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出版者:世界图书出版公司

作者:R.BottBottLoringW.Tu

出品人:

页数:331

译者:

出版时间:1999-11-01

价格:56.0

装帧:简裝本

isbn号码:9787506201124

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 代数拓扑
• 数学
• 微分形式
• 拓扑学
• 经典
• Topology
• 几何与拓扑
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• 同调论
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• 陈类
• 纤维丛

代数拓扑的微分形式：勾勒抽象空间的几何肌理 本书深入探索代数拓扑与微分几何的迷人交汇点，以一种前所未有的视角审视抽象空间的结构与性质。我们不再局限于离散的组合对象，而是借助微分形式的强大工具，为我们理解拓扑空间的内在几何赋予了新的维度和深度。 核心概念与视角 本书的核心在于展示微分形式如何在代数拓扑的研究中扮演至关重要的角色。微分形式，作为光滑流形上的“局部”线性函数，能够捕捉到流形在每一点的切空间信息。通过对这些形式进行积分、外微分以及研究它们之间的代数关系，我们可以揭示流形的全局拓扑特性。 外代数与微分形式： 我们首先建立外代数（exterior algebra）的坚实基础，这是理解微分形式的关键。我们将详细阐述外代数如何为多线性函数提供一个优雅的框架，并引入“外微分”（exterior differentiation）的概念。外微分算子 $d$ 是贯穿全书的核心操作，它将 $k$ 次微分形式映射到 $k+1$ 次微分形式，并且满足 $d^2=0$ 的重要性质。这个性质是德拉姆定理（de Rham’s theorem）的基础，也是我们研究拓扑的关键。 德拉姆同调： 德拉姆定理将微分形式的代数结构——德拉姆同调（de Rham cohomology）——与流形的拓扑结构联系起来。我们将深入分析闭形式（closed forms）和恰当形式（exact forms）的概念，以及它们的商空间——德拉姆群。这些群的生成元（或者说非零的德拉姆上同调类）代表了流形中“不被完全消除”的拓扑“洞”或“环”。本书将通过详实的例子，从简单的球面、环面到更复杂的流形，展示如何计算它们的德拉姆群，以及这些群如何精确地反映了流形的同调群。 流形与覆盖: 为了将微分形式的工具应用于更广泛的拓扑空间，我们将会讨论可微分流形（differentiable manifolds）的概念。我们将介绍如何通过局部坐标系和光滑函数的概念来定义和处理流形。此外，切线丛（tangent bundle）、微分算子（differential operators）以及向量场（vector fields）等流形的基本概念也将得到详尽的介绍，因为它们是理解微分形式在流形上行为的必要铺垫。 嵌入与同伦：本书还将探讨微分形式在理解流形之间的映射以及它们如何保持拓扑性质方面的作用。例如，通过研究映射诱导的微分形式的拉回（pullback），我们可以理解拓扑同胚（homeomorphism）和微分同胚（diffeomorphism）如何影响微分同调。我们还会触及同伦不变性（homotopy invariance）的概念，展示微分同调如何在一定程度上克服了对光滑结构的依赖。 本书特色与价值 统一的视角： 本书提供了一种统一的框架，将代数拓扑的抽象概念与微分几何的丰富结构相结合。通过微分形式，我们可以用一种“连续”和“局部”的方式来理解“全局”的拓扑属性，这与传统的代数拓扑方法（通常依赖于细胞分解或同调群的组合定义）形成了鲜明的对比，并提供了互补的见解。 计算工具： 微分形式提供了一套强大的计算工具，用于计算拓扑不变量。对于熟练的读者而言，德拉姆定理提供了一种直接计算流形同调群的方法，尤其是在处理具有光滑结构的流形时。 理论深度： 本书不仅关注计算，更致力于揭示微分形式在理论构建中的深刻作用。我们将探讨柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）在复流形中的推广，以及庞加莱引理（Poincaré lemma）的普适性，这些都构成了现代微分几何和拓扑学理论的基石。 面向读者： 本书适合已经具备一定基础代数拓扑、微分几何或现代微积分背景的读者。无论是数学专业的研究生，还是对几何与拓扑的交叉领域充满好奇的研究者，都能从中获得宝贵的知识和启发。 结论 《代数拓扑的微分形式》旨在为读者打开一扇新的窗户，透过微分形式的透镜，以前所未有的清晰度和深度去理解和探索抽象空间的几何肌理。本书所呈现的理论和方法，不仅是现代数学研究的重要工具，更是通往更深层次几何与拓扑理解的关键桥梁。

