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出版者:高等教育出版社

作者:石生明[编著]

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2002-7-1

价格:11.6

装帧:简裝本

isbn号码:9787040108286

丛书系列:

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• 数学
• 抽象代数5
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《近世代数初步》内容简介 《近世代数初步》是一本面向初学者的代数入门读物，旨在为读者搭建坚实的近世代数知识体系。本书从最基础的概念出发，循序渐进地引导读者深入了解群、环、域等核心代数结构，并重点介绍它们的性质、构造方法及其在数学中的应用。全书语言通俗易懂，例题丰富，习题设计精巧，力求让读者在理解理论的同时，掌握运用代数工具解决问题的能力。 第一部分：群论初步 本书的开篇将带领读者走进群论的世界。群是代数中最基本、也是最重要的一种结构，理解群的概念是学习后续内容的基石。 什么是群？ 我们将从集合与运算的角度出发，引入群的四个基本公理：封闭性、结合律、单位元存在性以及逆元存在性。通过日常生活中的例子，如整数加法、非零实数乘法、几何变换等，生动形象地解释这些公理的含义，使读者对抽象的代数概念产生直观的认识。 群的分类与举例： 紧接着，我们将探讨不同类型的群。有限群和无限群的划分，以及交换群（阿贝尔群）和非交换群的特性将是重点。我们将详细介绍对称群、置换群、循环群、矩阵群等经典例子，并分析它们的运算规律。读者将学习如何判断一个集合在给定运算下是否构成群，以及如何描述和操作这些群。 子群与陪集： 在一个群内部，我们还会发现一些特殊的子集，它们自身也构成一个群，这就是子群。本书将深入探讨子群的定义、判定方法及其重要性质。陪集作为子群的重要衍生概念，在理解群的结构，尤其是左陪集和右陪集在划分群中的作用方面至关重要。我们将通过实例展示陪集的计算以及拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）的初步阐述，它揭示了有限群子群阶数与群阶数之间的深刻关系。 正规子群与商群： 进一步，我们将引入正规子群的概念。正规子群是构成商群的必要条件。本书将清晰地定义正规子群，并提供判定方法。在此基础上，我们将学习如何构造商群，理解商群的运算规则及其与原群之间的同态关系。商群的引入将为读者打开理解更复杂代数结构的大门。 群同态与群同构： 同态和同构是描述群之间关系的重要工具。本书将详细解释群同态的定义，以及它如何保持代数结构。在此基础上，我们将引入群同构的概念，理解两个群之间同构意味着它们在代数意义上是“相同”的。我们将学习第一同构定理（First Isomorphism Theorem），这是一个极其重要的定理，它建立了同态、核以及像之间的联系，是理解群结构的重要桥梁。 循环群与生成元： 循环群作为最简单的群，具有非常特殊的性质。本书将详细介绍循环群的定义、性质，以及生成元的作用。读者将学习如何判断一个群是否为循环群，以及如何利用生成元来描述整个群。 第二部分：环论入门 在掌握了群的基本概念后，本书将引导读者进入环的世界。环是在群的基础上，引入了第二个运算，并赋予两个运算一定的协调性。 什么是环？ 我们将从集合与两个二元运算的角度出发，定义环的公理。一个环包含一个加法交换群，以及一个乘法运算，并且这两个运算之间要满足分配律。本书将通过整数环、多项式环、矩阵环等实例，来加深读者对环的理解。 环的分类与举例： 类似于群，环也存在不同的分类。我们将区分交换环与非交换环，整环（Integral Domain）与非整环。整环是重要的概念，它要求乘法没有零因子，这使得其性质与我们熟悉的数域更加接近。本书将列举一系列具体的环，并分析它们的结构特点，例如 $mathbb{Z}$（整数环），$mathbb{Q}$（有理数域），$mathbb{R}$（实数域），$mathbb{C}$（复数域），多项式环 $F[x]$ 等。 子环与理想： 在一个环内部，我们也存在子环，它们自身也构成一个环。本书将介绍子环的定义与判定。而理想（Ideal）则是环论中比子群更重要的概念，它在定义商环时起着核心作用。我们将详细解释左理想、右理想以及双边理想的概念，并学习如何构造和识别理想。 环同态与环同构： 环同态和环同构用于刻画环之间的结构保持映射。本书将定义环同态，并研究其性质，例如像和核的性质。我们将学习环同构的概念，理解两个环在代数意义上的等价性。 商环与理想的应用： 理想的存在使得我们可以构造商环。本书将展示如何通过一个环的理想来构造其商环，并理解商环的运算规则。我们将通过实例，如整数模 $n$ 的环 $mathbb{Z}_n$，来说明商环的构造及其在数论和代数几何中的应用。 整环与域： 整环是环论中的一个重要分支，它具有“没有零因子”的特性。本书将深入探讨整环的性质，并介绍其与域（Field）之间的紧密联系。域是环论中最“完全”的结构之一，其中除了零以外的每个元素都有乘法逆元。我们将详细介绍域的定义，并将其与我们熟悉的数域进行对比。 第三部分：域论初步与代数应用 在掌握了环和域的基本概念后，本书将进一步探讨域的性质，并展示代数结构在解决实际问题中的强大力量。 域的性质与构造： 我们将深入研究域的各种性质，包括域上的多项式环，以及域的扩张（Field Extension）的概念。我们将学习如何构造新的域，例如通过添加元素来扩张已有域。 多项式环与根的寻找： 多项式环是代数中一个非常重要的研究对象。本书将介绍多项式环的性质，以及在域上多项式的根的寻找问题。我们将讨论不可约多项式（Irreducible Polynomial）的概念，并介绍一些寻找多项式根的方法。 初等数论中的代数思想： 代数方法在数论中有广泛的应用。本书将选取一些经典的例子，例如模运算、同余方程的求解、以及有限域的应用，来展示代数工具的威力。我们将看到，群论和环论的知识可以帮助我们更深入地理解数论中的一些现象。 群论在几何与组合学中的应用： 群论不仅仅是抽象的数学理论，它在几何学和组合学中也扮演着重要角色。本书将介绍群论在对称性分析、几何变换的研究，以及组合计数问题中的应用。读者将了解到，群的对称性概念可以帮助我们理解图形的性质，而群的结构也可以用于解决一些计数问题。 其他代数结构的初步展望： 为了给读者提供更广阔的视野，本书将在结尾处简要介绍其他一些重要的代数结构，如模（Module）、代数（Algebra）等，并简要提及它们在更高级数学领域中的作用，为读者未来的学习指明方向。 《近世代数初步》以其严谨的数学表述、清晰的逻辑结构、丰富的实例和适度的难度，致力于帮助读者打下坚实的近世代数基础。本书不仅传授抽象的代数理论，更注重培养读者运用代数思维解决实际问题的能力，为读者在数学、计算机科学、物理学以及其他相关领域进行深入学习和研究奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

