Calculus 8th Ed + Complete Solutions Manual Volume 1 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Houghton Mifflin College Div

作者:Larson, Ron

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:165.96

装帧:HRD

isbn号码:9780618741328

丛书系列:

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• Calculus
• 微积分
• 高等数学
• 数学教材
• 解题手册
• 8th Edition
• James Stewart
• Calculus 8th
• Solutions Manual
• 大学教材

拓扑学导论：从欧几里得空间到微分流形 作者： 约翰·斯塔克（John Starkey）、艾米莉亚·文森特（Amelia Vincent） 出版社： 麦克斯韦科学出版社（Maxwell Science Press） 页数： 约 980 页 装帧： 精装，附赠在线资源代码 --- 内容概述 《拓扑学导论：从欧几里得空间到微分流形》是一部全面而深入的拓扑学教材，旨在为数学、物理学及工程学等领域的学生和研究人员提供坚实的理论基础和丰富的几何直觉。本书的核心目标是将读者从熟悉但基础的欧几里得空间（$mathbb{R}^n$）概念出发，逐步引导他们进入抽象的拓扑空间，最终掌握现代几何学和微分几何的基石——微分流形。 本书结构严谨，逻辑清晰，强调概念的严格定义与直观理解的并重。它不仅仅是一本概念的汇编，更是一部引导读者进行数学思维、提升抽象推理能力的训练手册。全书分为五个主要部分，层层递进，确保读者能够稳健地构建知识体系。 --- 第一部分：度量空间与拓扑基础 (Chapters 1-4) 本部分奠定了整个课程的基石，引入了“距离”和“邻域”的抽象概念，这是拓扑学区别于传统微积分的关键。 第一章：集合论回顾与逻辑基础 虽然假定读者具备集合论的基本知识，但本章提供了必要的复习，重点强调了函数、关系的性质，以及构造性证明的常见技巧。特别关注了选择公理在构建特定拓扑空间时的潜在影响，为后续的泛函分析打下基础。 第二章：度量空间 (Metric Spaces) 这是对微积分中极限、连续性概念的第一次抽象化。详细定义了度量空间，并深入探讨了各种重要的度量，如欧几里得度量、曼哈顿度量（$L_1$）、切比雪夫度量（$L_infty$）。关键概念包括： 开球与闭球： 在任意度量空间中的定义及其拓扑意义。 收敛性： 序列收敛的拓扑定义，并证明了在不同度量下收敛性的等价性（在有限维空间内）。 完备性 (Completeness)： 柯西序列的引入，巴拿赫不动点定理（收缩映射原理）的详尽证明及其在常微分方程解的存在性与唯一性中的应用。 紧致性 (Compactness)： 通过开覆盖的有限子覆盖定义紧致性，并证明了在有限维欧几里得空间中， Heine-Borel 定理的等价性。 第三章：一般拓扑空间 (General Topological Spaces) 本章将度量空间的限制放宽到更一般的拓扑空间。 拓扑的定义： 拓扑由开集的族定义，而非依赖于度量。探讨了基 (Basis) 和子基 (Subbasis) 的概念，用于生成拓扑。 闭集、闭包与内部： 对开集的对偶概念进行深入研究，特别是邻域、闭包算子（$ar{A}$）和内部算子（$ ext{int}(A)$）的性质。 连续性： 连续函数的拓扑定义（原像下开集的开性），并将其与度量空间中的定义进行比较。 拓扑的生成： 如何从子空间结构生成新的拓扑，包括乘积拓扑和商拓扑的初步介绍。 第四章：分离公理与特定拓扑 本章专注于区分不同“质量”的拓扑空间，这些分离性质对于后续处理连续函数和极限至关重要。 分离公理： 详细介绍 $T_0, T_1, T_2$（Hausdorff/分离空间）、$T_3$（正则空间）和 $T_4$（正规空间）的定义、相互关系及其重要性。 度量诱导拓扑的性质： 证明所有度量空间都是 $T_3$ 空间。 函数空间的拓扑： 引入紧凑开收敛拓扑（Compact-Open Topology），这是函数空间研究（尤其是 Arzela-Ascoli 定理的基础）的关键。 --- 第二部分：连通性与紧致性 (Chapters 5-6) 这一部分深入探讨了拓扑空间的全局性质，它们对函数的性质有显著影响。 第五章：连通性 (Connectedness) 定义与性质： 基于分离集的定义，探讨连通空间、路径连通空间及其相互关系。