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出版者:高等教育出版社

作者:胡适耕

出品人:

页数:201

译者:

出版时间:2007-1

价格:18.00元

装帧:

isbn号码:9787040102956

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《现代数学概览》 本书旨在为广大数学爱好者、高等院校师生及科研人员提供一个全面而深入的现代数学知识体系概览。内容涵盖了数学的各个核心分支，力求展现数学思想的演进脉络、重要理论的精髓以及它们在其他学科中的应用。 第一部分：代数结构与抽象 本部分将从基础的集合论出发，逐步引入群、环、域等代数结构。我们将探讨这些抽象结构的性质，如对称性、可逆性、理想等，并介绍它们的分类与表示。通过对这些抽象概念的理解，读者将能体会到数学的普遍性和简洁性，为后续学习奠定坚实的基础。我们将重点介绍有限群的结构理论，以及在数论和密码学中的重要应用。同时，也将触及更广泛的代数领域，如模论、表示论等。 第二部分：拓扑空间与连续性 这一部分将深入研究拓扑学的基本概念，包括开集、闭集、邻域、连续映射等。我们将探讨度量空间与一般拓扑空间的区别与联系，并引入重要的拓扑不变量，如连通性、紧致性等。读者将学习如何描述空间的“形状”和“连接性”，即使这些空间无法用简单的几何语言来表达。我们将重点讲解紧致空间的性质及其在分析中的作用，并介绍一些重要的拓扑空间，如流形。 第三部分：微分几何与曲面理论 本部分将引导读者进入微分几何的奇妙世界。从欧几里得空间中的曲线和曲面出发，我们将引入法向量、曲率、测地线等概念，用微积分的工具来描述空间的几何性质。我们将探讨高斯曲率、平均曲率等内在几何量，并介绍高斯绝妙定理及其深刻含义。之后，我们将过渡到黎曼流形，介绍度量张量、联络、曲率张量等概念，为理解广义相对论等现代物理理论打下基础。 第四部分：概率论与随机过程 概率论是研究随机现象的数学工具。本部分将从概率空间、随机变量、概率分布等基本概念入手，介绍独立性、期望、方差等核心概念。我们将深入探讨常见的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。随后，我们将介绍随机过程，如马尔可夫链、泊松过程、布朗运动等，并探讨它们在金融、工程、生命科学等领域的应用。我们将重点介绍中心极限定理及其在统计推断中的重要性。 第五部分：数论初步 数论是研究整数性质的古老而迷人的学科。本部分将从整除性、同余、素数等基本概念出发，介绍欧几里得算法、中国剩余定理等经典结果。我们将探讨一些重要的数论函数，如欧拉函数、莫比乌斯函数，并介绍二次互反律等重要的数论定理。最后，我们将简要介绍代数数论的一些初步思想，为进一步深入学习提供方向。 第六部分：组合数学与图论 组合数学研究离散对象的计数和结构。本部分将介绍排列、组合、二项式定理等基本计数原理。我们将探讨生成函数、递推关系等解决复杂计数问题的工具。图论是组合数学的一个重要分支，我们将介绍图、顶点、边、路径、连通性等基本概念，并探讨一些重要的图算法，如最短路径算法、最小生成树算法。我们将介绍欧拉图、哈密顿图、二分图等特殊类型的图，并探讨它们在网络、数据结构等领域的应用。 第七部分：数学模型与应用 本部分将展示数学思想如何在实际问题中得到应用。我们将介绍如何将现实世界的问题抽象成数学模型，并通过数学工具来求解和分析。内容将涉及一些应用领域，如： 数学建模基础： 介绍建立模型的基本原则和常用方法，如离散模型、连续模型、统计模型等。 微分方程在动力学中的应用： 讲解如何利用常微分方程和偏微分方程描述物理、化学、生物等系统的演化过程，例如牛顿第二定律、热传导方程、种群增长模型等。 线性代数在数据分析与机器学习中的应用： 介绍向量空间、矩阵运算、特征值分解等概念，以及它们在图像处理、推荐系统、数据降维等领域的应用。 优化理论与算法： 探讨如何寻找最优解，介绍线性规划、非线性规划等基本优化问题，以及相关的算法。 计算数学基础： 简要介绍数值分析的基本思想，如误差分析、插值、逼近、数值积分、数值微分等，以及它们在科学计算中的作用。 本书力求用清晰的语言、严谨的论证和丰富的示例，帮助读者建立对现代数学的整体认识。我们相信，通过阅读本书，读者不仅能够掌握数学的基本理论和方法，更能体会到数学作为一种思维方式的魅力，激发对数学更深层次的探索欲望。本书适合作为高等院校数学、物理、工程、计算机科学等专业本科生和研究生的参考书，也适合所有对数学感兴趣的读者。

