。例如，如何通过对直线与曲线交点的处理来定义点相加，以及“无穷远点”在其中的关键作用，都让我印象深刻。在掌握了基本概念之后，书中自然地引入了有理点群的结构，以及Mordell-Weil定理。作者对这些定理的介绍，着重于其思想的深度和在解决数论问题中的应用，而不是仅仅罗列复杂的证明。他们还穿插了许多关于特定椭圆曲线的例子，让抽象的理论变得更加具体和易于理解。阅读这本书的过程，就像是在探索一个由数学真理构成的精妙世界，每一次的理解都带来巨大的喜悦。

评分☆☆☆☆☆

我最近开始深入研究代数几何领域，而这本《Rational Points on Elliptic Curves》无疑是我近期最振奋人心的一次阅读体验。在接触这本书之前，我仅对椭圆曲线有一个模糊的概念，知道它们在数论和密码学中扮演着核心角色，但具体是如何运作的，我却一无所知。这本书，从最基础的群律定义开始，一步步构建起了理解椭圆曲线理性点的完整框架。我特别欣赏作者的讲解方式，他们并非直接抛出复杂的定理和证明，而是通过一系列精心设计的例子和直观的几何解释，引导读者自己去发现数学的内在美。例如，他们对于直线与椭圆曲线交点的处理，以及如何通过“折叠”来定义加法运算，都让我豁然开朗。书中对群律的推导过程，从几何直观到代数表示，过渡得非常自然流畅。更让我惊喜的是，作者并没有止步于基础概念，而是迅速将读者带入了更深层次的讨论，比如Néron-Severi群、Mordell-Weil定理的初步介绍，以及Hasse Principle的应用。每一次阅读都感觉像是攀登一座新的高峰，虽然有时会遇到一些技术性的障碍，但作者的耐心和清晰的思路总能帮助我克服。这本书的数学语言严谨而优美，公式的推导清晰无误，并且每章末尾的习题都极具挑战性，它们不仅仅是巩固知识的工具，更是激发我进一步思考和探索的引子。我甚至会花上几个小时去解决一道习题，享受那种“啊哈！”时刻的到来。这本书绝对是任何对数学，特别是数论和代数几何感兴趣的本科生或研究生入门椭圆曲线的绝佳选择，它为我打开了一个全新的数学世界，让我对未来的学习充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

我必须说，《Rational Points on Elliptic Curves》这本书彻底改变了我对代数几何的看法。在读这本书之前，我总觉得代数几何是一个抽象且难以接近的领域，但作者用一种非常清晰、有条理且引人入胜的方式，将椭圆曲线这一核心概念呈现在我面前。本书的开篇就以一种非常友好的姿态，回顾了必要的背景知识，包括射影几何和代数群的一些基础概念，这对于像我这样并非出身于代数几何专业的读者来说，无疑是巨大的帮助。作者在介绍椭圆曲线的加法律时，不仅给出了严谨的代数推导，更通过精美的插图，将抽象的运算过程可视化，这对于我理解这种群结构至关重要。我尤其欣赏书中关于“无穷远点”的讨论，它在定义加法运算中扮演了关键角色，并且其几何意义也得到了充分的解释。随着阅读的深入，我开始接触到更高级的主题，例如点群的阶、秩以及Mordell-Weil定理。作者在介绍这些定理时，并非简单地陈述结论，而是深入剖析了证明思路，并给出了一些重要的推论和应用。例如，书中对群的有限性证明的阐述，以及如何通过具体例子来计算群的阶，都让我受益匪浅。此外，本书的习题设计也非常精妙，它们既能检验我对基本概念的掌握程度，也能引导我思考更深层次的问题。这本书不仅仅是一本教材，更像是一本引人入胜的数学故事书，它激发了我对数学探索的热情，并让我对未来更复杂的数学主题充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

