实变与泛函学习指导 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:厦门大学

作者:邱曙熙

出品人:

页数:409

译者:

出版时间:2006-8

价格:32.00元

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isbn号码:9787561523100

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《数学分析进阶：测度论与函数空间探索》 内容简介 本书旨在为读者提供一个深入理解现代数学核心分支——测度论与泛函分析——的系统性指导。它并非直接照搬教科书的章节划分，而是以一条清晰的学习脉络，引导读者逐步建立起扎实的理论基础，并培养解决实际问题的分析能力。全书围绕“度量”、“映射”、“空间”这三个核心概念展开，逐层剥离抽象的外衣，揭示其内在的逻辑结构与强大的应用潜力。 第一部分：从黎曼到勒贝格——度量思想的升华 学习数学分析，我们常常从黎曼积分开始。然而，黎曼积分在处理不连续函数、极限与积分的交换等方面存在固有的局限性。本书将首先回顾黎曼积分的定义及其不足，以此为引子，引入“测度”这一更普适、更强大的概念。 可测集与测度： 我们将从直观的几何概念出发，理解“长度”、“面积”、“体积”等概念如何被抽象为“测度”。学习如何构造定义在实数集上的重要测度，如勒贝格测度。探讨集合的“可测性”这一关键属性，理解为何并非所有集合都能被赋予一个有意义的“大小”。我们将深入研究集合运算（交、并、差、补）与测度的性质，例如可数可加性，这是勒贝格测度的基石。 可测函数： 测度理论的价值在于其能够衡量“可测集”，而函数则连接了空间与度量。本书将详细阐述可测函数的定义，以及由连续函数、单调函数、有界变差函数等已知函数类构造可测函数的方法。我们将研究可测函数的和、积、复合等运算的保持可测性的条件，以及极限运算与可测性的关系。 勒贝格积分： 这是测度论最核心的成就之一。本书将详细介绍勒贝格积分的构造过程，它如何克服黎曼积分的缺陷，尤其是在处理极限与积分交换的问题上。我们将深入理解勒贝格积分的“拍平”思想，并将其与黎曼积分进行对比，分析其优越性。重点学习和掌握勒贝格积分的几个基本性质，包括单调收敛定理、Fatou引理、控制收敛定理等。这些定理是进行后续积分运算和证明许多重要结论的基石。我们将通过大量的例子，展示如何运用这些定理来计算复杂的积分，以及分析积分的收敛性。 第二部分：函数的海洋——泛函分析的基石 在掌握了测度与积分的工具后，我们将目光转向更广阔的“函数空间”。函数本身可以被看作是“点”，而函数空间则是一个由函数构成的“集合”。泛函分析研究的是这些函数空间的结构、性质以及在这些空间上定义的“映射”（泛函）。 度量空间与完备性： 在进入更抽象的赋范线性空间之前，我们先从“度量空间”入手。度量空间是带有距离概念的集合。我们将学习度量空间的定义，以及收敛、Cauchy序列、完备性等概念。完备性对于保证序列的极限存在至关重要，许多重要的数学结构都要求在完备空间中才能得到充分的体现。我们将研究几个重要的度量空间，如欧几里得空间$mathbb{R}^n$、函数空间$C[a,b]$（带上确界范数）等。 赋范线性空间： 在度量空间的基础上，引入“线性结构”和“范数”。范数是衡量向量“大小”的自然推广。我们将详细介绍赋范线性空间（Banach空间）的定义，并研究其性质，如线性运算的连续性。重点讲解几个重要的Banach空间，例如$L^p$空间（$1 le p le infty$）。我们将深入理解$L^p$空间的范数定义，并探讨它们之间的关系。 内积空间与希尔伯特空间： 如果在赋范线性空间中还能定义“内积”，那么它就是一个内积空间。内积允许我们谈论“角度”和“正交性”，这在几何和分析中都极为重要。本书将详细介绍内积空间的定义，以及由内积导出的范数和度量。我们将重点研究完备的内积空间——希尔伯特空间。希尔伯特空间具有极其优美的几何结构，例如最佳逼近定理、Riesz表示定理等，这些定理在量子力学、信号处理等领域有着深远的意义。 线性算子： 在函数空间之间或内部定义的“线性映射”被称为线性算子。我们将研究线性算子的定义、性质，以及它们的“有界性”和“连续性”。本书将深入探讨线性算子的谱理论，这是泛函分析中最具挑战性也最核心的部分之一。我们将理解特征值、特征向量的概念如何推广到算子，以及算子的有界性和紧算子等概念。 第三部分：联系与应用——理论的深度与广度 本书的第三部分将侧重于将前两部分建立的理论联系起来，并展示其在不同数学分支和实际应用中的价值。 Sobolev空间： Sobolev空间是泛函分析与微分方程的交汇点，它允许我们讨论弱导数，并为研究偏微分方程的解的存在性、光滑性等问题提供了强大的工具。我们将介绍Sobolev空间的定义，以及它与$L^p$空间的联系。 傅里叶分析的泛函分析视角： 傅里叶级数和傅里叶变换是信号处理和图像分析的核心工具。本书将从泛函分析的角度，例如在$L^2$空间中讨论傅里叶级数的收敛性和完备性，以及傅里叶变换的性质。 动力系统与积分方程： 许多物理、生物、经济等领域的动力系统都可以用微分方程或积分方程来描述。我们将探讨如何利用泛函分析的工具，例如不动点定理、线性算子理论等，来分析这些方程的解的存在性、唯一性和稳定性。 学习方法与本书特色 本书不追求罗列定理的证明，而是注重概念的理解、方法的传授和思想的启发。每一章节都包含： 概念梳理： 详细解释核心概念的定义、几何直观和内在联系。 关键定理解析： 重点阐述重要定理的意义、应用场景，而非机械的证明推导。 例题分析： 通过大量的计算和证明题，演示理论的应用。 思考题与练习： 设计具有启发性的思考题和难度适中的练习，巩固所学知识，锻炼分析能力。 本书适合数学专业本科高年级学生、研究生，以及在相关领域（如物理、工程、计算机科学）需要深入理解数学分析理论的研究人员和工程师。通过本书的学习，读者将能更深刻地理解数学分析的精髓，为进一步深入研究更高级的数学课题打下坚实的基础。

