分析与近世代数基础 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:天津大学出版社

作者:解可新 编

出品人:

页数:222

译者:

出版时间:2000-1

价格:11.50元

装帧:简裝本

isbn号码:9787561813584

丛书系列:

图书标签:

• 抽象代数5
• QS
• 数学
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• 抽象代数
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《代数之翼：从抽象到应用的探索之旅》 本书将带领您踏上一段扣人心弦的数学探索之旅，深入揭示代数这一迷人领域的精妙之处。我们旨在打破代数学习的固有藩篱，以一种直观、富有启发性的方式，展现代数如何从其最基础的概念出发，逐步构建起宏伟的抽象结构，并最终在科学、工程、计算机科学等诸多领域绽放出璀璨的光芒。 第一部分：代数基石——数的扩展与结构之始 我们不会止步于中学时期对数字和方程的机械运算，而是从更广阔的视角审视“数”的概念。从熟悉的整数、有理数、实数到我们即将深入探索的复数，我们将揭示不同数系的内在联系与互补之处。复数，这一最初因解决二次方程无解问题而诞生的概念，将是我们理解更高级代数结构的敲门砖。我们将学习复数的几何意义，理解其在平面上的映射关系，并掌握复数运算的技巧，为后续的抽象代数奠定坚实的基础。 在此基础上，我们将引入“集合”这一基本而强大的数学工具。集合的概念虽然朴素，却是构建一切数学理论的基石。我们将学习集合的定义、表示方法，以及集合间的运算，如并集、交集、差集和补集。这些看似简单的操作，在代数的世界里却扮演着至关重要的角色，它们是理解和描述数学对象之间关系的语言。 接下来，我们将开始接触代数中最具革新性的思想之一：“运算”。我们不仅局限于加减乘除这些熟悉的运算，更将引入更一般的运算概念。我们将学习如何定义集合上的二元运算，并深入理解这些运算的性质，如封闭性、结合律、交换律以及单位元和逆元的概念。正是这些运算的属性，定义了我们接下来将要探索的各种代数结构。 第二部分：抽象的殿堂——群、环与域的奥秘 在打下了坚实的理论基础后，我们将正式进入抽象代数的殿堂，开始构建一系列具有特定性质的代数结构。 第一章：群——对称性的语言 我们将从最简单但意义深远的代数结构——“群”开始。什么是群？它是一组元素，加上一个二元运算，并且满足一系列严格的条件：封闭性、结合律、单位元存在以及逆元存在。乍一看，这似乎是对一组数字的抽象描述，但一旦我们剥离了具体的数字形象，群的威力便显现出来。 我们将探索各种各样的群的实例。从整数加法群，到非零有理数乘法群，再到更抽象的置换群，我们将看到群结构如何普遍地存在于数学的各个角落。尤其值得一提的是，我们将深入研究置换群，它揭示了对称性的深刻本质。理解置换群，将使我们能够定量地描述和分析各种对称性现象，无论是在几何图形中，还是在解决特定类型的方程中。 我们还将学习群的重要性质，例如子群、正规子群、陪集以及群同态和群同构。这些概念如同显微镜和望远镜，帮助我们更细致地审视群的内部结构，发现不同群之间的联系，并理解它们在复杂系统中的作用。子群可以看作是群的“局部”性质，而正规子群则为我们理解群的“商群”结构提供了钥匙，这在某些数学问题中至关重要。群同态和同构的概念，则让我们能够识别看似不同的代数结构背后可能存在的深刻统一性，实现数学知识的融会贯通。 第二章：环——加法与乘法的和谐共舞 在掌握了群的知识后，我们将进一步扩展我们的代数视野，引入“环”的概念。环是在集合上定义了两个二元运算，通常分别称之为加法和乘法，并且这两个运算需要满足一系列特定的属性。