第一章 集閤與映射
§1 集閤
集閤
集閤運算
有限集與無限集
Descartes乘積集閤
習題
§2 映射與函數
映射
一元實函數
初等函數
函數的分段錶示、隱式錶示與參數錶示
函數的簡單特性
兩個常用不等式
習題
第二章 數列極限
§1 實數係的連續性
實數係
最大數與最小數
上確界與下確界
附錄Dedekind切割定理
習題
§2 數列極限
數列與數列極限
數列極限的性質
數列極限的四則運算
習題
§3 無窮大量
無窮大量
待定型
習題
§4 收斂準則
單調有界數列收斂定理
π和e
閉區間套定理
子列
Bolzano-Weierstrass定理
Cauchy收斂原理
實數係的基本定理
習題
第三章 函數極限與連續函數
§1 函數極限
函數極限的定義
函數極限的性質
函數極限的四則運算
函數極限與數列極限的關係
單側極限
函數極限定義的擴充
習題
§2 連續函數
連續函數的定義
連續函數的四則運算
不連續點類型
反函數連續性定理
復閤函數的連續性
習題
§3 無窮小量與無窮大量的階
無窮小量的比較
無窮大量的比較
等價量
習題
§4 閉區間上的連續函數
有界性定理
最值定理
零點存在定理
中間值定理
一緻連續概念
習題
第四章 微分
§1 微分和導數
微分概念的導齣背景
微分的定義
微分和導數
習題
§2 導數的意義和性質
産生導數的實際背景
導數的幾何意義
單側導數
習題
§3 導數四則運算和反函數求導法則
從定義齣發求導函數
求導的四則運算法則
反函數求導法則
習題
§4 復閤函數求導法則及其應用
復閤函數求導法則
一階微分的形式不變性
隱函數求導與求微分
復閤函數求導法則的其他應用
習題
§5 高階導數和高階微分
高階導數的實際背景及定義
高階導數的運算法則
高階微分
習題
第五章 微分中值定理及其應用
§1 微分中值定理
函數極值與Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
用Lagrange中值定理討論函數性質
Cauchy中值定理
習題
§2 L'Hospital法則
待定型極限和L'Hospital法則
可化為0/0型或∞/∞型的極限
習題
§3 Taylor公式和插值多項式
帶Peano餘項的Taylor公式
帶Lagrange餘項的Taylor公式
插值多項式和餘項
Lagrange插值多項式和Taylor公式
習題
§4 函數的Taylor公式及其應用
函數在x=0處的Taylor公式
Taylor公式的應用
習題
§5 應用舉例
極值問題
最值問題
數學建模
函數作圖
習題
§6 方程的近似求解
解析方法和數值方法
二分法
Newton迭代法
計算實習題
第六章 不定積分
§1 不定積分的概念和運算法則
微分的逆運算——不定積分
不定積分的綫性性質
習題
§2 換元積分法和分部積分法
換元積分法
分部積分法
基本積分錶
習題
§3 有理函數的不定積分及其應用
有理函數的不定積分
可化成有理函數不定積分的情況
習題
第七章 定積分
§1 定積分的概念和可積條件
定積分概念的導齣背景
定積分的定義
Darboux和
Riemann可積的充分必要條件
習題
§2 定積分的基本性質
習題
§3 微積分基本定理
從實例看微分與積分的聯係
微積分基本定理——Newton-Leibniz公式
定積分的分部積分法和換元積分法
習題
§4 定積分在幾何計算中的應用
求平麵圖形的麵積
求麯綫的弧長
求某些特殊的幾何體的體積
求鏇轉麯麵的麵積
麯綫的麯率
習題
附錄 常用幾何麯綫圖示
§5 微積分實際應用舉例
微元法
由靜態分布求總量
求動態效應
簡單數學模型和求解
從Kepler行星運動定律到萬有引力定律
習題
§6 定積分的數值計算
數值積分
Newton-Cotes求積公式
復化求積公式
Gauss型求積公式
計算實習題
第八章 反常積分
§1 反常積分的概念和計算
反常積分
反常積分計算
習題
計算實習題
§2 反常積分的收斂判彆法
反常積分的Cauchy收斂原理
非負函數反常積分的收斂判彆法
一般函數反常積分的收斂判彆法
無界函數反常積分的收斂判彆法
習題
答案與提示
索引
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