评分☆☆☆☆☆

最近我读完了Raoul Bott的Differential Forms in Algebraic Topology（代数拓扑中的微分形式），开头还算是比较轻松愉快，后来遇到spectral sequences就开始发晕，到homotopy的时候就有点像放弃了，好在那是一个相对独立的章节，熬到最后的characteristic classes稍微总算好...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

**评价四：** 《代数拓扑的微分形式》这本书，在我个人的数学探索之旅中，扮演了一个极其重要的角色。我一直对那些能够跨越不同数学分支，将看似无关的概念巧妙联系起来的理论情有独钟。代数拓扑以其处理“形状”和“连通性”的抽象能力，给了我极大的启发，而微分几何则是我在探索连续变化和局部性质时不可或缺的工具。当我第一次接触到这本书的书名时，我便被它所吸引，因为它预示着一种将代数抽象与几何直观相结合的深刻洞察。 书中的核心概念——微分形式，在我看来，是一种极具表现力的数学语言。它能够优雅地捕捉到流形上“积分”的思想，并且其“外微分”运算，与代数拓扑中的链复形结构有着惊人的契合。我尤其欣赏书中对“德拉姆定理”的阐述。这个定理犹如一座宏伟的桥梁，将代数拓扑的同调理论与微分几何的微分形式理论紧密地联系在了一起。它指出，流形的德拉姆上同调群（即闭合微分形式模恰当形式的商群）与奇异同调群（这是代数拓扑中的基本不变量）是同构的。 这一发现，意味着我们可以利用光滑流形上的微积分工具，来计算流形的拓扑性质。这种从“局部”的微分计算到“全局”的拓扑不变量的转换，极大地拓展了我们研究空间结构的方式。书中对这一理论的推导和解释，充满了数学的严谨性和逻辑美。我反复阅读了关于德拉姆定理的部分，每一次都能从中获得新的理解和启示。例如，书中通过对各种简单流形（如球面、环面）的分析，生动地展示了微分形式在计算其同调群时的威力。这种从抽象理论到具体应用的过渡，让我更加坚定了对这本书的喜爱。阅读过程中，我不仅学习了数学知识，更重要的是，我体会到了数学家们是如何通过精妙的构思，将看似困难的问题迎刃而解的。

评分☆☆☆☆☆

**评价一：** 作为一名对纯数学充满好奇心，但又常常在抽象概念的海洋中感到迷失的学生，我第一次翻开《代数拓扑的微分形式》时，内心是既期待又忐忑的。这本书的书名本身就预示着一种深度和广度，它试图将两个看似独立但又息息相关的数学领域——代数拓扑和微分几何——巧妙地融合在一起。在求学的过程中，我接触过代数拓扑，对同伦、同调等概念留下了深刻的印象，它们以一种“柔韧”的方式描绘着空间的结构，能够忽略掉微小的形变，捕捉到“洞”和“连通性”这样的本质特征。而微分几何，则是我在学习微积分和向量分析时，开始触及的关于曲线、曲面乃至更高维度流形光滑性质的学科，其核心在于切线、法线、曲率等局部信息。 将这两个领域结合，我最初的设想是，这本书会像一座桥梁，用代数工具来理解几何的连续变化，或者用几何的直观性来阐释代数的抽象。然而，当我真正沉浸在书中时，我发现它的魅力远不止于此。书中对“微分形式”这一概念的引入，让我眼前一亮。它不仅仅是简单的函数，也不是单纯的向量场，而是一种更为普适的数学对象，能够捕捉到流形上“积分”的思想，并且其“外微分”运算，又与代数拓扑中的链复形有着惊人的相似之处。书中对德拉姆定理的阐述，更是将这一联系推向了一个极致——它明确地揭示了微分形式的全局性质（如闭合形式和恰当形式的集合）与空间的拓扑性质（如同调群）之间的深刻对应。这种层层递进的逻辑，以及从具体例子到抽象理论的循序渐进，极大地缓解了我对抽象数学的恐惧，反而激发了我深入探索的欲望。书中对具体例子，例如球面、环面等简单流形的分析，都显得尤为精彩，它们像一块块精心打磨的宝石，镶嵌在理论的宏大框架中，为理解抽象概念提供了坚实的基础。阅读过程中，我常常会停下来，反复咀嚼每一个定义，尝试在脑海中勾勒出那些高维空间中的几何景象，或者在纸上演算那些精妙的代数推导。这种主动的参与感，是我在许多数学书中从未体验过的，也因此，这本书在我心中留下了不可磨灭的印记。

