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出版者:Elsevier Science Pub Co

作者:Ciarlet, Philippe G.; Lions, J. L.; Ciarlet, P. G.

出品人:

页数:700

译者:

出版时间:1998-10-01

价格:USD 186.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780444825698

丛书系列:

图书标签:

• 数理
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数值分析手册（Handbook of Numerical Analysis）—— 探索计算世界的边界 《数值分析手册》（Handbook of Numerical Analysis）是一部旨在深度剖析和系统梳理现代数值分析理论、方法与应用的研究性著作。它不仅是一本工具书，更是一扇通往计算科学核心的窗口，引领读者穿越错综复杂的数学模型，抵达解决实际问题的彼岸。本书涵盖了从基础概念到前沿进展的广泛主题，致力于为研究人员、工程师、数据科学家以及所有对计算科学怀有浓厚兴趣的学习者提供一本权威、详实且实用的参考指南。 本书的核心关注点在于，如何通过构造和分析有效的数值算法，来近似求解那些解析方法难以或者根本无法解决的数学问题。这些问题广泛存在于科学、工程、经济、金融、以及社会科学的各个领域。例如，在物理学中，我们需要数值方法来模拟流体动力学、量子力学；在工程学中，结构分析、信号处理、控制系统设计都离不开数值计算；在金融领域，风险评估、衍生品定价、资产组合优化都依赖于复杂的数值模型；在机器学习领域，优化算法、数值积分、降维技术更是基石。 《数值分析手册》以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，详细介绍了数值分析的关键组成部分。首先，误差分析是本书的出发点和贯穿始终的线索。书中深入探讨了数值计算中不可避免的误差来源，包括截断误差（由数学模型的近似引起）和舍入误差（由计算机有限精度引起），并详细阐述了如何量化、控制和减小这些误差。例如，在差分方程的求解中，误差的累积和传播会严重影响结果的准确性，本书将系统地分析这些误差的影响，并提供相应的误差界限和估计方法。 接着，本书将重点放在求解线性方程组。这是许多数值计算问题的核心步骤。书中详尽介绍了直接法，如高斯消元法、LU分解、Cholesky分解，以及它们的改进形式和在大型稀疏系统中的应用。同时，对迭代法进行了深入的阐述，包括雅可比法、高斯-赛德尔法、SOR法以及共轭梯度法等。书中不仅解释了这些算法的原理，还分析了它们的收敛性、稳定性和计算复杂度，并提供了在不同矩阵结构下选择合适算法的指导。 非线性方程的求解也是本书的重要章节。针对单方程和多方程系统，本书介绍了诸如二分法、不动点迭代法、牛顿法及其变种（如割线法、修正牛顿法）。特别地，牛顿法因其快速的二次收敛性而备受关注，书中将详细分析其收敛条件、雅可比矩阵的计算与更新策略，以及在实际应用中可能遇到的问题，如局部收敛性和奇异性。 插值与逼近是数值分析中另一核心内容，其目的是找到一个简单的函数（如多项式、样条函数）来近似一个给定的函数或数据点集。本书详细介绍了多项式插值（如拉格朗日插值、牛顿插值），并深入讨论了其可能出现的龙格现象。为了克服多项式插值的局限性，本书重点介绍了样条插值，特别是三次样条插值，分析了其分段光滑性和全局连续性带来的优势，以及在曲线拟合和数据平滑中的广泛应用。此外，还涉及了最佳逼近理论，如最小二乘逼近，这在数据分析和模型拟合中至关重要。 数值微分与积分是本书的另一大块内容。数值微分涉及通过离散数据点来估计导数，书中介绍了前向差分、后向差分、中心差分等基本方法，并讨论了高阶差分格式以提高精度。对于数值积分，本书系统地介绍了牛顿-柯特斯公式（如梯形法则、辛普森法则），以及更高效的高斯积分方法。