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出版者:科学分社

作者:闫理坦，鲁立刚，许志强

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:2005-2

价格:38.00元

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isbn号码:9787030149428

丛书系列:

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《数学世界的奇妙探索：从经典到前沿》 本书是一场宏大的数学思想之旅，它将带领读者穿越数学的浩瀚星河，从那些奠定现代科学基石的经典理论，一路探索至那些正在重塑我们认知边界的前沿领域。我们摒弃了枯燥的公式堆砌，转而聚焦于数学思想的演进脉络、核心概念的内在逻辑以及它们在解决实际问题中所展现出的强大生命力。 第一部分：思维的基石——经典理论的魅力 在这里，我们将一同回顾数学发展史上那些璀璨的明珠。 代数的优雅与力量： 我们将深入剖析代数的基本原理，不仅仅是学习方程的求解，更要理解代数的抽象化能力如何将现实世界的数量关系提炼成简洁而强大的符号语言。从古老的算术方程，到近代的群论、环论和域论，我们将看到代数如何从描述具体数量延伸至研究数学结构本身。我们会探讨著名的“三次方程求根公式”的发现历程，感受数学家们在探索未知时的智慧与毅力；也会触及抽象代数中“群”的概念，理解它如何统一描述对称性等广泛存在的数学性质，并引申至密码学、化学等领域的应用。本部分旨在让读者领略代数作为一种思维工具的普遍性和深刻性，体会数学抽象化过程中的逻辑美感。 几何的视觉盛宴： 几何学是数学最直观的分支之一。我们将从欧几里得的《几何原本》出发，领略公理化体系的严谨与精妙。但我们的探索不止于此。我们将跨越到非欧几何的世界，理解不同几何公理如何导向完全不同的空间形态，以及这对我们理解宇宙的结构有何启示。我们将探讨微分几何，学习如何用微积分的工具来研究曲线和曲面的性质，这将为理解相对论等现代物理理论打下基础。从二维的平面图形，到三维的立体空间，再到更高维度的几何概念，我们将通过直观的例子和历史故事，展现几何学在艺术、工程、物理等领域的广泛应用，以及它如何拓展我们对空间和形状的认知。 分析的严谨与无限： 微积分的诞生是数学史上一次伟大的革命。我们不会仅仅停留在求导和积分的计算技巧上，而是深入探究极限、连续性、收敛性等核心概念的哲学内涵。我们将追溯牛顿和莱布尼茨的贡献，理解他们如何捕捉“变化”这一核心概念，并将其转化为数学语言。我们将探讨级数，理解无限求和的奥秘，以及它在逼近复杂函数、解决微分方程等问题中的重要作用。本部分还将涉及复变函数理论，揭示复数世界中函数性质的奇妙与深刻，以及它在流体力学、电磁学等领域的强大应用。我们将强调分析学对精确性、 rigor 的追求，以及它如何成为现代科学和工程学的支柱。 第二部分：思维的飞跃——现代数学的视野 在打下坚实的理论基础后，我们将把目光投向更加广阔和前沿的数学天地。 概率的随机性与预测： 随机性是自然界普遍存在的现象。概率论正是研究这种不确定性的科学。我们将从基础的概率计算出发，深入理解随机变量、概率分布、期望和方差等核心概念。我们将探讨大数定律和中心极限定理，理解统计的规律如何从海量随机事件中涌现。