http://greatcourse.cnu.edu.cn/dsx/kclx1.htm# 讲的很好。 段学复那一派下来的。

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这本书的语言风格是极其克制且精准的，几乎没有使用任何口语化的表达，每一个词语的选择都服务于其严格的数学定义。这种特点使得它在作为参考书使用时表现出色，因为信息的密度非常高，查阅起来效率极高。不同于市面上那些试图用诙谐幽默来包装枯燥内容的教材，这本书选择了一种更接近严肃学术论文的笔调，这对于已经具备一定数学背景的读者来说，是一种极大的尊重。例如，它在介绍正则性理论时，所采用的集合论基础的表述方式，非常扎实，没有留下任何模糊地带。我个人认为，对于那些希望未来从事纯数学研究的人而言，这本书提供了一个极佳的范本，展示了如何用最简洁、最无可辩驳的方式来构建一个数学理论。当然，对于完全没有接触过高等数学的朋友来说，这本书的门槛可能略高，它要求读者对基础的逻辑推理和集合论概念有良好的掌握，否则很容易在开篇就迷失在精确的符号海洋中，无法跟上作者的思路。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的习题设计是其一大亮点，但同时也非常考验毅力。它不像某些习题集那样，将计算性的、机械重复的任务当作主要练习。相反，这里的每一道题似乎都是对前文某一核心概念的深度挖掘或某种巧妙的变体。它们往往需要读者将好几个看似不相关的定理串联起来，才能找到通往解决方案的路径。我花了好大力气才啃下了一些后面章节的练习题，其中有一道关于交换代数的题目，足足花费了我一个下午的时间去验证和推导出最终的结论，但那种通过独立思考解决难题的满足感，是做那些简单套用公式的题目无法比拟的。这本书真正塑造的是解决问题的“韧性”，而不是“速度”。它鼓励读者深入思考，而不是快速翻页。因此，如果有人想快速应付考试，这本书可能不是最有效率的选择；但如果目标是真正掌握这门学科的精髓，并且愿意为之付出时间与脑力，那么它无疑是一份无价的财富。

