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出版者:华东师大

作者:赵跃生 编

出品人:

页数:236

译者:

出版时间:2007-8

价格:23.00元

装帧:

isbn号码:9787561755235

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《高等数学：微积分原理与应用》 导言：跨越微积分的基石 本书旨在为学习高等数学的学生提供一个全面、深入且富有洞察力的微积分学习指南。我们深知，微积分不仅仅是求解导数和积分的工具，更是理解变化、运动和累积过程的强大语言。因此，本书的编写严格遵循“原理先行，应用为辅”的教学理念，力求在严谨的数学逻辑与直观的几何、物理图像之间架起坚实的桥梁。我们不仅仅教授“如何做”，更致力于阐明“为何如此”以及“它意味着什么”。 全书内容覆盖了单变量微积分（极限、导数、积分）和多变量微积分的基础，并适当地引入了必要的分析思想，为后续的微分方程、复变函数或更深层次的分析学课程打下坚实的基础。我们力求在内容的选择和组织上，既满足传统工科、理科专业对微积分知识的普遍要求，又能在某些章节体现出更强的现代数学视角。 第一部分：单变量微积分——变化的艺术 第一章：极限与连续性——严谨性的起点 本章从最核心的概念——极限开始。我们首先回顾了直观上对极限的理解，随后引入 $epsilon-delta$ 语言，这是微积分严谨性的基石。我们花费了大量的篇幅来剖析极限的定义、性质及其证明方法。通过大量的例子，展示如何运用这些定义来严格证明函数在某点极限的存在性或不存在性。 紧接着，我们深入探讨了连续性。连续性不仅被定义为“不间断的画线”，更从拓扑的角度——即极限的传递性——进行了阐述。函数在区间上的连续性保证了诸如介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem）的成立。这些定理是后续微积分应用的基础，我们详细分析了它们的几何意义和理论价值。本章的难点在于对 $epsilon-delta$ 语言的灵活运用，我们提供了大量的变式练习，帮助读者建立起对极限严格性的信心。 第二章：导数——瞬时变化的度量 本章的核心是导数的概念。我们从平均变化率过渡到瞬时变化率，从而定义了导数。重点讨论了导数的几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时速率）。 在计算方面，我们系统地推导并应用了求导的基本法则：幂、积、商、链式法则。链式法则的理解被置于极高的地位，因为它是在处理复合函数时最常被误用的工具。我们特别关注了超越函数（指数、对数、三角函数及其反函数）的求导。 本章的后半部分关注导数的应用：相关变化率问题和隐函数求导法。我们强调了在解决实际问题时，建立数学模型（即找到变量之间的关系式）的重要性。 第三章：微分与导数的应用——洞察函数图像 本章将导数的概念升华为微分，并系统地将其应用于函数分析。 1. 微分的概念与近似： 我们区分了导数和微分，展示了 $dy approx f'(x)dx$ 作为线性近似的强大能力。这为牛顿法的引入提供了自然的过渡。 2. 中值定理： 罗尔定理、拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem）和柯西中值定理被视为微积分的灵魂。我们详细剖析了拉格朗日中值定理的直观意义——在某点存在与平均变化率相等的瞬时变化率。 3. 函数性态分析： 基于中值定理，我们推导出导数的一阶和二阶信息如何决定函数的单调性、凹凸性和拐点。这部分内容构成了函数图像绘制的完整框架。 4. 最优化问题： 包含了局部极值和全局极值的判定，这是解决工程和经济学优化问题的关键。我们强调了在闭区间上判断全局极值时，必须考虑端点值。 第四章：定积分与不定积分——累积的数学 本章引入了不定积分（反导数）和定积分的概念。 1. 不定积分： 系统总结了积分的基本公式和积分表。主要的精力放在积分技巧上，包括： 换元积分法（Substitution Rule）： 它是链式法则的逆运算，我们在介绍时强调了变量代换后积分区间（或微分 $dx$）的对应变化。 分部积分法（Integration by Parts）： 我们将其视为乘积法则的逆运算，并提供了选择 $u$ 和 $dv$ 的启发式指导（LIATE法则的局限性分析）。 有理函数积分： 重点介绍和推导了部分分式分解法，这是处理复杂有理函数积分的系统方法。 三角代换与三角恒等式： 用于处理含有根式的积分。 2. 定积分与微积分基本定理： 本章的重中之重是微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus, FTC）。我们分两部分详细阐述FTC，它将微分学和积分学这两个看似独立的领域完美地联系起来。通过黎曼和的严格定义，我们为定积分的计算提供了理论基础。 3. 定积分的应用： 涵盖了面积、体积（圆盘法、圆环法、切片法）、弧长和曲面面积的计算。在每种应用中，我们都强调了如何将物理实体分解为无穷小元素，然后通过积分进行累加的过程。 第二部分：超越基础——进阶技巧与分析视角 第五章：超越函数与反常积分 本章深化了对指数、对数和三角函数的理解，并引入了更广阔的积分视野。 1. 超越函数： 详细讨论了自然指数函数 $e^x$ 的定义、性质及其在微分方程中的核心作用。反三角函数的导数和积分也在此处得到系统处理。 2. 反常积分（Improper Integrals）： 将定积分的范围扩展到无限区间或函数在积分区间内存在不连续点的情况。我们严格定义了收敛与发散的概念，并介绍了比较判别法等判断工具。 第六章：序列与级数——无穷的求和 本章是通往数学分析的桥梁，关注无穷序列的极限和无穷级数的收敛性。 1. 序列： 讨论了序列的收敛性，以及一些特殊序列（如几何序列）的极限性质。 2. 级数： 系统地介绍了检验级数收敛性的各种工具，包括：比较检验、比值检验、根值检验和积分检验。对于幂级数，我们详细讨论了收敛半径和收敛区间的确定，这是泰勒级数应用的前提。 3. 泰勒与麦克劳林级数： 介绍如何利用已知的基本函数（如 $e^x, sin x, cos x$）的麦克劳林级数构造新函数的级数。重点在于理解泰勒定理的余项（拉格朗日余项或佩亚诺余项），用以评估近似的精度。 总结与展望 本书的结构旨在培养学习者严谨的逻辑思维能力和强大的问题解决能力。我们强调数学概念的精确定义、定理的严格证明以及计算技巧的熟练掌握。通过本书的学习，读者将不仅能够应对微积分的考试要求，更能为未来学习微分方程、线性代数或更高级的分析课程打下坚不可摧的知识基础。每一章的习题设计都力求覆盖从基础概念验证到复杂应用建模的各个层次，确保知识的内化与迁移。