评分☆☆☆☆☆

**评价五：** 当我初次翻阅《代数拓扑的微分形式》时，我的内心是充满期待的。作为一名对数学的深度和广度都有所追求的学生，我一直认为，真正的数学之美在于它能够将看似不相关的概念融会贯通，揭示隐藏在现象背后的深刻联系。代数拓扑以其独有的视角，研究空间的“不变”属性，而微分几何则以其强大的工具，描绘空间的“连续”变化。将这两个领域结合，并且以“微分形式”作为核心，无疑是一项极具挑战但又充满诱惑的任务。 这本书并没有让我失望。它以一种非常系统和深入的方式，引导我理解了微分形式的本质。微分形式不仅仅是简单的函数或者向量场，它们是一种更通用的数学对象，能够捕捉流形上“积分”的思想。而“外微分”运算，更是这本书的亮点之一。它不仅在形式上与代数拓扑中的链复形的边界映射相似，更重要的是，它为我们提供了一个在光滑流形上计算“同调”信息的新视角。 我尤其被书中对“德拉姆定理”的阐述所震撼。这个定理像是一座连接代数和几何的宏伟桥梁，它清晰地表明，流形的德拉姆上同调群（由闭合微分形式构成）与奇异同调群（代数拓扑的基本研究对象）是同构的。这意味着，我们可以通过研究微分形式的代数性质，来获得关于流形全局拓扑结构的深刻洞察。这种从“局部”的微分行为到“全局”的拓扑不变性的转化，让我对数学的理解提升到了一个新的高度。书中通过对各种经典例子（如球面、环面）的详细分析，生动地展示了微分形式在计算这些流形的拓扑不变量时的强大威力。我反复研读这些章节，从中不仅学到了知识，更重要的是，我感受到了数学家们在构建这一理论时所展现出的非凡智慧和创造力。

评分☆☆☆☆☆

**评价十：** 《代数拓扑的微分形式》这本书，对我来说，是一次深刻的数学启蒙。我一直痴迷于数学的逻辑之美，以及它如何以简洁的符号和概念，描绘出极其复杂的现实世界。代数拓扑，以其对“形状”和“连通性”的抽象关注，为我提供了一种全新的理解空间的方式，它揭示了哪些属性即使在连续变形下也不会改变。而微分几何，则以其对“连续变化”和“局部性质”的精确描述，让我能够深入探究空间的内在结构。 这本书最令人称道之处，在于它以“微分形式”这一核心概念，成功地将这两个看似独立的数学领域紧密地联系在一起。我深刻地体会到，微分形式不仅仅是简单的函数或向量场的泛化，更是一种能够捕捉流形上“积分”思想的强大数学工具。而“外微分”运算的引入，与代数拓扑中的链复形结构惊人地吻合，这使得研究微分形式的代数性质，能够直接转化为研究流形的拓扑性质。 书中对“德拉姆定理”的深入阐述，无疑是本书的灵魂所在。这个定理如同一座宏伟的桥梁，将代数拓扑的同调理论与微分几何的微分形式理论完美地融合。它清晰地表明，流形的德拉姆上同调群（由闭合微分形式构成）与奇异同调群（代数拓扑的核心研究对象）是同构的。这意味着，我们可以利用光滑流形上的微积分工具，来计算流形的拓扑性质。这种从“局部”的微分计算到“全局”的拓扑不变量的转换，极大地拓展了我们理解和研究复杂空间的方式。书中通过对一系列经典几何对象的分析，例如球面、环面等，生动地展示了微分形式在计算这些流形的拓扑不变量时的强大威力。这种理论的严谨性与应用的直观性相结合，让我对数学的理解上升到了一个新的层次，也让我对数学家们的智慧和创造力充满了由衷的敬意。