环的加法运算需要构成一个阿贝尔群（即交换群），而乘法运算需要满足结合律。更关键的是，乘法运算需要与加法运算进行“分配”，即满足左分配律和右分配律。 我们将研究各种类型的环。整数集在通常的加法和乘法下构成了一个典型的环。多项式环，将是我们在后续章节中经常遇到的重要结构，它为研究代数方程提供了强大的工具。矩阵环，也将是另一个重要的例子，揭示了线性代数与抽象代数之间的联系。 在环的世界里，我们将探讨其更丰富的结构，如子环、理想、商环以及环同态和环同构。理想的概念，对于理解环的结构至关重要，它们可以被看作是环中“特殊”的子集，能够“吸收”乘法。商环的构造，则为我们提供了将复杂环简化处理的途径。 第三章：域——运算的自由王国 在环的基础上，我们进一步提升到“域”的概念。域可以看作是一种特殊的环，它在乘法运算上拥有更高的“自由度”。具体来说，一个域不仅需要满足环的所有条件，而且其非零元素在乘法下还必须构成一个群。这意味着，在域中，任何非零元素都有其乘法逆元。 域是代数中最基础也是最重要的结构之一，因为它们提供了我们熟悉的算术运算所依赖的坚实基础。我们熟悉的实数集和复数集，在加法和乘法下都构成域。有理数集同样构成一个域。此外，我们还将探索有限域，例如模 $p$ （$p$ 为素数）下的整数集构成的有限域，这些在数论、密码学和编码理论中有着广泛的应用。 我们将深入研究域的性质，例如子域、域扩张以及域同态和域同构。域的扩张，是进一步研究代数方程根的性质，以及构造更复杂代数结构的重要手段。 第三部分：理论的延伸与应用 本书的最后一部分，我们将把抽象代数的理论知识延伸到更广阔的领域，并初步展现其强大的应用能力。 第一章：多项式与代数方程的深刻洞察 我们将 revisit 多项式，但这次是从抽象代数的角度。我们将研究多项式环的结构，理解多项式的加法和乘法如何遵循环的规则。更重要的是，我们将把多项式看作是构造域的重要工具，特别是通过研究多项式的不可约性。一个不可约多项式，就像是构造更大、更丰富的数系的“原子”，通过它，我们可以得到包含给定域的更复杂的域。 我们将联系求解代数方程的问题。虽然本书不直接深入讲解高等代数方程的求解方法，但我们将揭示抽象代数如何为理解代数方程的解的性质提供理论框架。例如，伽罗瓦理论（虽然本书不深入探讨其细节）正是建立在群论和域论的基础上，用来研究多项式方程根的结构和可解性。 第二章：编码理论与密码学的基石 抽象代数的强大应用能力，在现代信息技术领域得到了淋漓尽致的体现。我们将初步介绍编码理论和密码学中的一些基本概念，并揭示代数结构在其中的核心作用。 在编码理论中，我们常常利用有限域的性质来构造纠错码。例如，线性分组码的构造，就依赖于向量空间和矩阵的代数结构。通过在特定的代数结构中进行运算，我们可以为传输的数据添加冗余信息，从而在接收端能够检测并纠正传输过程中产生的错误。 在密码学领域，许多加密算法都巧妙地运用了代数结构。例如，有限域的乘法群的离散对数问题，构成了公钥密码学（如Diffie-Hellman密钥交换）的基础。椭圆曲线密码学，更是将代数曲线的群结构应用于现代密码系统中，提供了更高的安全性和效率。我们将看到，看似抽象的群、环、域的概念，是如何在保护我们数字信息安全方面发挥着不可或缺的作用。 结语 《代数之翼：从抽象到应用的探索之旅》不仅仅是一本数学教材，它更是一张邀请函，邀请您走进代数那辽阔而深邃的世界。我们相信，通过对本书内容的学习，您将不仅掌握一套强大的数学工具，更将培养一种抽象思维的能力，学会用结构化的方式去分析问题、解决问题。代数的力量，在于它能够揭示事物背后最本质的规律，并指引我们通往更广阔的知识天地。愿这本书能成为您在这段精彩旅程中的忠实伙伴。