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坦率地说，我一开始对阅读一本厚重的学术著作抱有深深的**抵触情绪**，总觉得会陷入无休止的符号和证明的泥潭里无法自拔。然而，这本教材在**排版和视觉设计**上给了我一个极大的惊喜。字体选择清晰有力，间距处理得当，重点概念和关键词都有着恰到好处的强调，使得长时间阅读的疲劳感大大减轻。更重要的是，作者在关键的定理阐述之后，总是会提供一个“应用场景速览”，用非常精炼的语言描述该定理在物理学、工程学或其他数学分支中的实际效用，这极大地激发了我继续钻研下去的动力。它成功地消除了工具性数学的刻板印象，让我看到了它作为一种**强大思维工具**的魅力。对于那些希望在繁忙的工作之余，重新拾起对纯粹数学的热情的人来说，这本书的阅读体验绝对是**愉悦且高效**的。

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我简直不敢相信，市面上竟有如此**大胆且富有洞察力**的数学著作。这本书的视角非常独特，它没有拘泥于传统教科书中对某一特定领域的机械性阐述，而是以一种近乎**哲学的思辨**高度来审视整个学科的内在联系。作者似乎对数学史有着深刻的理解，经常在脚注或者正文的侧边栏中穿插一些关于某个概念“诞生记”的精彩故事，这些小插曲极大地丰富了阅读体验，让人感受到数学并非是一成不变的教条，而是人类智慧不断碰撞、迭代的鲜活过程。特别是关于算子理论的那几章，它没有止步于展示如何计算，而是深入探讨了谱理论背后的美学追求——那种对“最佳近似”和“不变性”的终极向往。这本书的语言风格可以说是**雄辩而富有感染力**，读起来仿佛不是在啃教材，而是在参与一场高层次的智力辩论。它要求读者投入极高的专注度，但回报是——你对学科的理解会上升到一个全新的维度。

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这本书最让我感到**震撼**的地方，在于它对“反例”和“边界情况”的重视程度。很多教材为了追求论证的简洁性，常常会略过那些“不完美”的角落，只展示那些完美收敛、结构清晰的理想情况。但这本书却反其道而行之，花了大量篇幅去探讨那些“为什么不行”的问题，剖析那些看似微小的条件变化如何能瞬间摧毁一个漂亮的结果。这种严谨到近乎偏执的态度，培养了一种非常宝贵的**批判性思维**。我记得有一个关于拓扑向量空间的小节，仅仅是改变了一个“局部凸性”的假设，整个理论框架就发生了翻天覆地的变化，作者对此的对比分析极其到位。这教会了我，在数学乃至科学研究中，理解局限性，比单纯掌握结论更为重要。它让我从一个只会应用公式的学生，开始向一个懂得质疑和探索边界的研究者转变。

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我必须承认，这本书的**难度曲线相当陡峭**，它绝不是一本可以轻松翻阅的消遣读物。它要求读者必须对预备知识（比如实分析、线性代数的高阶部分）有非常扎实的掌握，否则前几章就会读得异常吃力。但一旦跨越了最初的门槛，你会发现它展现出的**内在逻辑的完美闭环**是无与伦比的。作者没有试图“简化”复杂性，而是选择直面复杂性，然后用最清晰的逻辑链条将其梳理开来。书中对泛函空间结构的分解与重构，尤其是涉及Lp空间和Sobolev空间的部分，处理得极为细致入微，每一个证明步骤的动机都被交代得清清楚楚，很少有需要读者自行“脑补”跳跃的地方。对于那些已经有一定数学基础，并渴望进入专业研究领域的人来说，这本书无疑是**一座不可逾越的里程碑**，是通往更深层次数学世界的必备钥匙。

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这套教材的编排实在是太**精致**了，每个章节的逻辑衔接都如同丝绸般顺滑，从最基础的概念引入，到深入探讨那些看似高深的定理，作者的叙述方式总是能恰到好处地把握住读者的认知节奏。我尤其欣赏它在引入新的数学工具时，总是会先给出其背后的**直觉**和**几何意义**，而不是干巴巴地抛出冰冷的定义。记得在讲到紧凑性的时候，书里配有的那些巧妙的图示，一下子就把抽象的空间拓扑概念具象化了，让我这个初学者也茅塞顿开。它不是那种只会堆砌公式的参考书，更像是一位耐心的老师，在你快要迷失在无穷维空间的迷雾中时，及时递来一盏指路的明灯。书中的例题设计也非常用心，既有夯实的计算基础训练，又不乏能引发思考的开放性问题，真正做到了理论与实践的完美统一。读完某一章节，你会有一种踏实感，仿佛自己真的“掌握”了这部分的知识，而不是仅仅“看过了”。

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非线性写的太烂了

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古典分析：如果某个量难以被直接了解，那么就将它放在某个变化过程中考虑，然后通过该过程的考察获得所要求的的量的知识。变量，函数，极限，连续及其演绎出的微分和积分

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非线性写的太烂了

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非线性写的太烂了

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第一节就把我吸引住了！再继续读下去，果然泛函还是很难啊~