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出版者:CreateSpace Independent Publishing Platform

作者:Robert Ghrist

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:2014-9-1

价格:USD 24.00

装帧:Paperback

isbn号码:9781502880857

丛书系列:

图书标签:

数学
topology
Robert_Ghrist
MathTopology
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拓扑学
应用拓扑学
初等拓扑学
数学
几何学
点集拓扑学
代数拓扑学
拓扑数据分析
数学基础
高等教育

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具体描述

This text gives a brisk and engaging introduction to the mathematics behind the recently established field of Applied Topology. Over a century of development of principles and techniques in algebraic topology has of late crossed over to a variety of application domains. This text gives a completely novel introduction to these methods in the context of the applications. "Elementary Applied Topology" is short (250 pp. plus bibliography and index) and richly illustrated, with 268 figures. It is perfect for both self-study, and as the basis for a course in applied topology. This book is also well-suited for use as a supplementary text in a more traditional algebraic topology course, providing both context and motivation for the tools to be learned. The progression of mathematical techniques is a fresh approach. The book begins with a quick trip through manifolds and cell complexes. The segue to algebraic topology comes in the form of the Euler characteristic and the Euler calculus born from it. Passing from this to homology, exact sequences, and cohomology sets the stage for the innovative content to come. This is comprised of modern Morse theory (including discrete Morse theory, Conley index, and stratified Morse theory), sheaf theory (with an emphasis on cellular sheaves and cosheaves), and, finally, category theory and categorification. Every tool and topic is paired with an application. These range in scope across the biological, economic, engineering, material, physical, and statistical sciences. Of particular note are the applications to topological data analysis, including persistent homology and barcodes. "Elementary Applied Topology" is the first comprehensive text on applied algebraic topology for students of all mathematical sciences.