评分☆☆☆☆☆

**评价六：** 《代数拓扑的微分形式》这本书，在我求学道路上留下了浓墨重彩的一笔。我一直认为，数学的精髓在于其简洁性与普适性，而当一个理论能够有效地将不同领域的概念巧妙地联系起来时，它的价值便显而易见。代数拓扑以其处理空间的“形状”和“连通性”的能力，一直让我着迷，它揭示了哪些属性在连续形变下能够得以保留。而微分几何，则为我们提供了描述光滑流形局部性质的强大工具，如曲率、切空间等。 这本书的独特之处在于，它以“微分形式”这一核心概念，成功地搭建了连接这两个领域的桥梁。我尤其欣赏书中对微分形式的定义及其“外微分”运算的阐释。微分形式不仅仅是对函数的泛化，更是一种能够捕捉流形上“积分”思想的数学对象。而“外微分”的引入，与代数拓扑中的链复形结构惊人地吻合，这使得研究微分形式的代数性质，能够直接转化为研究流形的拓扑性质。 书中对“德拉姆定理”的深入讲解，无疑是本书的亮点之一。这个定理犹如数学界的一颗璀璨明珠，它明确地指出了流形的德拉姆上同调群（由闭合微分形式构成）与奇异同调群（代数拓扑的核心研究对象）之间的同构关系。这意味着，我们可以通过研究流形上微分形式的代数性质，来获得关于其全局拓扑结构的深刻洞察。这种从“局部”的微分行为到“全局”的拓扑不变性的转化，极大地拓展了我们理解和研究复杂空间的方式。书中通过对一系列经典几何对象的分析，例如球面、环面等，生动地展示了微分形式在计算这些流形的拓扑不变量时的强大威力。这种理论的严谨性与应用的直观性相结合，让我对数学的理解上升到了一个新的层次。

评分☆☆☆☆☆

**评价二：** 《代数拓扑的微分形式》这本书，坦白说，我最初拿到它的时候，感觉它像是数学领域里的一块“硬骨头”。我一直对拓扑学及其在理解空间结构中的应用感到着迷，那些关于同胚、同伦、同调群的概念，总能以一种别样的视角揭示事物的本质，让我摆脱了对欧氏几何的固有思维。然而，当“微分形式”这个词跳入眼帘，我的脑海里就开始闪现一些与微积分、张量分析相关的画面，这些是我在学习基础数学时，既熟悉又有些畏惧的领域。我担心这本书会是一部纯粹的理论著作，充斥着令人望而生畏的符号和证明，而缺乏足够的直观性和应用性。 但现实给了我一个惊喜。这本书在深入挖掘微分形式的代数结构和拓扑意义的同时，并没有忽略它们在几何上的直观体现。书中对于“流形”概念的引入，以及在此基础上定义的微分形式，就像是在为我们构建一个能够容纳各种复杂几何形状的通用框架。我特别欣赏书中对“外微分”这一运算的细致讲解。它不仅仅是一个形式化的定义，更是将代数拓扑中的“边界映射”这一概念，在光滑流形上找到了一个自然且强大的对应。从一个0-形式（函数）到1-形式，再到更高阶的微分形式，每一步的运算都充满了数学的美感，并且与代数拓扑中的链复形的结构有着异曲同工之妙。 更让我印象深刻的是，书中通过对一系列重要定理的阐释，例如德拉姆定理，将这些看似独立的代数和几何概念紧密地联系起来。德拉姆定理所揭示的，闭合微分形式的商空间（即德拉姆上同调群）与流形的奇异同调群之间的同构关系，简直是一种数学上的“魔术”。它意味着，我们可以通过研究流形上光滑函数的“微扰”性质，来获得关于其“全局”拓扑结构的深刻洞察。这种从局部到全局的桥梁，从连续变化到离散不变的转化，是这本书最令人称道的贡献之一。阅读过程中，我反复体会到这种数学思想的精妙之处，也感受到了数学家们在构建这一理论时所付出的非凡智慧。

