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出版者:国防科技大学出版社

作者:王兵山 李舟军

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2001-08-01

价格:10.0

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isbn号码:9787810247702

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《抽象代数》 简介 《抽象代数》是一部深刻探讨数学核心结构的著作。本书并非旨在呈现一套独立的数学分支，而是力求揭示隐藏在各个看似孤立的数学领域之下的统一性与共性。它将带领读者穿越由群、环、域、模等基本代数结构构筑的数学宇宙，探索它们内在的性质、丰富的运算以及它们之间错综复杂的关系。 本书的基石在于“代数结构”这一概念。我们不再局限于熟悉的数集（如整数、实数、复数）及其上的加减乘除运算，而是将目光投向更广阔的领域。代数结构的核心在于集合与在其上定义的运算，以及满足特定公理的性质。通过对这些抽象结构的系统研究，我们能够发现，诸如对称性、不变性、同态性等概念，在数学的不同分支中扮演着至关重要的角色。 群论：对称性的语言 本书的第一部分将深入群论的世界。群是集合与单一二元运算的组合，并满足封闭性、结合律、存在单位元以及存在逆元这四个基本公理。虽然定义简洁，但群的威力却能解释从几何图形的对称性到密码学中元素的排列，再到物理学中基本粒子的分类等各种现象。 我们将从定义和最简单的例子入手，例如整数的加法群，非零实数的乘法群。随后，我们将探讨群的子群、陪集、正规子群等重要概念。这些概念是理解群结构的关键，它们帮助我们将一个大群分解成更小的、更易于分析的部分。同态和同构则让我们能够比较不同群的结构，揭示它们之间的深层联系。同构意味着两个群在代数结构上是完全等价的，尽管它们的元素可能有所不同。 本书还将引入有限群的理论，特别是置换群。凯莱定理将任何有限群同构于一个置换群，这极大地简化了对有限群的研究。此外，我们将深入探讨一些重要的有限群，如对称群 $S_n$ 和交错群 $A_n$。它们的性质与组合数学和数论有着紧密的联系。西罗定理作为有限群理论的基石，提供了判断一个有限群是否具有特定性质的有力工具，对于理解有限群的结构至关重要。 环论：运算的扩展与多重性 在掌握了群论的基础后，我们将进入环论的领域。环是在一个集合上定义了两个二元运算（通常称为加法和乘法），并且这两个运算满足一系列特定的公理。例如，加法运算构成一个阿贝尔群，乘法运算满足结合律，并且乘法运算与加法运算满足分配律。 本书将从整数环出发，探讨其特殊的性质，如主理想域、欧几里得整环等。我们将学习什么是理想，它是环中的一个特殊子集，对于理解环的结构和构造商环至关重要。通过商环，我们可以从一个大的环中“移除”掉一个理想，从而得到一个更简单的环，这类似于在群论中构造商群。 本书还将深入探讨积分域和域的概念。积分域是满足乘法消去律的交换环，而域是其中任何非零元素都存在乘法逆元的积分域。域是我们熟悉的有理数、实数、复数集合，它们是多项式环、线性代数等许多数学分支的基础。我们将探讨有限域的构造和性质，它们在编码理论和密码学中有着广泛的应用。 域论：方程的根与扩张 域论是本书中一个尤为精彩的部分，它将把我们的视野从已知的数域扩展到更广阔的数学空间。本书将研究域的扩张，即如何从一个域构建出一个包含更多元素的新域。例如，我们可以从有理数域 $mathbb{Q}$ 扩张到包含 $sqrt{2}$ 的域 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，再到包含 $sqrt[3]{2}$ 的域 $mathbb{Q}(sqrt[3]{2})$。 我们将深入研究代数数，即那些作为某个系数为有理数的整系数多项式的根的复数。伽罗瓦理论是本书的重头戏，它揭示了多项式的根与域扩张之间的深刻联系。伽罗瓦群，作为域扩张的自同构群，提供了研究多项式根的可解性、尺规作图问题以及超越方程（如五次及以上方程）无解性的强大工具。 本书将通过具体的例子，如二次方程、三次方程的根的求法，来引导读者理解伽罗瓦理论的直观含义。最终，我们将触及到一些历史上重大的数学难题，例如化圆为方、三等分角、倍立方体积等不可能通过尺规作图完成的问题，并用抽象代数的语言给出严谨的证明。 模论：向量空间的推广 在掌握了群、环、域的基本理论后，本书还将引入模论的概念。模可以看作是向量空间的推广。在向量空间中，我们有一个域上的向量空间，而向量可以被域中的元素（标量）进行伸缩。在模中，我们用一个环来代替域，并且环中的元素（通常称为“标量”）作用于模中的元素。 模论在许多数学分支中都扮演着关键角色，特别是在代数几何、表示论和数论中。我们将学习自由模、射影模、内射模等基本概念，并探讨模的分解和结构定理。特别是对于具有更强结构的环（例如主理想域），其模的结构可以被更有效地刻画。 例如，我们将会看到，一个有限生成阿贝尔群（也就是整数环 $mathbb{Z}$ 上的模）可以被分解成一个自由模和一个挠模的直和。这种分解的思想在模论中随处可见，它帮助我们将复杂模的结构分解为更简单的组成部分。 本书的价值与意义 《抽象代数》并非一本简单的计算手册，而是一本引导读者思考数学本质的启蒙之作。它鼓励读者从具体的例子中提炼出普适的数学规律，并以严谨的逻辑推导来构建宏伟的数学理论。通过学习抽象代数，读者将能够： 培养严谨的数学思维： 学习数学的公理化方法，理解定义、定理、证明的逻辑链条，提升逻辑推理能力。 建立跨领域的数学视野： 认识到不同数学分支之间的内在联系，例如数论、几何、拓扑、组合数学等领域都可以从抽象代数的视角得到统一的解释。 提升解决问题的能力： 学习用抽象的数学语言来描述和解决实际问题，例如在密码学、编码理论、计算机科学中的应用。 为深入学习高等数学打下坚实基础： 抽象代数是学习代数几何、表示论、代数数论、拓扑学等许多高等数学领域必不可少的前置知识。 本书的写作风格力求清晰、循序渐进，并在数学严谨性的基础上，辅以大量的例题和习题，以帮助读者理解和掌握抽象代数的精髓。我们相信，通过对《抽象代数》的学习，读者将能够深刻体会到数学的普适性、和谐性与内在美。