作为一名数学系的学生，我一直在寻找一本能够系统性地介绍椭圆曲线这一重要数学对象的教材，而《Rational Points on Elliptic Curves》完全满足了我的需求。这本书的结构设计得极其合理，从最基本的代数几何概念，如射影平面、齐次坐标，到二次曲线的性质，再到椭圆曲线的定义和群律，层层递进，逻辑严密。作者的叙述风格非常注重概念的引入和理解，他们深入浅出地解释了椭圆曲线的几何意义，以及为什么这些曲线能够构成一个群。我特别喜欢书中对加法群律的几何推导，这让我能够直观地理解为何两个点相加会得到第三个点，以及“零元”和“逆元”的几何含义。在学习过程中，我发现自己不仅仅是在记忆公式，更是在理解数学思想的本质。书中关于有理点群的讨论，以及对Mordell-Weil定理的介绍，更是让我对椭圆曲线在数论中的应用有了更深刻的认识。虽然书中的某些证明涉及到一些高深的代数技巧，但我可以感受到作者为了让本科生能够理解，已经付出了巨大的努力，他们会提供必要的背景知识和引导。此外，书中包含的许多历史背景和名人轶事，也为枯燥的数学学习增添了不少趣味性。我非常喜欢书中那些看似简单但背后蕴含深刻思想的例子，它们帮助我巩固了理论知识，并学会了如何将其应用于实际问题。这本书的排版和印刷质量也非常出色，阅读起来是一种享受。我强烈推荐这本书给所有希望深入了解椭圆曲线及其在数论中作用的学生和研究者。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数论充满热情的学习者，《Rational Points on Elliptic Curves》这本书为我提供了一个深入探索椭圆曲线的绝佳机会。作者以其出色的教学能力，将一个原本可能显得晦涩的数学主题，变得清晰易懂且引人入胜。书中对椭圆曲线的定义，特别是其代数方程的性质以及点集所构成的阿贝尔群，进行了非常详尽的阐述。我特别欣赏书中关于加法群律的几何解释，它通过直观的图形和巧妙的代数推导，清晰地展现了椭圆曲线点集的群结构。例如，对“无穷远点”的引入及其在群运算中的角色，让我对数学的整体性和一致性有了更深的认识。随着我不断深入阅读，我对有理点群的结构，以及Mordell-Weil定理有了更深刻的理解。作者在介绍这些高级主题时，不仅注重数学的严谨性，更致力于挖掘其背后的思想精髓和在数论问题中的应用。他们通过大量的具体例子，如关于群的阶的计算以及不同椭圆曲线的性质，来帮助读者将理论知识转化为实际应用。这本书的语言风格清晰、准确，同时又充满了数学的美感，让我沉浸其中，乐此不疲。

评分☆☆☆☆☆

我一直以来都对数学中那些看似简单却蕴含深刻思想的概念充满着浓厚的兴趣，而椭圆曲线正是这样一个迷人的领域。《Rational Points on Elliptic Curves》这本书，以其清晰的逻辑和循序渐进的讲解方式，完美地契合了我的求知欲。作者首先从基础的代数几何概念讲起，比如射影平面和齐次坐标，这些是理解椭圆曲线的必要铺垫。我非常喜欢他们对椭圆曲线的定义，即满足特定三次方程且光滑的代数曲线，以及如何在这个曲线上定义加法运算。书中关于加法群的几何解释，通过直线与曲线的交点来定义运算，让我对抽象的代数运算有了直观的认识。特别是“无穷远点”在群结构中的角色，以及它如何作为加法的零元，这些都让我觉得数学的严谨性和创造性并存。随着阅读的深入，我对有理点群的结构，以及Mordell-Weil定理有了更深刻的理解。作者在介绍这些高级概念时，注重挖掘其背后的思想和应用，并辅以具体的例子。例如，他们如何利用代数工具来证明群的有限性，以及这些结论在哪些数论问题中发挥了关键作用。本书的语言非常精确而优美，公式的推导严谨无误，让我能够信任书中传达的每一个信息。我常常会沉浸在书中，反复琢磨每一个定理和例子，从中获得学习的乐趣和知识的积累。