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从排版和设计风格来看，这本书也展现出了一种不同于传统教辅的沉稳和专业性。它的字体选择和公式的排版都非常考究，长时间阅读下来，眼睛的疲劳感明显低于市面上那些匆忙印刷出来的教材。更值得称赞的是，它在关键概念的引入和辨析上做得极为到位。比如，在区分测度空间、$sigma$-代数和波雷尔集时，书中用非常简洁的语言和清晰的逻辑链条，勾勒出了它们之间的包含与被包含关系，避免了初学者常见的混淆。对于那些在学习过程中习惯于做大量笔记和标记的读者来说，这本书留白得恰到好处，既不会因为过度注释而显得拥挤，又能在需要强调的地方给出精准的提示。总而言之，这本书在“阅读体验”这个隐形指标上，也交出了一份令人信服的答卷，让学习过程本身变成了一种享受，而不是煎熬。

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对于希望深入研究偏微分方程或概率论的读者来说，这本书提供了一个坚不可摧的基础支撑。我注意到，书中对泛函分析的讲解，非常侧重于其在实际应用中的价值体现，而不是纯粹的数学美学展示。例如，在讲解泛函的对偶空间时，它并没有止步于代数层面的构造，而是引入了Riesz表示定理，并暗示了它在变分法和最优控制问题中的强大威力。这种前瞻性的引导，使得读者在学习理论的同时，脑海中已经在构建应用场景的蓝图。我个人最欣赏的一点是，它对“强收敛”和“弱收敛”的对比分析，通过对不同拓扑结构下序列极限行为的考察，让抽象的拓扑概念变得触手可及。这种理论与潜在应用之间的微妙平衡，使得这本书的价值远远超出了单纯的“学习指导”，更像是一份通往高阶数学领域的“通行证”。

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这本《**实变与泛函学习指导**》无疑是为那些正在啃食数学分析这块硬骨头的人们准备的一剂良方。我刚拿到手的时候，就被它那严谨的结构和详尽的讲解所吸引。要知道，实变函数论和泛函分析这两个领域，向来以抽象和枯燥著称，即便是名校的教材，也常常让人在推导过程中迷失方向。然而，这本书的作者似乎深谙学习者的痛点，他们没有仅仅停留在定理的罗列上，而是花了大量的篇幅去解释“为什么”需要这些定义和定理，以及它们在整个数学体系中扮演的角色。特别是对于勒贝格积分理论的构建，书中通过对比黎曼积分的局限性，一步步引导读者理解测度论的必要性，那份细腻和条理清晰，简直让人拍案叫绝。对于像我这样，理论基础尚可，但缺乏将零散知识点串联成完整体系能力的学习者来说，这本书简直就是一座灯塔，照亮了前进的方向，让我终于能以一种更宏观的视角去看待这些看似孤立的数学工具。

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我必须承认，我对这本书的“指导”二字深有体会，这不仅仅是一本习题集或知识点复述的工具书。我个人对泛函分析中的算子理论一直感到头疼，尤其是在处理希尔伯特空间上的有界线性算子时的那些矩阵表示和谱理论，总觉得隔着一层纱。这本书的独特之处在于，它不是直接扔给你一大堆定义让你去消化，而是构建了一套清晰的“爬坡路线图”。它在介绍完基础的巴拿克空间和赋范线性空间后，没有急于进入复杂的话题，而是通过大量的、精心设计的例子，将抽象的范数收敛、完备性这些概念具象化。举个例子，它解释了为什么对完备空间进行“补全”是必要的，并用函数空间中的等距嵌入来形象说明了这一点。这种循序渐进、寓教于乐的讲解方式，极大地降低了初学者的畏难情绪，让人感觉每跨越一个知识点，都是一次扎实的进步，而不是勉强挤进去的囫囵吞枣。

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这本书的价值在于它极大地拓宽了我对“严谨性”的理解。在实变函数部分，它对构造反例的耐心和细致令人印象深刻。很多教材只是简单地抛出一个反例，但这本书会花费笔墨去解释，这个反例是如何被设计出来的，它恰好击中了哪个定理的哪个关键假设。比如，对于狄利克雷函数在黎曼积分意义下的不可积性，书中不仅明确指出了其测度为零的特点，还巧妙地将其引入到勒贝格积分的优越性论证中，形成了一个完美的逻辑闭环。这种“知其然，更知其所以不然”的教学态度，极大地培养了我们作为数学工作者应有的批判性思维和质疑精神。阅读下来，我感到自己的数学直觉得到了极大的提升，不再满足于仅仅记住公式，而是开始探究公式背后的内在驱动力，这对于任何一个想要在数学领域走得更远的人来说，都是最宝贵的收获。

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