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出版者:

作者:毛华

出品人:

页数:106

译者:

出版时间:2012-8

价格:19.00元

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isbn号码:9787030353214

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• 抽象代数5
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《群论导引：对称的语言》 本书旨在为读者提供一个清晰、系统且富有启发性的群论入门。群论作为现代数学的基石之一，其影响力早已超越纯粹的数学领域，渗透到物理学、化学、密码学乃至计算机科学等诸多学科。本书力求以一种直观且易于理解的方式，带领读者领略群论的优雅与强大。 第一章：从对称到群 本章将从日常生活中无处不在的对称现象入手，引导读者建立对“对称性”的初步认知。我们将通过观察不同几何图形（如正方形、正三角形、圆形）的旋转、翻转操作，以及更复杂的对称变换，来体会这些操作所蕴含的规律。接着，我们将自然地过渡到代数层面，定义“群”的概念。我们将详细阐述群的四个基本公理：封闭性、结合律、单位元存在性以及逆元存在性。通过大量的具体例子，如整数加法群、非零实数乘法群、置换群等，读者将深刻理解这些公理的含义及其重要性，并初步掌握判断一个集合在特定运算下是否构成一个群的方法。本章的重点在于建立读者对抽象代数结构的直观感受，将抽象的数学概念与具体的实例联系起来。 第二章：子群与陪集：结构的内部与外部 在理解了群的基本概念后，本章将深入探讨群的内部结构。我们将引入“子群”的概念，并证明一个非空子集的子群判别准则，这将为我们研究更大群的性质提供有力的工具。例如，我们将分析整数加法群的子群，以及对称群的子群。 随后，我们将引入“陪集”这一核心概念。左陪集和右陪集是理解群结构，特别是其分类和性质的关键。我们将通过计算具体群的陪集来加深理解，并探讨陪集的重要性质，例如陪集的互不相交性以及与子群的关系。陪集的引入将为后续章节中拉格朗日定理等重要结论的铺垫。 第三章：正规子群与商群：构造新的代数世界 本章将聚焦于“正规子群”，它在群论中扮演着至关重要的角色。我们将清晰地定义正规子群的充要条件，并给出判断正规子群的方法。正规子群的独特之处在于，其左陪集与右陪集总是相等的，这一性质使得以其为基础构造新的代数结构成为可能。 基于正规子群的概念，我们将隆重推出“商群”的构造。我们将详细阐述商群的定义，包括其元素的构成（即陪集）以及在商群上的运算规则。我们将通过实例，例如整数加法群的商群，来展示商群的构造过程及其性质。商群的引入不仅拓展了我们对群结构的认识，更是揭示了群论中一种强大的抽象和分类方法，为理解更深层次的群同态定理奠定了基础。 第四章：群同态与群同构：结构间的映射 本章将探讨群之间的“映射”关系，即“群同态”和“群同构”。我们将首先定义群同态，它是一种保持群运算结构的映射。通过具体的例子，我们将展示同态映射如何将一个群的结构“传递”到另一个群。 接着，我们将介绍“群同构”，这是同态的一种特殊且更强的形式。同构映射不仅保持运算结构，而且是双射，意味着两个同构的群在本质上是相同的，只是表示方式不同。我们将给出判断两个群是否同构的充要条件，并分析一些常见的同构例子。群同态与同构的概念对于理解不同群之间的联系、对群进行分类以及将复杂问题转化为已解决问题的模型至关重要。 第五章：循环群：最简单的群结构 本章将重点研究一类特殊的、也是最基础的群——“循环群”。我们将定义循环群，并阐述其由单个元素生成的基本思想。我们将区分有限循环群和无限循环群，并详细分析它们的结构。 对于有限循环群，我们将研究其阶与子群之间的关系，并引入生成元和阶的概念。对于无限循环群，我们将分析其与整数加法群的同构关系。循环群的简单性使其成为理解更复杂群结构的最佳起点，同时也是许多数学证明和构造的基础。 第六章：置换群：对称的直观体现 置换群是群论中最直观、也是应用最广泛的群之一。本章将详细介绍置换及其运算，特别是置换的乘法。我们将定义对称群 $S_n$，并探讨其阶数、子群以及元素阶的计算。 我们将深入研究置换群的性质，例如奇偶置换、对换以及轮换的分解。我们将通过计算和分析具体的置换群，来理解其结构特点。置换群不仅是抽象代数研究的重要对象，在组合数学、图论以及密码学等领域也有着重要的应用。 第七章：多面体的对称性：从几何到代数 本章将通过分析常见多面体（如正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体）的对称性，将抽象的群论概念与具体的几何对象联系起来。我们将识别这些多面体所拥有的对称操作，并将其转化为相应的置换群，即所谓的“对称群”。 我们将通过计算和分析这些多面体的对称群的阶数、子群结构以及不动点，来展示群论在理解几何对称性方面的强大能力。这一章节旨在巩固读者对群概念的理解，并激发读者对数学在描述和理解现实世界现象中的作用的兴趣。 第八章：有限生成群与无限群的初步探索 本章将对有限生成群和无限群的更广泛范围进行初步的探索。我们将介绍有限生成群的概念，并讨论其在代数结构研究中的意义。我们将简要提及一些重要的无限群，例如自由群，并探讨其基本性质。 本章的目的是为读者提供一个更广阔的视角，了解群论研究的深度和广度，并为进一步学习更高级的群论理论打下基础。我们将简要提及群表示等概念，为读者未来的学习方向提供一些引导。 本书的特点： 循序渐进，逻辑清晰： 本书从最基本的概念开始，层层递进，力求使读者能够逐步掌握群论的核心思想。 丰富的实例，直观易懂： 大量运用具体的例子，包括几何、数论以及置换等，帮助读者将抽象概念具体化，加深理解。 强调计算与证明： 在讲解理论的同时，本书也注重实际计算能力的培养，并提供了必要的证明，以保证数学的严谨性。 连接现实应用： 通过多面体对称性等例子，展示了群论在理解现实世界中的对称性和结构方面的作用。 为后续学习铺路： 本书内容涵盖了群论的入门基础，为读者进一步深入学习更高级的代数理论奠定了坚实的基础。 本书适合所有对抽象代数感兴趣的读者，包括数学专业的学生、物理学、化学、计算机科学等相关专业的学生，以及对数学的严谨与美妙充满好奇的爱好者。我们相信，通过学习本书，读者将能深刻体会到群论作为“对称的语言”所蕴含的深刻智慧与普遍性。