《抽象代数导论》这是一本旨在为数学专业本科生和研究生提供坚实抽象代数基础的教材。全书共分为十四章，循序渐进地引导读者理解群、环、域等核心代数结构，并探讨了它们在现代数学研究中的应用。内容梗概：第一部分：群论基础第一章：整数的整除性与模运算本章从最基础的整数算术入手，介绍整除、最大公约数、最小公倍数等概念。重点阐述了欧几里得算法及其在求解不定方程中的应用。引入了模运算（同余关系），为后续的群论打下基础，例如模 n 的加法群和乘法群。讨论了素数和素因子分解定理，为后续研究环的结构埋下伏笔。第二章：群的定义与基本性质正式引入群的定义：一个集合配备一个二元运算，满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。通过大量实例，如整数加法群、非零有理数乘法群、置换群、矩阵群等，帮助读者理解群的概念。探讨了子群、陪集、正规子群、商群等重要概念，为理解群的内部结构和分类奠定基础。介绍了拉格朗日定理及其推论，这是群论中的核心定理之一。第三章：有限群与对称性专注于有限群的研究，引入了阶、循环群、生成元等概念。深入探讨了循环群的结构，并将其与整数模 n 的加法群联系起来。介绍了群作用的概念，以及凯莱定理，它表明每个有限群都同构于某个置换群。强调了群在描述对称性中的作用，例如正多面体的对称群，以及它们在几何和物理中的应用。第四章：群同态与群同构定义了群同态和群同构，理解不同群之间的映射关系。利用同态定理（同态基本定理、第一、第二、第三同态定理），揭示了群结构之间的深刻联系。探讨了核（kernel）和像（image）的概念，它们在理解同态映射的性质中起着至关重要的作用。本章为理解代数结构之间的关系提供了强大的工具。第二部分：环论基础第五章：环的定义与基本性质引入环的定义：一个集合配备两个二元运算（通常是加法和乘法），满足交换性、结合律、分配律等。介绍各种类型的环，如整数环、多项式环、矩阵环、模 n 的整数环等。探讨了子环、理想、商环等概念，它们是理解环的内部结构的关键。介绍了单位元环、交换环、整环、域等重要概念。第六章：整环与域重点研究整环，即满足交换律、有单位元且没有零因子（非零元素乘积不为零）的环。探讨了整环中的整除性、素元、不可约元等概念。正式引入域的定义，即一个满足交换律、有单位元且单位元不等于零，并且每个非零元素都有乘法逆元的环。介绍了有限域的存在性和结构，以及它们在编码理论和密码学中的重要应用。第七章：环同态与环同构定义了环同态和环同构，类比群同态，研究环之间的映射关系。利用环同态定理，揭示了环结构之间的深刻联系。本章将同态的概念推广到环的层面，进一步加深了对代数结构的理解。第三部分：多项式环与域扩张第八章：多项式环深入研究多项式环的结构，包括多项式的加法、乘法、次数等。在域上的多项式环中，介绍多项式的除法算法、最大公约数、最小公倍数。探讨了本原多项式、高斯引理等概念，为研究多项式的因子分解奠定基础。讨论了不可约多项式及其在构造域中的作用。第九章：域的扩张介绍域扩张的概念，即将一个域 F 嵌入到一个更大的域 K 中，使得 K 视作 F 的向量空间。定义了域扩张的次数，并研究了简单扩张、有限扩张、代数扩张等。介绍了代数数和超越数。探讨了正规扩张和可分扩张等重要概念。第十章：伽罗瓦理论初步引入伽罗瓦群的概念，即域扩张的自同构群。阐述了伽罗瓦理论的核心思想：建立域扩张的结构与对应伽罗瓦群结构之间的对应关系。利用伽罗瓦理论，证明了多项式方程可解的充要条件，以及五次以上方程一般不可用根式求解的定理。本章是全书的亮点之一，深刻展示了抽象代数在解决经典数学问题上的力量。第四部分：其他代数结构与应用第十一章：模将群和环的概念推广到模，将环视为系数域的向量空间。介绍自由模、有限生成模、投射模、内射模等。对于主理想整环上的有限生成模，进行详细的分类，并阐述了其结构定理。模作为群论和环论的进一步推广，在表示论、代数几何等领域有广泛应用。第十二章：模运算在数论中的应用将前述的模运算知识应用于数论问题，例如同余方程组（中国剩余定理）。探讨了二次剩余、平方和的表示等问题。介绍了费马小定理、欧拉定理等重要的数论结果。第十三章：有限域及其构造详细介绍有限域的构造方法，特别是如何通过不可约多项式构造有限域。讨论了有限域的性质，例如其加法群和乘法群的结构。重点阐述有限域在编码理论（如 BCH 码、Reed-Solomon 码）和密码学（如椭圆曲线密码学）中的实际应用。第十四章：进一步主题与研究方向简要介绍代数数论、交换代数、同调代数等更高级的主题。为读者指明了进一步深入学习代数领域的方向。鼓励读者独立思考和探索，培养解决代数问题的能力。本书以严谨的数学语言，清晰的逻辑结构，丰富的例题和习题，旨在帮助读者掌握抽象代数的核心概念和基本工具，为进一步的数学学习和研究打下坚实的基础。对于任何希望深入理解数学结构和数学语言的读者来说，本书都是一本不可或缺的读物。

作者简介

Robert Ghrist is the Andrea Mitchell PIK Professor of Mathematics and Electrical & Systems Engineering at the University of Pennsylvania. He is a celebrated researcher in Applied Mathematics whose achievements were recognized by President Bush in 2004 [PECASE award] and by Scientific American magazine in 2007 [Top50 for research]. Among his honors is the 2013 Chauvenet Prize, the highest award given for expository writing in mathematics. As a teacher, he is renowned for illustrating difficult mathematics cleanly and clearly, as evidenced by the popularity of his animated on-line "Calculus: Single Variable" video course.

