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出版者:大连理工大学出版社

作者:王艳芳

出品人:

页数:278

译者:

出版时间:2006-7

价格:12.0

装帧:平装

isbn号码:9787561132487

丛书系列:

图书标签:

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《几何空间与方程的交织：探索多维世界的奥秘》 本书并非一本枯燥的公式堆砌，而是邀您踏上一段充满发现与洞察的旅程，去理解那些隐藏在数字背后的几何本质与逻辑结构。我们将从最直观的二维空间出发，勾勒出点、线、面的关系，感受向量的平移与伸展，从而引出线性方程组的概念。您将看到，看似独立的方程，实际上是在描述空间中各个几何对象的交汇与碰撞。 第一章：向量的语言——空间的基石 我们首先会深入探讨向量这一基本工具。向量不仅仅是带有方向和大小的箭头，它们更是构建整个数学世界的砖石。我们将学习如何进行向量的加减运算，理解标量乘法对向量的缩放作用，以及向量点积所蕴含的几何意义——例如，如何判断两个向量是否垂直，或者其中一个向量在另一个向量上的投影长度。更进一步，我们将引入向量的线性组合，这是理解更高维度空间的基础。通过线性组合，我们可以表示出空间中的任何一个点，就像用不同的比例组合基础颜色来调出世间万物一样。 第二章：矩阵的魔力——变换的语言 有了向量的基石，我们便能理解矩阵这一强大的工具。矩阵不仅仅是一堆数字的排列，它们更是线性变换的载体。我们将学习如何进行矩阵的加法、减法以及乘法，并重点关注矩阵乘法在几何上的意义：它代表着对空间的线性变换，例如旋转、伸缩、剪切甚至反射。你将看到，一个简单的矩阵乘法，可以在几何空间中完成一次复杂的“变形”。我们还将探讨矩阵的转置、逆矩阵等重要概念，理解它们在解决线性问题中的关键作用。 第三章：线性方程组的解法——交点的探索 线性方程组是描述现实世界中许多现象的核心数学模型。想象一下，您正在尝试找出不同变量之间相互制约的精确数值，这便是解线性方程组的任务。本书将从几何角度揭示线性方程组的解的意义：方程组的解就是方程所代表的直线、平面或其他超曲面在空间中的交点。我们将系统地学习高斯消元法、高斯-若尔当消元法等求解线性方程组的经典方法，并深入理解每一步操作背后的几何含义。你将不再只是机械地执行算法，而是能够直观地理解为什么这些方法能够找到那个唯一的（或不存在的）交点。 第四章：向量空间与子空间——结构的洞察 当我们将视野从低维空间扩展到高维空间时，抽象的“向量空间”概念应运而生。本书将引导您理解向量空间的基本性质，例如加法和标量乘法的封闭性。我们将引入“基”和“维数”这两个核心概念，它们帮助我们精确地描述一个向量空间的“大小”和“独立性”。在此基础上，我们还将深入探讨“子空间”，理解它是向量空间中的一个“局部”结构，如何从中提取重要的信息。理解向量空间和子空间，将使您能够更抽象、更深刻地理解数学模型和算法的设计。 第五章：特征值与特征向量——内在的属性 在对向量空间进行线性变换时，总有一些特殊的向量，它们在变换后仅仅被拉伸或压缩，方向保持不变。这些向量被称为“特征向量”，它们被拉伸或压缩的比例就是对应的“特征值”。特征值和特征向量揭示了线性变换中最本质、最内在的属性。我们将学习如何计算矩阵的特征值和特征向量，并探讨它们在各种领域的应用，例如主成分分析（PCA）、量子力学以及图论等，理解它们如何帮助我们简化复杂问题，揭示数据的内在结构。 第六章：内积空间与正交性——距离与角度的延伸 除了向量的加减和伸缩，我们还常常需要衡量向量之间的“距离”和“角度”。本书将引入“内积”的概念，它是向量点积的推广，能够定义向量之间的距离和角度。我们将学习正交基的概念，理解为什么正交基在许多计算中具有极大的优势。正交投影、Gram-Schmidt正交化等方法，将帮助您在复杂的向量空间中找到简洁的坐标系，从而更有效地解决问题。 第七章：行列式——空间的度量 行列式是与方阵紧密相关的一个重要概念。它不仅仅是一个数字，更是衡量一个线性变换“缩放”空间体积的比例因子。当行列式为零时，意味着变换会将高维空间压缩到低维，例如将一个平面压缩成一条直线。我们将学习计算行列式的方法，并理解它在判断线性方程组是否有唯一解、求逆矩阵等方面的重要作用。 第八章：线性代数在不同领域的应用 在掌握了线性代数的工具与思想后，我们将一起探索它在计算机图形学、机器学习、数据科学、经济学、物理学等众多领域的实际应用。您将看到，线性代数并非孤立的数学分支，而是连接各个学科、解决实际问题的强大桥梁。 本书旨在通过清晰的讲解、丰富的例子以及直观的几何解释，帮助您建立对线性代数概念的深刻理解，而非仅仅记住公式。我们鼓励您主动思考，将抽象的数学语言转化为对几何世界和现实问题的洞察。通过学习本书，您将不仅仅是掌握一门数学工具，更是获得一种观察和分析世界的新视角。