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我通常对这种声称是“基础”的书抱有一定的怀疑态度，因为很多基础读物要么过于简化导致失真，要么就是为了“基础”而牺牲了严谨性。但《近世代数基础》在这点上做得非常平衡。它仿佛是站在一个制高点上俯瞰整个代数领域，然后精确地选择了需要传递给初学者的那些核心信息。它的章节安排极为流畅，从集合论的预备知识到域的构造，每一步都像是浑然天成，没有明显的断层。我最欣赏的是书中关于“对称性”和“不变性”的讨论，作者非常自然地将这些看似哲学化的概念，与具体的代数运算联系起来，使得读者能真切地感受到近世代数在解决现实问题（即使是抽象的数学现实）中的强大力量。这本书不是那种读完就能立即成为专家的书，但它绝对能为你打下一个坚不可摧的基石，让你在未来学习更高级课程时，能站得更稳。

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这本书的排版和视觉呈现，对于一本严肃的数学著作来说，达到了一个令人惊喜的高度。字体的选择、公式的间距、定理和定义的突出显示，都显示出编辑团队对读者的尊重。在很多数学书中，公式和文字混杂在一起，阅读体验非常糟糕，但《近世代数基础》的页面设计清晰明了，即便是复杂的结构图或例子，也能一目了然。更重要的是，作者的叙事节奏把握得极其精准，它不会为了展示自己的博学而堆砌不必要的背景知识，所有的引入都是目的明确的。例如，在讲解正规子群时，它没有立刻跳转到复杂的陪集运算，而是先花了一些篇幅铺垫“交换性”在结构中扮演的角色，这种层层递进的教学方法，极大地降低了理解难度。这是一本真正关心读者学习体验的书。

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这本《近世代数基础》的作者似乎拥有一种独特的天赋，能够将那些听起来无比深奥的抽象概念，用一种近乎诗意的语言娓娓道来。初次翻开，我本以为会立刻被一堆陌生的符号和定义淹没，结果却发现自己被一种轻快的节奏牵引着，如同走在一条精心铺设的小径上，两侧是数学概念的花园，每一步都有引人入胜的风景。书中对群论和环论的阐述尤其精彩，它不仅仅是知识的堆砌，更像是在构建一座逻辑的殿堂，让你在每跨越一个台阶时，都能感受到思维被拓宽的喜悦。作者似乎深谙“授人以渔”的真谛，没有沉溺于过多的计算细节，而是专注于那些支撑起整个理论大厦的基石。读完第一部分，我甚至有一种错觉，仿佛自己已经能窥见宇宙间某种底层运行的秩序。对于初学者而言，这本书无疑是一盏明灯，它将晦涩的理论包装成了引人入胜的故事。

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阅读这本书，仿佛经历了一次思维的精炼过程。它没有使用太多华丽的辞藻，但每一个句子都蕴含着清晰的逻辑指向。与其他强调计算和技巧的书籍不同，《近世代数基础》更像是在培养一种“数学的直觉”。它鼓励读者去“感受”代数结构，而不是仅仅“操作”它们。我尤其喜欢作者在讨论伽罗瓦理论的引言部分所展现出的那种宏大叙事感，虽然正文并未深入，但那种对代数与方程之美深层联系的暗示，足以点燃我对后续学习的热情。这本书的价值不在于它教了多少知识点，而在于它如何引导你用一种全新的、更具结构性的视角去看待数学世界。读完之后，感觉自己对“抽象”这件事的恐惧少了一大半，取而代之的是一种探索未知领域的兴奋感。

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坦白说，我对数学书籍的阅读体验通常是比较“痛苦”的，充满了反复查阅和草稿纸上的涂鸦。然而，在阅读《近世代数基础》的过程中，这种痛苦感几乎消失了，取而代之的是一种持续的好奇心。这本书的行文风格非常“克制”，它知道什么时候该深入剖析一个定理的证明，什么时候应该停下来，用一个简洁的例子来巩固读者的理解。特别是在处理同态和商结构时，作者没有采用那种教科书式的冷硬风格，而是巧妙地引入了一些代入感极强的类比，让我这个对抽象结构不太敏感的人也能迅速抓住其精髓。我特别欣赏它在每一章末尾设置的“思维挑战”部分，那些问题并非单纯的计算练习，而是真正考验你对概念理解深度的“陷阱”，逼迫你跳出固有的思维定式去思考。这本书读起来不累，但后劲十足，合上书后，那种对数学美的敬畏感久久不能平息。

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