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从一个纯粹的数学爱好者角度来说，这本书最让我心动的是它对历史背景和动机的简要阐述。很多纯粹的符号推导往往会让人忘记，这些抽象的结构是如何在解决具体问题（比如对称性、数的结构等）的过程中被逐步构建起来的。这本书在这方面做得相当克制且到位，没有过多地陷入冗长的数学史叙事，但总能在引入一个新的代数结构时，用一两句话点明它试图解决的“那个旧问题”是什么。这种做法极大地增强了阅读的代入感，让原本冰冷的符号语言立刻拥有了“生命”和“目的性”。我能感受到作者希望读者不仅仅是会操作符号，而是能够理解符号背后的哲学思考和内在的必然性。这种对“为什么”的关注，使得阅读体验远超于一本标准的参考手册。

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这本书的语言风格，坦白说，非常“硬核”，但又带着一种独特的、近乎文学般的精确性。它不使用任何多余的形容词来粉饰太平，每一个句子都像是在构建一个精密的逻辑框架，每一个动词的选择都力求最贴切地表达数学意义上的操作或关系。对于初学者来说，这可能需要一个适应期，因为它要求读者必须全神贯注地去解析每一个短语的细微差别。然而，一旦适应了这种“精确的冷峻”，你会发现其带来的效率是惊人的。它迫使你抛弃模糊的直觉描述，转而依赖严密的逻辑链条。这对我这种长期以来习惯于依赖“感觉”而非“证明”的人来说，无疑是一种极佳的思维矫正器。读完一个章节，感觉自己的思维清晰度都提高了好几个档次。

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这本书的装帧设计很吸引人，封面那种深邃的蓝色调，配上烫金的字体，立刻就给人一种严肃而又神秘的感觉。拿到手里沉甸甸的，纸张的质感也非常好，阅读起来很舒适，不会有廉价感。我原本对这种理论性很强的书籍抱有戒心，担心内容会晦涩难懂，但初翻几页后，发现作者的排版布局非常用心。章节之间的过渡自然流畅，关键概念的定义和例子穿插得恰到好处，不像有些教科书那样，概念堆砌在一起，让人望而却步。它在结构上似乎遵循了一种循序渐进的逻辑，试图将复杂的结构掰开揉碎，用一种更接近“对话”而非“说教”的方式来引导读者进入那个全新的数学世界。我已经开始期待接下来的学习旅程了，从封面传递出的信息来看，这绝不是一本随便翻阅的读物，而是一部需要沉下心来细细品味的著作。

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我花了整整一个下午的时间沉浸在第一章的习题中，不得不说，出题的巧妙之处在于，它们不仅仅是机械地重复课本上的定义，而是巧妙地设置了一些陷阱和需要拐弯思考的地方。有些题目乍一看很简单，好像直接套用公式就能解决，但深入推导后，才发现其中隐藏着对基本公理的深刻理解要求。我特别欣赏作者在设置难度梯度上的把握，从最基础的集合论回顾，到后面涉及到一些初级的群论概念的铺垫，过渡得非常丝滑。做完一套题，感觉脑子像是经过了一次高强度的有氧运动，虽然有些烧脑，但那种豁然开朗的感觉非常过瘾。这说明作者在设计练习环节时，真正考虑了读者的认知负荷和知识吸收规律，而不是简单地堆砌难度。这本书的价值，很大一部分就体现在这些精心设计的练习题中。

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我注意到书中对不同代数结构之间的联系和对比分析做得非常深入。例如，在讨论完某种结构A的性质后，作者会立刻跳到结构B，通过并置（Juxtaposition）的方式，清晰地指出A和B在哪些方面是同构的，又在哪些关键点上产生了分歧。这种横向的比较视野，极大地拓宽了我对“代数”这个大主题的整体认知。它不再是孤立的群、环、域这些章节的简单堆叠，而是一个相互渗透、互相映射的巨大体系。这种全局观的构建，在我过去阅读的许多教材中是比较欠缺的。这本书似乎在引导我们思考，是否存在某种更深层次的、统一的代数思想，能够驾驭所有这些看似不同的结构。这种宏大的视野，让阅读过程充满了探索的乐趣。

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这100多页的书比800多页的书花的时间还长……

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