Functional Analysis For Probability And Stochastic Processes pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Bobrowski, Adam

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2005-9

价格:$ 180.80

装帧:HRD

isbn号码:9780521831666

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 随机过程
• 泛函分析
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• Infinite Dimensional Spaces
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《概率与随机过程中的泛函分析》内容简介 本书旨在为概率论与随机过程的研究者提供一套坚实的、以泛函分析为基础的数学工具箱。它精心构建了一个桥梁，连接了抽象的泛函分析理论与实际的随机现象建模和分析。全书的侧重点在于如何运用拓扑向量空间、算子理论、测度论的深化概念以及希尔伯特空间和巴拿赫空间中的关键结果，来解决概率论中的核心问题，例如大数定律、中心极限定理的推广、鞅论的收敛性质以及随机过程的平稳性和遍历性。 第一部分：基础框架的重塑——从测度到泛函 本书首先从概率测度论出发，但很快便引入了泛函分析的视角。我们不再仅仅将随机变量视为 $[0, 1]$ 上的实值函数，而是将其视为具有特定结构（如完备性、拓扑结构）的函数空间中的元素。 1. 拓扑与度量：随机变量空间的结构 我们深入探讨了概率空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$ 上的函数空间，特别是 $L^p(Omega, mathcal{F}, P)$ 空间。重点分析了这些空间的完备性（即它们是巴拿赫空间）以及在 $p=2$ 时它们成为希尔伯特空间所带来的巨大便利。我们详述了弱收敛和强收敛的差异，并将其与概率论中的依概率收敛和几乎必然收敛联系起来。拓扑的引入使得对随机变量序列的极限操作具有了严格的几何解释。 2. 测度与积分的泛函表示 经典测度论中的积分概念在泛函分析中得到了升华。通过Riesz表示定理，我们将有界线性泛函与特定的可积函数联系起来。这为随机期望 $mathbb{E}[X]$ 的处理提供了一个更强大的视角，尤其是在处理无穷维空间中的随机变量时。我们详细分析了 Radon-Nikodym 定理在条件期望（作为泛函投影）中的作用，这对于理解马尔可夫过程中的信息流至关重要。 第二部分：算子理论在随机动力学中的应用 随机过程的演化，本质上是一种动态系统。泛函分析的算子理论为描述这种演化提供了精确的语言。 3. 作用于 $L^p$ 空间的算子：转移与演化 我们聚焦于作用于概率空间函数空间的线性算子。对于马尔可夫过程，转移核（Kernel）可以被视为一个作用在 $L^p$ 空间上的正算子。本书详细研究了这些算子的不动点（平稳分布）和迭代行为。 平稳性与遍历性： 通过研究迭代算子 $T^n X$ 的极限，我们应用了 Birkhoff 遍历定理的泛函分析版本。我们深入探讨了 $L^1$ 空间中等距算子的性质，特别是关于其谱（Spectrum）与过程的周期性或遍历性之间的关系。 半群理论： 对于连续时间随机过程，我们引入了 $C_0$ 连续半群的概念。拉普拉斯算子在概率论中的应用（如扩散过程）通过无穷小生成元 $mathcal{A}$ 来刻画。我们使用 Hille-Yosida 定理来证明随机微分方程（SDEs）的解的存在性和唯一性，将其视为一个半群作用的结果，这极大地深化了对随机演化方程的理解。 4. 鞅论的几何化 鞅论是概率论的核心，而泛函分析为鞅论提供了几何上的直观。 鞅的分解： Doob-Meyer 分解定理被置于更广阔的框架下进行考察。鞅被视为在嵌套 $sigma$-代数（信息流）下的一种“正交”投影序列。我们使用 Hilbert 空间中的投影算子来解释条件期望的迭代过程，展示了鞅差序列（Martingale Differences）在适当的 $L^2$ 空间中具有正交性。 $L^2$ 鞅的收敛： 利用 $L^2$ 空间的完备性，我们严格证明了 $L^2$ 鞅的收敛性，将其归因于序列在希尔伯特空间中的柯西性。 第三部分：无限维空间中的随机性与随机场 当样本空间 $Omega$ 变为无穷维，或者我们要描述的随机场本身是无穷维的时，传统的工具往往失效。泛函分析的无限维理论变得不可或缺。 5. 随机场与高斯测度 对于高斯随机场，其有限维分布是高斯分布，但其整体结构必须在无限维希尔伯特空间（如 $L^2([0, T])$）上进行定义。我们引入了 Wiener 测度，并探讨了如何在无限维希尔伯特空间上定义概率测度（Wiener 积分的构造）。这涉及到 Borell-Tetsura-Shepp 定理，以及如何判断一个给定的测度是否具有概率密度（Radon-Nikodym 导数）。 6. 随机积分的泛函解析基础 伊藤积分是随机分析的基石。本书将其建立在泛函分析的严格基础上。我们通过构造一个作用于简单过程空间上的线性映射，并利用其在 $L^2(Omega imes [0, T])$ 上的稠密性来将其连续延拓为伊藤积分。伊藤等距性质 $mathbb{E}left[left(int H_t dW_t ight)^2 ight] = mathbb{E}left[int H_t^2 dt ight]$，不再仅仅是一个公式，而是希尔伯特空间中等距变换的必然结果。 总结 本书的结构旨在使读者不仅能够熟练运用泛函分析的工具，更重要的是，能够从泛函分析的视角重新理解概率与随机过程中的核心定理。通过对拓扑、算子和无限维空间的深入分析，读者将获得驾驭复杂随机模型所需的严谨性和洞察力。

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作为我的数学老师，Bobrowski真的是大神啊

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