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

从难度上来说，这本书的梯度设置简直是教科书级别的典范。起初的章节，主要围绕基础的拓扑空间、连续映射和紧致性概念展开，对于具备基础微积分和线性代数背景的读者来说，上手非常流畅。但随着内容的推进，它毫不留情地进入了代数拓扑的核心领域，比如同调群的计算和纤维丛的引入，这部分内容要求读者必须投入大量的时间去消化吸收。不过，作者的处理方式非常高明：他总是先用直观的、低维的例子来建立读者的直觉，然后才引入抽象的定义和高超的工具。书中后半部分设置的那些挑战性的习题，绝非简单的重复性练习，它们往往是思想的深度挖掘，需要读者真正融会贯通才能解答。对于希望真正掌握这门学科精髓的严肃学习者而言，这本书的难度曲线是既合理又必要的“磨砺”。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述风格极其鲜明，充满了那种“老派”数学家的严谨和一丝不苟，但又不乏一种迷人的个人色彩。作者似乎有一种魔力，可以将那些看似冷硬的公理化陈述，用一种近乎讲故事的方式娓娓道来。每引入一个新的概念，他都会先给出一段富有哲理性的引言，引导读者进入一个特定的数学语境，让人感觉自己不是在被动接受知识，而是在与一位经验丰富的智者一同探索未知领域。我尤其欣赏它对历史脉络的交代，每当一个重要定理出现时，作者总会简要提及它是如何从早期欧几里得几何或黎曼几何中演变而来，这种历史的厚重感让学习过程充满了敬意。偶尔出现的几处幽默的脚注，也巧妙地平衡了整体的严肃性，使得漫长的阅读过程充满了惊喜和期待。

评分☆☆☆☆☆

我是在一位老教授的推荐下开始接触这本书的，当时我对“应用”这两个字抱有很大的期待，希望它能连接起纯粹的数学理论和实际的工程问题。然而，阅读体验却让我对“应用”的理解有了一个更深层次的重构。它并非直接给出算法或具体的工程案例，而是着重于从拓扑学的角度去“理解”结构、连通性和形变，这种理解力反过来会指导我们如何去建模和分析那些复杂的系统。例如，书中对持久同调（Persistent Homology）的介绍，虽然数学推导严谨，但它所揭示的“数据的形状”的概念，对于我后来分析网络结构和时间序列数据时，提供了极其宝贵的思维框架。它教会我如何用更稳健的、与尺度无关的方式去看待数据中的“洞”和“环”，而不是仅仅停留在表面的统计量上。这种深层的思想渗透，远比直接的应用公式来得更有价值和长远影响。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书在处理“为什么”的问题上，远胜于许多只关注“是什么”的教材。很多拓扑学的书籍只是机械地罗列定义和定理，让读者感到困惑：为什么要引入同伦群？它究竟解决了什么问题？这本书则不然，它始终在背后构建一个强大的“动机网络”。例如，在介绍基本群时，作者花费了大量的篇幅来探讨单连通性的物理意义，以及如何用它来区分不同“穿孔”的物体，这使得抽象的群结构立刻拥有了清晰的几何内涵。这种以问题驱动的学习路径，极大地增强了学习的内驱力，让人在掌握每一个工具时，都能清晰地知道它在整个拓扑学地图上的定位。读完之后，我感觉自己不仅仅是学会了拓扑学的术语，更重要的是，我学会了一种全新的、更具洞察力的看待世界“形状”的方式。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和排版简直是一场视觉的盛宴。封面采用了一种沉稳的深蓝色调，配上烫金的字体，显得既专业又不失典雅。内页的纸张质感非常出色，触感光滑细腻，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。更值得称赞的是，图文的排版布局极为考究，公式、定理和例子的穿插布局都经过精心设计，使得原本复杂的拓扑学概念在视觉上得到了极大的梳理和简化。作者在图示的绘制上更是下足了功夫，那些抽象的几何结构通过清晰、富有层次感的插图得以生动呈现，甚至连一些高维空间的映射图也处理得非常巧妙。对于初学者来说，这种细致入微的排版处理，极大地降低了阅读的门槛，让人在阅读过程中能更专注于数学思想本身，而不是被混乱的版式所困扰。整体来看，这本书在设计上的投入，已经超越了一本纯粹的学术教材的范畴，更像是一件值得收藏的艺术品。

评分☆☆☆☆☆