这些方法在计算定积分、曲线下面积、以及作为更复杂数值积分算法（如自适应积分）的基础方面发挥着关键作用。 特征值问题，即求解矩阵的特征值和特征向量，在许多科学和工程领域有着至关重要的应用，例如振动分析、量子力学、主成分分析等。本书详细介绍了求解对称矩阵和非对称矩阵特征值问题的各种算法，包括幂法、反幂法、QR算法、雅可比方法以及Lanczos算法和Arnoldi算法等。本书将深入分析这些算法的收敛性、稳定性和计算效率，并为求解大型稀疏特征值问题提供有效的策略。 常微分方程（ODE）的数值解是本书的另一重要领域。书中详细介绍了各种求解初值问题和边值问题的数值方法。对于初值问题，从简单的欧拉法开始，逐步介绍显式和隐式欧拉法、梯形法、龙格-库塔法（RK4等），并深入分析它们的方法和收敛阶。对于边值问题，本书介绍了打靶法和有限差分法。这些方法是模拟动态系统、天气预报、电路仿真等应用的基础。 偏微分方程（PDE）的数值解是现代科学计算中最为活跃和具有挑战性的领域之一。本书将系统地介绍几种主要的数值方法，包括： 有限差分法 (Finite Difference Method, FDM)：针对网格化的区域，将偏微分方程的微分算子用差分近似代替，转化为代数方程组求解。书中会详细介绍各种差分格式（如前向差分、中心差分），以及它们在抛物型、椭圆型和双曲型PDE上的应用，并讨论其稳定性和收敛性。 有限元法 (Finite Element Method, FEM)：这是一种在工程领域广泛应用的强大方法，特别适合处理复杂几何形状和非均匀材料的PDE问题。本书将介绍FEM的基本思想，包括弱形式的建立、基函数的选取、单元划分、刚度矩阵的组装以及线性系统的求解。涵盖了从一维到高维的FEM应用。 有限体积法 (Finite Volume Method, FVM)：尤其适用于处理守恒律方程，如流体力学中的Navier-Stokes方程。书中会介绍FVM的原理，即对方程进行积分，并在控制体内求解，强调其在处理激波和不连续解方面的优势。 此外，《数值分析手册》还将触及一些更高级的主题，包括： 优化理论与算法：包括无约束和有约束优化问题，梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、序列二次规划法等。 蒙特卡洛方法：利用随机抽样来近似计算复杂积分、模拟随机过程，及其在金融、统计物理和机器学习中的应用。 矩阵分解与预条件子：在求解大规模线性系统时，高效的矩阵分解（如ILU分解）和预条件子技术对于加速迭代方法的收敛至关重要。 数据拟合与回归分析：利用数值方法从观测数据中提取有用的信息，构建模型。 数值不确定性量化 (UQ)：评估模型输入不确定性对模型输出的影响，以及如何进行可靠的数值模拟。 本书在每一章节中，都力求在理论推导和实际应用之间取得平衡。每个算法的介绍都伴随着详细的数学证明，论证其有效性和收敛性。同时，书中将穿插大量的示例，展示这些算法如何在实际问题中得到应用，并提供伪代码或Python、MATLAB等常用科学计算语言的代码片段，方便读者理解和实现。 《数值分析手册》的目标不仅仅是传授知识，更是培养读者解决问题的能力。它鼓励读者深入思考算法背后的数学原理，理解不同方法的优缺点，并根据具体问题的特点选择最合适的数值技术。通过本书的学习，读者将能够： 深刻理解数值计算的局限性，并学会如何量化和管理误差。 掌握各种求解代数方程组、常微分方程和偏微分方程的数值方法。 理解插值、逼近、微分和积分等基本概念在数值计算中的作用。 熟悉特征值问题和优化问题的重要性及其数值求解方法。 培养分析和设计数值算法的能力，以解决科学和工程中的复杂问题。 无论您是初涉数值分析的研究生，还是在工作中需要依赖数值计算的工程师，亦或是希望深入理解数据科学背后数学原理的从业者，《数值分析手册》都将是您不可或缺的宝贵资源。它将为您揭示计算科学的强大力量，并帮助您在探索未知世界的道路上，掌握强大的计算工具。