本部分还将涉及随机过程，例如马尔可夫链，它们能够描述随时间演变的随机系统，并在金融建模、生物统计、排队理论等领域发挥着不可替代的作用。我们将通过生动的例子，展示概率论如何帮助我们量化风险、做出更明智的决策，并从看似混乱的现象中发现规律。 数理逻辑的精确表达： 数理逻辑是数学的语言和工具，它为数学提供了严谨的推理框架。我们将学习命题逻辑和谓词逻辑的基本概念，理解如何用精确的符号来表达数学陈述，并运用推理规则来验证数学证明的正确性。本部分还将探讨集合论，这是现代数学的基石，以及它在描述和构造数学对象时所扮演的角色。我们将了解哥德尔不完备定理，它深刻地揭示了形式化系统的内在局限性，并引发了对数学本质的哲学思考。理解数理逻辑，有助于我们培养批判性思维，提升分析问题的能力，并为深入理解计算机科学等领域奠定基础。 离散数学的结构之美： 许多实际问题并非连续的，而是由离散的元素构成。离散数学正是研究这些问题的数学工具。我们将深入图论，理解顶点、边以及它们之间关系的表示，以及在网络分析、交通规划、社交媒体分析等领域的广泛应用。我们将探讨组合学，学习如何计数、排列和组合，这在算法设计、统计推断等方面至关重要。我们还将触及有限状态机、自动机理论等概念，它们是理解计算和信息处理的基础。离散数学的美在于其清晰的结构和强大的应用能力，它让我们能够分析和解决计算机科学、工程学、运筹学等领域的众多问题。 计算数学的模拟与优化： 随着计算能力的飞跃，计算数学成为了连接理论与实践的桥梁。我们不再满足于抽象的解析解，而是学会如何利用计算机来近似求解复杂问题。本部分将介绍数值分析的基本方法，例如插值、逼近、数值积分和数值微分，以及它们在工程模拟、数据科学等领域的应用。我们将探讨最优化理论，学习如何寻找函数的最优值，这在机器学习、经济学、工程设计等领域具有至关重要的意义。我们将讨论数值线性代数，理解如何高效地处理大型矩阵运算，这是许多科学计算的基础。计算数学让我们能够模拟现实世界的复杂系统，并为工程设计和科学研究提供强大的支持。 前沿的视野——数学的未来图景： 最后，我们将简要展望一些数学领域正在蓬勃发展的方向。这包括但不限于： 代数几何： 将代数的方法应用于研究几何问题，是现代数学中一个非常活跃的领域。 拓扑学： 研究在连续形变下保持不变的几何性质，它在凝聚态物理、高维数据分析等方面有重要应用。 动力系统： 研究随时间演变的数学模型，例如天气预报、人口增长等。 组合优化： 在离散结构中寻找最优解，在物流、调度等领域有广泛应用。 数学物理： 探索数学在描述物理现象中的深刻联系，例如量子场论、弦理论等。 本书的特点： 思想驱动： 我们强调的是数学思想的形成、演变和应用，而非死记硬背公式。 历史脉络： 通过梳理数学概念的发展历史，帮助读者理解其产生的背景和逻辑。 应用导向： 广泛介绍数学理论在科学、技术、经济、社会等领域的实际应用，展现数学的价值。 逻辑清晰： 即使涉及复杂概念，也会力求语言通俗易懂，逻辑链条清晰。 启发思考： 鼓励读者主动思考，培养独立解决问题的能力，并对数学产生浓厚的兴趣。 《数学世界的奇妙探索：从经典到前沿》是一本面向所有对数学充满好奇的读者的书籍。无论您是初学者，希望对数学有一个整体的认识；还是已有一定基础，希望拓展知识的广度与深度；亦或是对数学的思想性与应用性感兴趣的专业人士，本书都将是您探索数学奥秘的理想伴侣。我们希望通过这本书，让您感受到数学的逻辑之美、抽象之深邃以及应用之广泛，从而点燃您对数学世界的无限热情。