评分☆☆☆☆☆

这本书《Rational Points on Elliptic Curves》为我打开了通往代数数论领域的一扇重要大门。我一直对数论的深刻性和其在解决古老数学难题中的作用感到着迷，而椭圆曲线正是连接这些难题的关键。作者以一种极其系统且易于理解的方式，引导读者逐步深入椭圆曲线的世界。从最基本的射影几何背景，到二次曲线的通用方程，再到椭圆曲线的特定定义，每一步都清晰明了。我特别喜欢书中关于椭圆曲线上的加法群的几何解释，它通过对直线与曲线交点的巧妙处理，直观地展现了群的运算规则。这种几何直觉的培养，对于理解抽象的代数结构至关重要。书中对“无穷远点”的引入及其在定义群律中的作用，也让我印象深刻。随着我深入阅读，我开始接触到更高级的主题，例如群的阶、Mordell-Weil定理以及Siegel定理等。作者在介绍这些定理时，并没有回避技术细节，但同时又尽力提供直观的理解方式，并通过大量的例子来说明理论的应用。例如，书中关于椭圆曲线的同构以及在有限域上的构造，都让我对这类数学对象的丰富性有了全新的认识。这本书不仅传授了知识，更重要的是培养了我独立思考和解决数学问题的能力。我经常在阅读完一章后，花大量时间去消化吸收，并尝试解决其中的习题，从中获得巨大的学习乐趣。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学中那些连接抽象理论与实际应用的思想感到着迷，而椭圆曲线正是这样一个典范。《Rational Points on Elliptic Curves》这本书，以其清晰的逻辑和深刻的洞察力，完美地展现了这一点。作者从最基础的代数和几何背景入手，为读者铺设了通往椭圆曲线世界的坚实基础。书中对椭圆曲线的定义，以及其点集所形成的阿贝尔群结构，都进行了非常详尽且富有启发性的阐述。我尤其欣赏书中关于加法运算的几何解释，它通过对直线与曲线交点的处理，将抽象的代数运算可视化，这对于理解群的性质至关重要。例如，书中对“无穷远点”的定义以及它作为加法零元的作用，都让我对数学的严谨性和创造性有了更深的体会。随着阅读的深入，我开始接触到有理点群的结构，以及Mordell-Weil定理。作者在介绍这些核心概念时，不仅提供了严谨的数学论证，更侧重于挖掘其背后的思想深度和在数论中的应用。他们还通过大量的例子，如关于特定椭圆曲线的性质和计算，来帮助读者巩固所学并拓展思路。这本书的语言流畅而富有感染力，公式的推导精确无误，让我在享受阅读乐趣的同时，也获得了宝贵的知识。

评分☆☆☆☆☆

作为一名数学专业的本科生，我一直对数论中一些最迷人的问题感到好奇，而椭圆曲线无疑是其中最重要的一环。《Rational Points on Elliptic Curves》这本书以其卓越的清晰度和严谨性，成为了我探索这一领域的理想向导。作者从最基础的代数和几何概念入手，确保即使是对代数几何不太熟悉的读者也能轻松上手。书中对椭圆曲线的定义，尤其是其代数方程的形式以及点集构成的阿贝尔群，进行了非常详尽的阐述。我特别欣赏书中关于加法运算的几何解释，通过对直线与曲线交点进行“折叠”和“对称”的操作，直观地展现了群的结构，这比单纯的代数计算更容易理解。在对群律的讨论之后，书中自然地过渡到了有理点群的结构，并引入了Mordell-Weil定理。作者对该定理的介绍，着重于其核心思想和意义，而非过于晦涩的证明细节，这对于理解其在数论中的地位非常有帮助。此外，书中还穿插了许多关于特定椭圆曲线的例子，例如Weierstrass方程，以及它们在不同数域上的性质，这让理论变得更加生动和具体。本书的习题设计也非常出色，它们既有检验基础知识的题目，也有启发深入思考的挑战，帮助我巩固所学并拓展思路。阅读这本书的过程，让我感受到了数学的逻辑之美和内在联系，极大地提升了我对数学的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

从一位对数论充满好奇的初学者角度来看，《Rational Points on Elliptic Curves》是一本令人惊叹的入门读物。我一直对费马大定理以及它与椭圆曲线的深刻联系感到好奇，而这本书正好提供了深入了解的钥匙。作者非常体贴地从最基础的代数概念讲起，比如群论和域论，确保读者即便没有深厚的先验知识也能跟上。他们对有理数域上的椭圆曲线的定义以及点集的结构进行了详细的阐述，让我第一次领略到所谓“有理点”的奇妙之处。我特别喜欢书中对椭圆曲线的方程形式和分类的讨论，这为后续的深入研究打下了坚实的基础。通过具体的例子，我理解了如何判断一个点是否在曲线上，以及如何定义两个点之间的加法运算。书中关于Torsion Points（挠点）的介绍，以及它们如何构成一个有限的子群，更是让我惊叹于椭圆曲线内部的丰富结构。作者在讲解Mordell-Weil定理时，并没有直接给出复杂的证明，而是侧重于定理的内涵及其在数论问题中的重要性。他们还提及了Legendre符号、二次互反律等数论中的经典工具，并将它们巧妙地融入到对椭圆曲线性质的分析中。这本书的语言清晰、准确，并且充满了数学的美感，让我沉浸其中，乐此不疲。阅读这本书的过程，就像是在探索一个充满奥秘的数学迷宫，每一次解开一个难题，都带来巨大的成就感。

评分☆☆☆☆☆

introduction 写得那叫一个引人入胜

评分☆☆☆☆☆

写的极好！作者不愧是数学巨匠，品味不是一般的高！

评分☆☆☆☆☆

写的极好！作者不愧是数学巨匠，品味不是一般的高！

评分☆☆☆☆☆

introduction 写得那叫一个引人入胜

评分☆☆☆☆☆

写的极好！作者不愧是数学巨匠，品味不是一般的高！