证明了连通性的传递性。 中介值定理的推广： 证明了在连通空间中连续函数的像仍是连通的，这是经典中介值定理的拓扑推广。 应用： 对 $mathbb{R}^n$ 中开集的连通性分析（如路径连通性与连通性的等价）。 第六章：紧致性：深入探索 在第一部分定义紧致性的基础上，本章侧重于更强大的工具和应用。 乘积空间中的紧致性： 提肖诺夫定理 (Tychonoff’s Theorem) 的详尽证明（使用对角线论证的推广），强调其对无限积空间的重要性。 紧致性与连续函数： 证明连续函数将紧致集映为紧致集，并讨论了极值定理（最大值/最小值定理）的拓扑形式。 局部紧致性： 局部紧致空间的定义及其在构造紧致化（如单点紧致化）中的作用。 --- 第三部分：连续映射与同胚 (Chapters 7-8) 本部分关注拓扑空间之间的结构保持映射，即同胚。 第七章：连续映射与拓扑结构 开映射与闭映射： 对连续映射的性质进行更精细的区分。 商拓扑 (Quotient Topology)： 详细介绍商集的构造及其拓扑，这是构造球面、环面等几何对象的基础。讨论了商映射的特性，以及当 $p: X o Y$ 是一个开（或闭）映射时，如何影响商空间的性质。 嵌入 (Embedding)： 定义子空间到原空间的嵌入，以及子空间拓扑与诱导拓扑的关系。 第八章：同胚与拓扑不变量 同胚 (Homeomorphism)： 定义拓扑等价的概念，强调同胚是双射且连续，其逆也是连续的。 拓扑不变量： 介绍可以区分拓扑空间但不会被同胚改变的性质，包括基数、分离公理、连通性、紧致性、以及后续章节将引入的同伦群和同调群。 --- 第四部分：基础代数结构与同伦 (Chapters 9-10) 本部分开始将代数工具应用于拓扑问题，是代数拓扑的开端。 第九章：基本群 (The Fundamental Group) 路径与同伦： 定义路径、路径的乘法以及路径的同伦概念，引入同伦等价关系。 基本群的构造： 将 $pi_1(X, x_0)$ 定义为基于某个基点的所有闭路径的同伦类集合，证明其构成一个群（非交换性在更复杂的空间中出现）。 应用： 计算圆周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$（使用 Lifting Property/提升性质）。证明二维球面 $S^2$ 的基本群是平凡群。布劳威尔不动点定理的拓扑证明。 第十章：覆盖空间与单连通性 覆盖空间 (Covering Spaces)： 详细定义覆盖映射，特别是简单覆盖（Simple Coverings）。 提升定理： 路径提升引理和映射提升定理，这些是计算基本群的关键工具。 单连通性： 讨论 $pi_1(X) = {e}$ 的意义，即空间是单连通的。 --- 第五部分：微分流形初步 (Chapters 11-12) 本书的终极目标之一是将拓扑概念推广到具有局部结构的微分结构。 第十一章：流形的概念 拓扑流形定义： 局部欧几里得性、可数基和Hausdorff性质。 图册 (Atlas) 与坐标变换： 引入图册的概念，以及在不同坐标系之间的变换映射（转移函数/Transition Maps）。 光滑性要求： 对转移函数施加光滑性（$C^infty$）要求，引出光滑流形（Smooth Manifolds）。 第十二章：向量场与微分形式的萌芽 切空间 (Tangent Space)： 从曲线和曲面出发，通过方向导数的概念，形式化地定义流形上的切空间 $T_p M$。 向量场： 定义光滑向量场作为光滑截面。 微分 0-形式（函数）与 1-形式： 介绍微分形式的初步概念，作为切空间的对偶空间（余切空间）上的张量。为后续学习向量微积分在曲面上的推广做准备。 特色与亮点 1. 难度适中，深度足够： 本书避免了过于初级或过于专业的处理，力求在拓扑基础（$T_4$ 空间、完备性）和代数拓扑（基本群）之间找到一个平衡点。 2. 欧氏空间到抽象空间的桥梁： 结构上严格遵循从 $mathbb{R}^n$ 上的分析概念（极限、连续性）到度量空间，再到一般拓扑空间的抽象过程。 3. 丰富的习题集： 每章后附有大量的概念性问题和计算性练习，特别是关于构造反例和证明分离性质的习题，旨在磨砺读者的直觉。 4. 几何直观的培养： 尽管是高度抽象的领域，作者通过大量的图示和具体的例子（如球面、环面、射影平面）来帮助读者建立几何图像。 本书是为攻读数学、理论物理或高级工程分析的学生设计的标准教科书，是深入研究代数拓扑、微分几何或泛函分析的必备前奏。

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