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我是在准备参加一次定量分析面试时偶然翻阅这本书的。最初的期望是快速复习一些核心概念，但很快我就被它对随机积分定义严格性的论证过程所吸引。这本书在处理随机积分的收敛性问题时，展现出令人叹服的细致和严谨。作者没有满足于常见的简单例子，而是深入探讨了当被积函数具有某些不连续性或边界行为时的积分极限的性质。这种对细节的极致追求，使得我对随机积分的理解从“会用”提升到了“深知其所以然”的层次。它帮助我理解了在金融建模中，对模型假设的任何微小偏离都可能如何导致结果的巨大差异。这本书的缺点（如果一定要说的话）可能在于，对于那些只追求“会做题”的读者来说，它提供的理论深度可能显得有些过剩，但对于真正想掌握这门学科精髓的人来说，这种深度恰恰是其价值所在。它不仅仅是一本教材，更是一本关于如何进行严谨数学思考的指南。

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我是在一个研究非线性动力学系统的背景下接触到这本书的。坦率地说，我对偏微分方程和泛函分析的接触远多于概率论，所以一开始我对随机性在确定性系统中的作用感到有些困惑。然而，这本书的处理方式非常独特，它没有将随机性视为一个孤立的领域，而是巧妙地将其融入到更宏大的分析框架之中。我特别欣赏它对路径空间和测度论的介绍，这些内容在很多传统的随机分析教材中往往被一带而过，但在这里，它们被赋予了足够的篇幅，使得读者能够真正理解为什么随机积分的定义必须如此“反直觉”。作者在讨论不等式时，也着重强调了它们在边界控制和最优停止问题中的应用，这对我理解如何用随机方法去处理实际工程中的不确定性问题提供了极大的帮助。这本书的深度和广度都令人印象深刻，它成功地架起了纯数学理论与应用科学之间的桥梁，绝对是值得反复研读的经典之作。

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这本书简直是数学爱好者的福音！我一直对随机过程和概率论领域抱有浓厚的兴趣，但总觉得那些教科书要么过于理论化，要么实例过于简化，无法真正建立起直观的理解。这本书恰好填补了这个空白。它以一种非常平易近人的方式，将那些看似高深的随机积分概念娓娓道来，从布朗运动的基础讲起，逐步过渡到伊藤积分的构建过程，每一步的逻辑推导都清晰可见，几乎不需要读者费太大力气去“脑补”。尤其是作者在讲解随机微分方程（SDEs）的解的存在性和唯一性时，引入的那些巧妙的例子，让我对现代金融数学中那些波动性模型的理解豁然开朗。这本书的排版也非常舒服，公式的推导详略得当，不会让人感到信息过载，读起来是一种享受，而不是折磨。对于那些希望从扎实的概率论基础出发，深入探索现代随机分析世界的读者来说，这本书绝对是案头必备的良器。它不仅是知识的传递，更是一种思维方式的启蒙。

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这本书的阅读体验，就像是参加了一场由世界顶级数学家主持的、私人性质的学术研讨会。作者的语言风格非常个人化，充满了对数学之美的洞察和表达。他似乎在与读者进行一场心有灵犀的对话，时常会插入一些富有哲理性的评论，将冰冷的数学符号赋予了生动的生命力。比如，他对“过滤”的解释，不仅仅是关于信息流的数学描述，更上升到了信息获取的本质限制。虽然这本书的数学难度不低，需要一定的微积分和基础概率知识铺垫，但作者的讲解节奏把握得非常好，总能在关键时刻给出直观的几何或物理类比，避免了读者陷入纯符号的泥沼。我尤其喜欢其中几章对随机控制的初步探讨，那部分内容简直是天才之笔，将抽象的随机优化问题转化为具体的决策路径。这本书无疑是一部需要耐心品味的力作，它奖励那些愿意投入时间的读者。

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说实话，我原本是冲着书名里的“不等式”三个字来的，希望能找到一些关于测度论不等式或谱不等式的最新进展，结果发现这本书的侧重点明显更偏向于随机分析的数学基础构建。虽然我对书中所涉及的鞅论和随机积分概念并不陌生，但这本书在阐述这些概念的动机时，显得尤为深刻。它不是简单地告诉你“应该这么定义”，而是深入剖析了为什么其他更直观的定义在数学上会失效。这种“溯本求源”的写作风格，让我对随机微积分的严谨性有了更深的敬畏。不过，我也注意到，对于一些高级的随机不等式（比如关于极大值函数的界限），这本书的讨论相对简略，似乎更倾向于在概率论的经典框架内打好地基。总的来说，如果你的目标是建立坚实的随机分析理论基础，这本书无可挑剔；但如果是寻求特定高级不等式的最新研究进展，可能还需要查阅更专业的文献。

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