评分☆☆☆☆☆

**评价八：** 《代数拓扑的微分形式》这本书，是我在探索数学世界过程中，一个极具启迪性的发现。我一直着迷于那些能够将看似无关的数学分支巧妙地联系起来的理论，因为我相信，数学的美妙之处就在于其内在的统一性和深刻的联系。代数拓扑以其研究“形状”和“连通性”的抽象能力，为我打开了新的视野，而微分几何则是我在理解“连续变化”和“局部性质”时不可或缺的工具。 本书最大的亮点，在于它以“微分形式”这一核心概念，成功地搭建了代数拓扑与微分几何之间的桥梁。我深刻地体会到，微分形式不仅仅是对函数的简单推广，而是一种能够捕捉流形上“积分”思想的强大数学对象。而“外微分”运算的引入，与代数拓扑中的链复形结构有着惊人的吻合，这使得研究微分形式的代数性质，能够直接转化为研究流形的拓扑性质。 书中对“德拉姆定理”的深入阐述，无疑是本书的重中之重。这个定理如同一座沟通代数与几何的宏伟桥梁，它清晰地表明，流形的德拉姆上同调群（由闭合微分形式构成）与奇异同调群（代数拓扑的核心研究对象）是同构的。这意味着，我们可以利用光滑流形上的微积分工具，来计算流形的拓扑性质。这种从“局部”的微分计算到“全局”的拓扑不变量的转换，极大地拓展了我们理解和研究复杂空间的方式。书中通过对一系列经典几何对象的分析，例如球面、环面等，生动地展示了微分形式在计算这些流形的拓扑不变量时的强大威力。这种理论的严谨性与应用的直观性相结合，让我对数学的理解上升到了一个新的层次，也让我对数学家们的智慧和创造力充满了敬意。

评分☆☆☆☆☆

**评价三：** 在我数学学习的旅途中，《代数拓扑的微分形式》这本书无疑是一个重要的里程碑。它不仅仅是一本教科书，更像是一扇窗户，让我窥见了数学深层结构的美妙之处。我一直认为，数学的魅力在于它能够用简洁的语言和符号来描述宇宙间最复杂的现象。而代数拓扑，在我看来，正是这种魅力的集中体现。它关注的是“不变性”，是在连续变形下不改变的性质，比如一个杯子和一个甜甜圈在拓扑学家眼中是相同的，因为它们都只有一个“洞”。而微分几何，则是我在学习微积分时，接触到的关于光滑性、曲率和切空间的概念，它赋予了我们描述局部形状的工具。 将这两个领域结合，并且引入“微分形式”这一核心概念，在我看来是一种天才的构想。书中对微分形式的定义，让我体会到了数学的普适性。它不仅仅是简单的函数，也不是简单的向量场，而是能够捕捉到流形上“积分”概念的数学对象。而“外微分”运算，更是将代数拓扑中链复形的思想，在光滑流形上得到了完美的实现。我特别享受书中关于德拉姆定理的论述，这个定理将我们从代数拓扑的抽象世界，直接拉回到了微分几何的实际操作中。它告诉我们，流形的德拉姆上同调群（由闭合微分形式构成）与奇异同调群（由链的边界构成）是同构的。 这意味着，我们可以利用微分形式的代数工具，来计算流形的拓扑不变量。这种从“局部”的微分性质到“全局”的拓扑性质的转化，让我对数学的理解上升了一个新的层面。书中通过大量的例子，例如对向量场、曲线积分、曲面积分等基本概念的重新审视，以及它们如何自然地融入微分形式的框架，让我对这些概念有了更深刻的理解。而且，书中对这些概念的推导过程，也充满了数学的严谨性和逻辑性。我常常会在阅读过程中，停下来，尝试自己去演算，去体会每一个步骤的意义。这种主动的学习过程，让我感觉自己不再是被动地接受知识，而是真正地参与到数学的创造过程中。

