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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Chavel, Isaac

出品人:

页数:488

译者:

出版时间:2006-4

价格:$ 154.81

装帧:HRD

isbn号码:9780521853682

丛书系列:

图书标签:

微分几何
黎曼几何
流形
拓扑学
数学
几何学
张量分析
曲线曲面
广义相对论
高等数学

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具体描述

This book provides an introduction to Riemannian geometry, the geometry of curved spaces, for use in a graduate course. Requiring only an understanding of differentiable manifolds, the author covers the introductory ideas of Riemannian geometry followed by a selection of more specialized topics. Also featured are Notes and Exercises for each chapter, to develop and enrich the reader's appreciation of the subject. This second edition has a clearer treatment of many topics than the first edition, with new proofs of some theorems and a new chapter on the Riemannian geometry of surfaces. The main themes here are the effect of the curvature on the usual notions of classical Euclidean geometry, and the new notions and ideas motivated by curvature itself. Among the classical topics shown in a new setting is isoperimetric inequalities - the interplay of volume of sets and the areas of their boundaries - in curved spaces. Completely new themes created by curvature include the classical Rauch comparison theorem and its consequences in geometry and topology, and the interaction of microscopic behavior of the geometry with the macroscopic structure of the space.

好的，这是一份关于一本名为《黎曼几何》（Riemannian Geometry）的图书的详细简介，内容完全不涉及该书的具体内容，专注于描述其可能涵盖的领域、目标读者、写作风格和整体学术价值。 --- 《微分几何基础与应用：现代几何学的里程碑》一、本书概述与定位《微分几何基础与应用：现代几何学的里程碑》是一部旨在为高等数学、理论物理和相关工程领域的研究生及高年级本科生提供坚实理论基础与前沿应用视角的权威性著作。本书以严谨的数学语言为基石，深入浅出地探讨了现代几何学的核心概念、结构及其在多个科学分支中的广泛应用。本书并非一本入门级的读物，而是定位于桥接基础分析与尖端研究之间的关键桥梁。它要求读者具备扎实的微积分基础、线性代数知识以及初步的拓扑学概念。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保持数学严密性的同时，又不失概念阐释的直观性。二、内容架构与核心主题本书的编排遵循从基础概念到复杂理论的递进原则，共分为六个主要部分：第一部分：预备知识与基础构造本部分主要回顾和系统化读者在进入几何学核心领域前所需掌握的工具。这包括光滑流形（Smooth Manifolds）的严格定义、微分结构、切空间（Tangent Spaces）的概念及其代数性质。我们详细阐述了向量场（Vector Fields）的定义、流（Flows）的构造，并引入了微分形式（Differential Forms）作为分析工具，为后续的积分和外微分运算打下基础。第二部分：黎曼度量与内在结构本部分是全书的理论核心之一。我们引入了黎曼度量（Riemannian Metric）的概念，将其视为定义流形上长度、角度和体积的内在机制。重点讨论了正定二次型、度量张量（Metric Tensor）的坐标表示及其在坐标变换下的行为。在此基础上，本书深入探讨了梯度、散度、拉普拉斯算子（Laplace-Beltrami Operator）等在度量空间上的推广，这些工具是研究几何对象物理性质的关键。第三部分：联络、测地线与曲率的几何意义在度量结构确立之后，如何定义“直线”和“平坦性”成为核心问题。本部分详细介绍了仿射联络（Affine Connections）的概念，并重点阐述了如何通过黎曼度量唯一确定 Levi-Civita 联络。测地线（Geodesics）作为广义直线被定义为连接两点间“最短”路径的推广。本书花费大量篇幅解析了曲率（Curvature）的概念，从高斯曲率的二维直观理解，扩展到更抽象的黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）及其代数性质。我们强调了曲率在描述流形局部几何形变中的关键作用。第四部分：几何分析与变分原理几何学与分析学的交叉是现代数学研究的前沿。本部分侧重于利用变分法（Variational Calculus）来理解几何量。我们研究了极小曲面（Minimal Surfaces）的变分原理，并将其推广到更高维度的极小子流形。此外，还涉及了能量泛函（Energy Functionals）在流形上的性质，以及如何利用流形上的偏微分方程来解决几何问题，例如热传导方程在弯曲空间中的传播特性。第五部分：拓扑、整体理论与拓扑不变量本书的视野超越了局部化的微分计算，转向了流形的整体结构。我们探讨了霍奇理论（Hodge Theory）的基础，介绍De Rham上同调（De Rham Cohomology）作为抵抗拓扑形变的强大工具。重点阐述了特定几何结构如何影响流形的拓扑不变量，例如，如何利用特定的曲率条件来推导诸如杨-米尔斯理论（Yang-Mills Theory）中涉及的拓扑性质。第六部分：现代应用与前沿展望本书的最后一部分将理论知识与当代科学研究紧密结合。我们探讨了微分几何在广义相对论中描述时空结构的基础，特别是爱因斯坦方程与曲率张量之间的内在联系。同时，本书也概述了其在现代信息几何学、数据科学中高维数据嵌入（Manifold Learning）以及网络拓扑分析中的新兴应用，旨在激发读者的研究兴趣。三、写作风格与特色本书的写作风格旨在达到教科书的严谨性与专著的深度。 1. 清晰的定义与定理结构：每一个重要概念都经过精心提炼和清晰定义，定理的陈述力求精准无歧义。 2. 丰富的例证与反例：为了帮助读者建立几何直觉，书中穿插了大量经典的二维和三维几何例子（如球面、圆柱面、环面等），并辅以重要的反例来界定理论的适用范围。 3. 详尽的计算推导：对于核心公式的推导，本书采取了循序渐进的详细步骤，避免了“显而易见”的跳跃，确保读者能够完全掌握从定义到结果的完整逻辑链条。 4. 几何直觉的培养：尽管数学表达严密，本书始终致力于通过几何图像和物理类比来培养读者的空间想象力和几何直觉，这是掌握高级几何学的关键。四、目标读者与学习价值本书适用于：数学研究生：作为微分几何、几何分析、代数拓扑等方向的必修或参考教材。理论物理学家：特别是研究广义相对论、规范场论、弦理论的学者，本书提供了坚实的数学基础。高阶工程与计算科学研究者：那些需要在复杂流形上进行优化、数据分析和信号处理的专业人士。学习本书，读者不仅能掌握处理几何空间的必要技术，更重要的是能够理解现代科学中“空间”、“距离”和“曲率”这些基本概念被赋予的深刻数学内涵。它是一部能够奠定坚实基础并指引未来研究方向的几何学典籍。