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坦白说，我对许多数学参考书的编辑和校对工作往往持保留态度，总能挑出一些细微的错误或不一致的地方。但这本书的专业水准，让我感到非常踏实。我在翻阅过程中，尝试着去追溯一些比较复杂的推导过程，甚至在一些边缘地带进行了小小的“跳读”测试，结果发现作者在符号的使用上保持了惊人的一致性，这对于建立一个连贯的知识体系至关重要。更难能可贵的是，它的习题设计简直是教科书级别的典范。习题的难度梯度设计得极其科学合理，从最基础的运算巩固，到需要融会贯通才能解决的综合性大题，布局井然有序。而且，那些“挑战题”并非故作高深，而是巧妙地将前几章学到的概念进行了巧妙的交叉引用，迫使读者必须将知识点串联起来，形成一个完整的知识网络。对于想真正掌握这门学科精髓的人来说，这本书提供的不仅仅是学习材料，更是一套完整的、经过严格检验的知识训练体系。

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这本书最大的价值，我认为在于它成功地搭建了一座从“计算能力”通往“思维深度”的桥梁。很多教材侧重于让学生掌握计算技巧，即“如何做”，但这本书却花费了大量的篇幅来探讨“为什么是这样”，以及“它在更广阔的数学宇宙中处于什么位置”。例如，在讨论向量空间的时候，作者不仅仅停留在对基和维数的计算上，而是深入探讨了这些结构背后的几何直观和信息承载能力。这种对底层逻辑的强调，使得我对整个学科的理解提升到了一个全新的层次。我开始能够预判某些运算的结构特性，而不是仅仅依赖死记硬背的公式。可以说，这本书不仅教会了我如何解题，更重要的是，它培养了我用一种系统性的、结构化的眼光去看待数学问题的能力。这种思维模式的转变，对于未来在任何需要逻辑分析的领域，都将是受益无穷的宝贵财富，它带来的知识红利远超于考试本身的要求。

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这本书的排版和设计简直是一场视觉盛宴，拿到手的那一刻，我就被它那种沉稳又不失现代感的封面设计所吸引。内页的纸张质感非常出色，拿在手里有一种扎实的重量感，让人感觉这是一本经过精心打磨的诚意之作。更重要的是，它的章节划分逻辑清晰得令人赞叹，作者似乎完全洞悉了读者在学习数学过程中的痛点，总能在关键概念即将模糊不清时，精准地插入一个简明的图示或者对比表格。阅读体验流畅得像是在进行一次精心规划的知识漫步，而不是在啃一块难以下咽的硬骨头。我特别喜欢它在引入新概念时所采用的“由浅入深，层层递进”的叙事方式，它不是简单地罗列公式，而是通过巧妙的类比和生动的语境，让那些抽象的数学符号仿佛拥有了生命，读者能够轻易地捕捉到其背后的深层含义。这种细腻的处理，使得即便是初次接触高等数学的读者，也能在一种相对轻松愉悦的氛围中，建立起对这门学科坚实的基础认知。这本书的细节处理，充分体现了出版方对知识传播质量的极致追求，让人爱不释手。

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我必须称赞一下这本书在语言风格上的亲和力，这对我这种非数学专业背景的自学者来说，简直是雪中送炭。作者的文字不像那种高高在上的学术腔调，读起来没有丝毫的压迫感。它更像是一位经验丰富、耐心十足的导师，用非常口语化但绝不失严谨的语言，在你身边细致地为你拆解每一个难点。比如，在解释矩阵的特征值和特征向量时，它没有直接跳入特征方程，而是先用一个非常生动的比喻来描述“不变的方向”这一概念，让听觉和视觉的感知先于抽象的代数运算建立起来。这种教学语言的“温度感”，使得学习过程中的挫败感被大大降低。每当遇到一个卡壳的地方，翻过一页，作者往往能用一句精辟的总结或一个巧妙的提示帮你豁然开朗。这本书真正做到了“润物细无声”的教学艺术，让读者在不知不觉中，不知不觉地攻克了那些曾经的知识堡垒。

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这本书的作者似乎有一种天赋，能够将那些令人望而生畏的抽象定理，转化为可以触摸、可以理解的具象模型。我过去在别的教材里经常遇到的问题是，书上给出了一个定理，然后紧接着就是一长串的证明，看得人云里雾里，完全不知道这个证明的意义何在。然而，在这本书里，作者会先用一个非常贴近实际生活或工程领域的例子来铺垫，比如讨论信号处理中的某种变换，或者优化问题中的决策空间，让读者先在“为什么需要它”这个问题上建立起强烈的求知欲。随后，当证明出现时，它不再是孤立的逻辑推导，而是自然而然地导向那个实际问题的解决方案，每一个步骤都像是解开一个谜题的关键线索。这种“问题导向型”的讲解方式，极大地激发了我的学习主动性。我不再是被动地接受知识，而是主动地去探究，去验证作者的思路是否严谨。这种学习的乐趣，是其他纯理论书籍难以给予的，它真正做到了将理论与应用紧密地结合，让学习过程充满了探索的兴奋感。

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