评分☆☆☆☆☆

初读此书，我立刻被其严谨的逻辑链条所吸引。这本书的章节组织结构如同一个精密的钟表，每个齿轮都紧密啮合，推动着整体的运行。它不像某些教材那样为了追求内容覆盖的广度而牺牲了深度，反而是将重点放在了基础结构的内在联系上。比如，在讨论环的性质时，作者巧妙地穿插了模运算和多项式环的例子，使得读者能够在不同的情境下反复体会“环”这一结构的核心要素——加法和乘法的兼容性。我特别喜欢它在证明过程中所体现出的那种“数学家的思考方式”。它不是简单地罗列步骤，而是清晰地展示了每一步推理背后的动机和必要性，仿佛有一位经验丰富的导师在旁边低声讲解。这种教学方法极大地提升了我独立解决问题的能力，因为我不再是被动地接受结论，而是主动地参与到逻辑的建构之中。当然，这种深度的代价是阅读速度会相对较慢，尤其是在处理涉及同态和同构的章节时，需要反复对比定义和性质，但这绝对是值得的投入，因为一旦领悟，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计得很有品味，那种沉稳的深蓝色调配上烫金的字体，一眼看上去就让人觉得这是一本有分量的专业书籍。我一直对数学中的抽象结构非常着迷，所以毫不犹豫地入手了这本。然而，在翻开扉页后，我发现这本书的叙述方式与我之前接触过的其他代数入门教材有着显著的不同。它似乎更倾向于一种“从零开始，逐步构建”的哲学，每一个概念的引入都经过了精心的铺垫和论证，而不是直接抛出定义然后要求读者去消化。这种慢热型的叙述节奏，对于初学者来说，或许会有些许耐心考验，但对于希望打下坚实基础的读者，却是一种莫大的福音。我特别欣赏作者在引入群论概念时，并没有急于展示那些华丽的定理，而是花费了大量的篇幅来讨论对称性、变换以及它们在不同数学对象中的体现，这使得抽象的代数概念变得“触手可及”。阅读过程中，我经常需要停下来，反复咀嚼那些看似简单的定义，因为它们往往蕴含着更深层次的结构信息。这本书的排版也相当清晰，大量的图示和例子帮助我理解了许多需要直观感知的抽象过程，可以说是目前我接触到的代数书籍中，在教学法设计上最为用心的一本了。

评分☆☆☆☆☆

我通常对那些堆砌公式的书籍不太感冒，但这本书却成功地颠覆了我的看法。它成功地在高度的抽象性和必要的具体实例之间找到了一种微妙的平衡。以至于在阅读到关于域扩张的部分时，我发现自己不再是死记硬背那些扩张的次数或性质，而是能够从构造性的角度去想象如何“创造”出一个新的数学环境来容纳某些原本不存在的解。作者在处理像伽罗瓦理论这样公认的难点时，采取了非常务实的策略：先用一个非常直观的、低阶的多项式问题作为引子，清晰地勾勒出整个理论体系的蓝图，然后再逐步填充上群论的工具。这种“先见森林，后看树木”的引导方式，极大地缓解了阅读初期的挫败感。我甚至觉得，这本书更像是一本“代数思想的哲学探讨录”，而不是单纯的习题手册。它教会了我如何用代数的视角去看待和理解世界，这种思维方式的转变远比记住几个定理要宝贵得多。

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