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这本书的叙述风格非常独特，它不像有些教材那样冷冰冰地堆砌定义和定理，而是更像一位经验丰富的导师，循循善诱地引导你进入一个全新的数学世界。作者擅长用生动的比喻来解释那些初看起来相当晦涩的概念。比如，在讲到某个结构特性时，他会突然插入一段关于建筑力学或者音乐和声的类比，一下子就打通了抽象思维与具体经验之间的壁垒。我尤其喜欢它在证明过程中的“留白”，它不会把每一步推导都写得密不透风，而是会在关键转折点停下来，用一句反问或者一个提示，鼓励读者自己去完成最后的一小步思考。这种教学方法极大地激发了我的主动性，感觉自己不是被动地接受知识，而是在与作者共同“发现”数学真理。这种互动感在纯理论书籍中是很难得的，让人在攻克难关后，收获的不仅仅是知识，还有解决问题的成就感。

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这本书的语言风格非常具有说服力和感染力，它仿佛在用一种略带古典的、但又无比精确的“数学诗歌”在与读者对话。作者的遣词造句极为讲究，没有一句废话，但又绝不枯燥。他对于专业术语的引入，总是伴随着对其“精神实质”的深刻解读，让人感觉这些符号不仅仅是工具，更是思想的结晶。读起来，我总有一种“被引领”的感觉，仿佛作者对每一个逻辑飞跃都了然于胸，并且耐心地等待着我跟上他的节奏。特别是当涉及到一些需要高度直觉判断的论证时，作者会采用一种近乎哲学的思辨方式来阐述，使得原本冰冷的逻辑推理过程，充满了思辨的美感。这本书不仅仅是一本知识的载体，更像是一部关于数学思维哲学的精妙论述，让人在学习具体内容的同时，也提升了自己思考的深度和广度。

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从内容结构上来看，这本书的层次感处理得堪称教科书级别。它没有急于求成地抛出高深的理论，而是非常耐心地从最基础的集合论和逻辑出发，逐步搭建起坚实的知识地带。前几章对基本概念的铺垫极其详尽，甚至连一些看似“理所当然”的性质都会被拿出来仔细剖析，这对于我这种基础略有薄弱的读者来说，简直是福音。随着章节的深入，你会发现前面看似零散的概念是如何巧妙地汇聚到一起，形成宏大理论框架的。作者在引入新概念时，总是会先给出它在数学历史上的定位和它试图解决的问题，这使得学习过程充满了“历史的厚重感”和“现实的紧迫性”。更令人称道的是，它对不同数学分支之间的联系进行了清晰的勾勒，让我看到了一个统一的数学宇宙，而不是一堆孤立的知识点。

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这本书的装帧设计真是没的说，封面用了那种略带磨砂质感的纸张，摸上去很舒服，深蓝色的背景上用银色的线条勾勒出一些抽象的几何图形，既有数学的严谨感，又不失艺术的张力。内页的纸张选择也非常考究，米白色的，字迹清晰，排版疏密得当，即便是长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳。我特别欣赏它在细节上的用心，比如每章开头的引言部分，都会引用一些历史上数学家的名言，瞬间就把人带入到那个求知若渴的时代氛围中。这本书的厚度也相当可观，拿到手里沉甸甸的，一看就知道内容扎实，不是那种空泛的“小白读物”。虽然我目前还没完全啃完，但光是翻阅目录和序言部分，就能感受到作者在内容组织上的精心策划。每一章节之间的过渡都处理得非常自然，像是精心编织的挂毯，每一块色彩都恰到好处，让人有强烈的冲动去探索下一部分。这本书的实体感，已经让我在阅读体验上获得了极大的满足。

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这本书的习题设计是另一个亮点，它们的设计绝非简单的计算或套用公式，而是充满了智慧的挑战。有些习题本身就蕴含着重要的定理或引理，做完之后，感觉就像是自己独立完成了一次小型的数学研究。我注意到，难度梯度控制得非常精妙，基础练习旨在巩固理解，中间层次的题目则开始考验对概念的灵活运用和创造性思维，而最难的那部分，哪怕只是思考片刻，也足以让人受益匪浅。更让我惊喜的是，书后附带的解答部分，它不只是给出最终答案，而是提供了多种不同的解题思路，甚至包括了某些“非主流”但同样优雅的证明方法。这极大地拓宽了我的解题视野，让我明白在数学面前，殊途同归的道路往往不止一条，关键在于对问题本质的把握。

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