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这本书的“实战”价值远超我的预期。我原本以为它会是一本偏向纯理论的著作，充斥着抽象的符号和高深的拓扑概念，但实际情况是，它非常注重将理论与具体的计算实现联系起来。在介绍完傅里叶变换的数值近似方法后，紧接着就给出了用C++或MATLAB实现快速算法的伪代码，并且详细讨论了向量化操作的效率考量。这种“理论+代码实现细节”的结合，极大地缩短了知识从书本到实际应用之间的鸿沟。我尝试着根据书中的指导，复现了其中一个关于有限元方法的算例，书中的步骤描述得极为细致，从网格划分的策略到边界条件的施加，每一步的逻辑都是清晰可循的。更难能可贵的是，它并没有局限于介绍“主流”算法，还涉及了一些前沿且小众的、但在特定领域表现优异的方法，比如在处理病态问题时的预处理技术。阅读过程中，我时常能体会到作者作为一线研究者的洞察力，他知道我们这些使用者在实际操作中会遇到哪些“坑”，并提前给予了预防性的指导。

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如果要用一个词来形容这本书带给我的感受，那就是“全面而深刻的权威性”。它的参考书目部分本身就是一份精美的学术地图，列举了该领域内所有奠基性的文献和最新的突破性成果。我发现，这本书巧妙地平衡了理论的严谨性和对新技术的包容性。比如，它在详述经典的迭代法（如共轭梯度法）的同时，也专门开辟了章节来探讨如何将深度学习的某些机制融入到传统的数值求解框架中，探讨了如何利用神经网络来逼近难以解析的解或加速收敛过程。这种对前沿动态的把握，使得这本书即便在快速迭代的科学计算领域，依然保持着极强的时效性。此外，对于那些在学习过程中遇到困难的读者，书中提供的习题设计得极具启发性，它们往往不是简单地让你代入数字，而是要求你对算法的局限性进行批判性思考，甚至是尝试改进现有算法。这本书绝对是任何从事高级科学计算、工程模拟或机器学习算法开发人员的案头必备，它提供的是一个可以信赖的知识体系，而不是一堆零散的技巧集合。

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这本书的写作风格是那种非常克制、但又充满智慧的“老派”学术风格。语言精准，绝不拖泥带水，每一个句子似乎都经过了反复的锤炼。我最喜欢它在讨论不同数值方法之间的“哲学”差异时所展现出的洞察力。例如，它对比了基于梯度的优化方法和基于矩阵分解的直接求解方法的适用场景，不仅仅是从计算复杂度的角度，更是从问题本身的内在结构出发进行了深刻的剖析。这让我意识到，数值分析远不只是套用公式，它更像是一种艺术，需要在特定问题的约束下，选择最“优雅”也最“高效”的艺术表现形式。书中穿插了一些历史典故和重要研究人物的贡献简述，虽然篇幅不大，但却极大地丰富了阅读体验，让冰冷的数学概念有了一些人情味和历史的厚重感。读完某个章节，我总有一种“原来如此”的豁然开朗感，这种感觉是其他许多只能提供表面解释的参考书所无法比拟的。它教会我的不仅仅是“怎么做”，更是“为什么这样做会更好”。

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说实话，当我开始阅读这本书的第一个核心章节时，我感到了一种知识的“密度”。这种密度可不是指枯燥乏味，而是指信息量之大，需要我频繁地停下来，不仅仅是理解文字描述，更重要的是要跟着作者的思路，在草稿纸上重新演算一遍那些关键的推导过程。这本书的叙事方式非常独特，它不像传统的教材那样采用“定义-定理-例题”的僵硬结构，而是更多地采用一种“问题驱动”的叙事模式。作者似乎总是在提出一个现实中遇到的数学难题，然后层层剥茧，引导我们探索目前所有已知的、最有效的数值方法来解决它。我特别欣赏作者在讨论每种算法收敛性和稳定性的部分所花费的笔墨。很多其他书籍只是简单地给出结论，但这本则深入剖析了误差是如何产生的，以及在不同计算精度下，算法性能的变化趋势，这对于实际应用中的软件开发至关重要，因为你知道什么时候应该停止迭代，以及选择何种精度才能在计算时间和结果准确性之间找到最佳平衡点。这本书的深度，足以让一个经验丰富的工程师感到既有挑战性又收获颇丰。

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这本书的封面设计给我的第一印象是相当的专业和严谨，那种深蓝色调和简洁的字体排版，透露出一种学术殿堂的气息。我拿到书的时候，首先被它沉甸甸的分量吸引住了，这可不是那种轻飘飘的、走马观花的读物，明显是经过了深思熟虑和大量工作的成果。我翻开目录，那一长串密密麻麻的章节标题，涉及的领域之广让人望而生畏，从基础的线性代数迭代到复杂的偏微分方程求解，几乎涵盖了数值计算领域所有核心分支。我尤其注意到其中关于“稀疏矩阵求解”和“大规模数据下的优化算法”的章节，这正是我目前工作和研究中迫切需要深入了解的部分。排版方面，虽然信息量巨大，但作者似乎非常注重读者的阅读体验，图表清晰，公式推导步骤详尽，很多复杂的证明都有详细的铺垫，这对于初学者来说无疑是一剂强心针，因为它不像一些教科书那样上来就抛出结论，而是耐心引导你理解背后的数学原理。我还没有完全深入阅读，但仅从其结构和呈现方式来看，这本书无疑是为那些真正想要在数值分析领域打下坚实基础的人准备的，它不是一本速成手册，更像是一部值得珍藏的工具书和参考典籍。

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