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这本书的价值远超其作为一本“习题解答”的定位。它更像是一本深度的“应用导论”。在某些章节的末尾，作者会加入一些关于该知识点在工程、金融或者生物统计学等领域实际应用的简短案例分析。虽然这些分析篇幅不长，但它们起到了至关重要的作用——它们让我真切地感受到了“学以致用”的可能性。这种理论与实践的微小连接，极大地激发了我继续深入学习的动力，让我不再觉得统计学只是考试中的一堆公式符号。它成功地将一个看似纯理论的学科，展示出了它在现代科技和社会运作中的强大生命力，这对于保持学习热情是至关重要的助推力。

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相比起我之前读过的几本同类书籍，这本书在习题的选择和难度梯度控制上显得尤为精准和平衡。它收录的题目覆盖面极广，从基础概念的巩固，到对经典定理的直接应用，再到一些需要综合运用多个知识点才能解决的综合题，应有尽有。更难能可贵的是，它似乎有意避开了那些为了炫技而设计的、与实际应用脱节的怪题。每一个习题都像是对某个特定知识点的有效检验，既能考察理论的掌握程度，又能训练实际问题的建模能力。特别是那些稍有难度的题目，作者提供的解题思路不仅清晰，而且往往会展示出不止一种解法，这极大地拓宽了我的视野，让我学会了用更高效或更巧妙的方式去处理问题。

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这本书在内容组织上的逻辑性简直是教科书级别的典范。它不像某些参考书那样只是简单地堆砌题目和答案，而是构建了一个层层递进的学习路径。章节的划分非常科学，从最基础的概率公理化体系，逐步深入到常见的随机变量分布，再过渡到大数定律和中心极限定理的深度剖析。每一部分内容的衔接都像是精密齿轮的咬合，过渡自然流畅，让人能够清晰地追踪作者的思维脉络。当我遇到某个难点时，我能回溯到前一章的某个概念，发现它们之间早已埋下了伏笔，这种结构上的完整性极大地增强了我对整个学科体系的宏观把握能力，而不是仅仅停留在零散的知识点上。这种精心设计的结构，对于自学者来说，简直是如虎添翼。

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这本书的装帧设计确实非常用心，封面采用了磨砂质感的纸张，手感沉稳大气，黑白为主的色调中点缀着一抹深邃的蓝色，给人一种专业而又引人深思的感觉。内页的纸张选择也十分考究，触感细腻，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。更值得称赞的是排版，字体清晰易读，行间距和字距都把握得恰到好处，使得复杂的数学公式和密集的文字内容得以完美平衡，阅读起来毫不费力。尤其是那些关键的定理和推导步骤，都用加粗或斜体进行了明确的标记，这种细致的排版处理，极大地提升了学习效率。我个人非常看重书籍的物理质感，因为它直接影响了阅读的心情，而这本在“硬件”上的投入，无疑为知识的吸收打下了坚实的物质基础，让人愿意捧起它，沉浸其中。

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我发现这本书的讲解风格非常贴近初学者的困惑点，作者似乎完全理解我们这些“非数学专业”背景的人在学习初期会遇到的认知障碍。它的叙述语言不是那种高高在上、佶屈聱牙的学术腔调，而是充满了引导性和启发性。在解释一些抽象的概念，比如条件期望或者马尔可夫链时，作者会引用非常生活化、易于理解的例子来辅助说明，比如抛硬币、排队系统等，这使得原本冰冷的数学概念一下子变得鲜活起来。即便是那些需要大量代数技巧的证明过程，作者也并非直接跳跃到最终结论，而是会穿插一些“思考提示”或者“为什么这样做”的解释，帮助读者建立起解决问题的直觉，而非仅仅是机械地模仿步骤。

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概率与统计缪铨生

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