评分☆☆☆☆☆

**评价七：** 对于我这样一个对数学的深度和广度都有着强烈探索欲的人来说，《代数拓扑的微分形式》这本书无疑是一次令人耳目一新的数学之旅。我一直深信，数学的真正力量在于其能够用简洁的语言描绘复杂的世界，而当不同领域的概念能够通过一个统一的框架得以阐释时，这种力量便更加彰显。代数拓扑以其关注“形状”和“连通性”的独特视角，给了我极大的启发，而微分几何则是我在探索“连续变化”和“局部性质”时不可或缺的利器。 本书的精妙之处在于，它以“微分形式”这一核心概念，巧妙地将代数拓扑的抽象思想与微分几何的直观工具融为一体。书中对微分形式的定义，以及其“外微分”运算的阐释，让我深刻体会到数学语言的普适性。微分形式不仅是对函数的泛化，更是捕捉流形上“积分”思想的强大工具，而“外微分”运算的引入，则与代数拓扑中的链复形结构形成了令人惊叹的对应。 我特别欣赏书中对“德拉姆定理”的论述。这个定理如同一座雄伟的桥梁，将代数拓扑的同调理论与微分几何的微分形式理论紧密地连接起来。它揭示了流形的德拉姆上同调群（由闭合微分形式构成）与奇异同调群（代数拓扑的基本不变量）之间的同构关系。这意味着，我们可以利用微分形式的代数性质，来计算流形的拓扑性质。这种从“局部”的微分行为到“全局”的拓扑不变性的转化，极大地拓展了我们理解和研究空间结构的可能性。书中通过对各种经典几何对象的详细分析，例如球面、环面等，生动地展示了微分形式在计算这些流形的拓扑不变量时的强大威力。这种理论的严谨性与应用的直观性相结合，让我对数学的理解上升到了一个新的层次，也让我对数学家们的智慧和创造力充满了敬意。

评分☆☆☆☆☆

**评价九：** 当我初次接触《代数拓扑的微分形式》这本书时，我便被它所蕴含的数学深度所吸引。我一直相信，真正的数学之美在于其简洁性与普适性，而当一个理论能够有效地将不同领域的概念融会贯通时，它的价值便显而易见。代数拓扑以其处理空间的“形状”和“连通性”的抽象能力，给了我极大的启发，而微分几何则为我们提供了描述光滑流形局部性质的强大工具，如曲率、切空间等。 本书的精妙之处在于，它以“微分形式”这一核心概念，成功地搭建了连接这两个领域的桥梁。我尤其欣赏书中对微分形式的定义及其“外微分”运算的阐释。微分形式不仅仅是对函数的泛化，更是一种能够捕捉流形上“积分”思想的数学对象。而“外微分”的引入，与代数拓扑中的链复形结构惊人地吻合，这使得研究微分形式的代数性质，能够直接转化为研究流形的拓扑性质。 书中对“德拉姆定理”的深入讲解，无疑是本书的亮点之一。这个定理如同一座沟通代数与几何的宏伟桥梁，它清晰地表明，流形的德拉姆上同调群（由闭合微分形式构成）与奇异同调群（代数拓扑的核心研究对象）是同构的。这意味着，我们可以利用光滑流形上的微积分工具，来计算流形的拓扑性质。这种从“局部”的微分计算到“全局”的拓扑不变量的转换，极大地拓展了我们理解和研究复杂空间的方式。书中通过对一系列经典几何对象的分析，例如球面、环面等，生动地展示了微分形式在计算这些流形的拓扑不变量时的强大威力。这种理论的严谨性与应用的直观性相结合，让我对数学的理解上升到了一个新的层次，也让我对数学家们的智慧和创造力充满了敬意。

评分☆☆☆☆☆

某学长：“不看这本书就不会明白人类的智慧是多么伟大！” 大四之前一定要看完！

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写得真好，每次读对数学的爱都多了一分

评分☆☆☆☆☆

读的时候不明白,用的时候就明白了

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某学长：“不看这本书就不会明白人类的智慧是多么伟大！” 大四之前一定要看完！