具体描述
本书是为概率论专业硕博连读生编写的教材，并且已有多届教学的实践。本书以介绍现代鞅论与随机积分为基本内容，进而讨论Wiener过程泛函与扩散过程泛函的结构，最后介绍有应用价值的Kalman-Bucy滤波与非线性滤波、内插与外推等内容，作为例子也讨论到随机分析在数理金融中的某些应用。
好的，这是一本名为《经典数论导引及其现代视角》的图书简介： --- 经典数论导引及其现代视角 作者： [此处可填入两位虚构的著名数学家姓名，例如：李明 教授，张伟 博士] 出版社： [此处可填入一家著名学术出版社的名称，例如：科学出版社] ISBN： [此处可填入一组虚构的ISBN号] --- 内容简介 《经典数论导引及其现代视角》是一部旨在为数学、物理、计算机科学以及工程学领域的学习者和研究人员提供深入、全面且富有洞察力的基础数论知识体系的专著。本书严格遵循数学的逻辑严谨性，同时致力于展示数论作为一门古老而常青的学科，如何在当代科学研究中焕发出新的生命力。 本书的构建遵循“由浅入深，融贯古今”的原则。我们首先从最基础的整数集合的代数结构入手，系统地介绍素数的概念、算术基本定理，并详细阐述欧几里得算法及其在最大公约数和模逆元计算中的核心作用。随后，我们将目光投向数论的核心领域——同余理论。 第一部分：基础与代数结构 在开篇的章节中，我们对初等数论进行了扎实的基础奠定。内容包括： 整数环 $mathbb{Z}$ 的结构： 深入探讨了整除性、最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的性质，特别是通过贝祖定理展示了线性丢番图方程的可解性条件。 模运算与同余式： 详细解析了模运算的性质，定义了线性同余方程 $ax equiv b pmod{m}$ 的解法，并系统梳理了中国剩余定理（CRT）的理论基础和具体应用，包括其在循环结构和周期性问题中的建模能力。 数论函数与积性： 介绍了欧拉 $phi$ 函数、因子和函数 $sigma_k(n)$、莫比乌斯 $mu$ 函数等核心数论函数。我们不仅定义了它们的计算方法，更重要的是剖析了它们的积性（Multiplicativity）性质，这是后续傅里叶分析和狄利克雷级数理论的基石。 第二部分：费马、欧拉与原根 本部分是本书的核心理论进阶部分，重点关注数论中的经典定理及其对密码学的直接贡献： 费马小定理与欧拉定理的严格证明： 提供了多种不同视角的证明（代数、组合和群论视角），旨在加深读者对这两个定理普适性的理解。 原根与离散对数问题： 深入研究了模 $n$ 意义下的乘法群 $mathbb{Z}_n^$ 的结构。详细讨论了原根的存在性判别定理，并首次引入了离散对数问题（DLP）的计算复杂性背景，为理解公钥密码学打下基础。 平方剩余与二次互反律： 这是解析数论和代数数论的桥梁。本书对勒让德符号和雅可比符号进行了细致的介绍和计算练习。二次互反律（高斯二次互反律）的证明过程被分解为若干易于理解的步骤，展示了数论中“对称美”。 第三部分：解析数论的初探 为了连接初等数论与现代高等数学，本书在后半部分引入了解析数论的初步概念，重点在于利用分析工具处理整数问题： 狄利克雷级数与黎曼 $zeta$ 函数： 详细介绍了狄利克雷级数的基本收敛性判据。随后，我们将重点聚焦于黎曼 $zeta$ 函数，探讨其欧拉乘积公式，并简要介绍解析延拓的概念。虽然不深入讨论复分析，但会明确 $zeta(s)$ 在实轴上的性质及其与素数分布的深刻关联。 素数计数函数 $pi(x)$ 的估计： 基于狄利克雷级数的性质，本书将推导出素数定理（Prime Number Theorem）的一个经典形式的近似结论，旨在让读者体会到微积分如何被用来精确估计离散数列的增长速度。 第四部分：应用与现代视角 本书的最后部分着眼于数论在当代科学中的实际应用，展现了其跨学科的价值： 基于数论的公钥密码学： 详细阐述了 RSA 算法的数学原理，包括大整数分解的难度和模指数运算的效率。同时，对椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的背景进行了概述，强调了现代密码学对深层数论知识的需求。 连分数与近似： 系统讲解了有理数和无理数的连分数展开形式，特别是对 $sqrt{2}$、$pi$ 等常数的连分数表示。讨论了连分数在逼近问题和求解佩尔方程（Pell's Equation）中的强大作用。 丢番图方程的几何与算术： 对费马大定理的历史背景进行了回顾，并简要介绍了椭圆曲线（作为域上的代数曲线）的基本概念，指出数论研究已从整数点扩展到有理点和代数点域。 本书特色 1. 严谨性与可读性的平衡： 采用清晰的数学语言，每个定理的引入都伴随着充分的动机阐述，确保初学者能够跟进，同时为专业人士提供深入的见解。 2. 计算工具的整合： 穿插了大量关于如何使用计算软件（如 Python 或 Maple）进行数论计算的实例，连接了理论推导与实际操作。 3. 历史脉络清晰： 每一部分都追溯了关键概念的历史发展脉络，帮助读者理解数学思想的演变过程。 《经典数论导引及其现代视角》不仅仅是一本教科书，它更是一份邀请函，邀请读者进入一个充满逻辑美感和深邃结构的世界，探索整数的秘密及其在构建现代信息技术中的基石作用。 --- 目标读者： 具备微积分和线性代数基础的本科生、研究生、软件工程师、密码学研究人员以及对纯数学有浓厚兴趣的自学者。
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