数学分析新讲（第一册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京大学出版社

作者:张筑生

出品人:

页数:300

译者:

出版时间:1990-1

价格:18.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787301008461

丛书系列:大学生基础课教材

图书标签:

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《拓扑学基础与应用》 第一版 导言 本书旨在为高等数学及相关学科（如理论物理、计算机科学、工程学等）的研究者与学习者提供一套系统、严谨且富有启发性的拓扑学入门教材。拓扑学，作为现代数学中最核心、最具普适性的分支之一，研究的是空间在连续形变下保持不变的性质。它提供了一种超越传统欧几里得几何的视角，关注的是“邻近性”、“连通性”和“紧致性”等基本概念的本质。 本书的编写遵循从直观几何概念到严格集合论定义的递进路线，力求在保证数学严谨性的同时，最大限度地降低初学者的理解门槛。我们深知，抽象概念的建立需要坚实的直观基础作为支撑。因此，每一部分的核心理论都会辅以丰富的实例、反例以及相关的几何直观解释。 第一部分：集合论与度量空间的基础 本部分是进入拓扑学世界的基石。我们首先回顾了必要的集合论知识，但重点迅速转移到度量空间（Metric Spaces）的构建上。度量空间是拓扑空间最直观的具体化，任何关于距离的概念都可以在此框架内得到精确描述。 距离与范数： 详细阐述了度量空间的定义及其基本性质，如三角不等式。我们引入了常见的度量，例如欧几里得度量、曼哈顿度量和切比雪夫度量，并讨论了在不同度量下函数序列的收敛性差异。 开集与闭集： 拓扑学的核心概念——开球的推广——被引入，用于定义拓扑空间中的开集和闭集。我们深入探讨了开集的性质，包括开集的任意并集仍是开集，有限交集仍是开集。闭集则被定义为其补集的开集，并探讨了闭包、内部、边界等关键算子的性质。 收敛性与完备性： Cauchy 序列的概念在度量空间中得到了严格的定义。完备空间的引入，使得我们能够讨论不动点定理（如 Banach 压缩映射定理）的应用前提。这一部分不仅是理论构建，更是为后续泛函分析等领域打下坚实的基础。 连续函数与等价性： 函数的连续性不再依赖于 $epsilon-delta$ 的定义，而是完全转化为对开集的像的描述。我们讨论了度量空间之间的同胚（Homeomorphism）概念，强调了拓扑性质在同胚下保持不变的重要性。 第二部分：拓扑空间的一般理论 在奠定了度量空间的直观理解后，我们开始抽象化，进入更一般、更本质的拓扑空间（Topological Spaces）。 拓扑的定义与构造： 拓扑空间的公理化定义是本章的重点。我们展示了如何通过指定一组满足特定条件的开集族来构造一个拓扑结构。此外，我们也详细讨论了子空间拓扑、商拓扑（Quotient Topology）和积拓扑（Product Topology）的构造方法及其重要应用，尤其是在构造复杂空间（如图形空间）时的有效性。 基础与稠密性： 引入了拓扑基（Basis）的概念，它提供了一种更简洁的方式来描述一个拓扑空间，即通过一组“基本开集”来生成整个拓扑。我们还分析了稠密子集（Dense Subsets）的意义，它们在“无限逼近”现有空间结构时扮演着关键角色。 连通性（Connectedness）： 连通性描述了空间是否可以被“分开”。我们从最直观的路径连通性出发，逐步过渡到更一般的拓扑连通性定义。讨论了连通集的性质，并重点研究了紧致性（Compactness）的概念。紧致性被定义为开覆盖可以被约化为有限子覆盖的性质，这是拓扑学中最强大也最难把握的概念之一。我们详细论证了 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 中的推广和重要性。 第三部分：连续性、积空间与商空间 本部分着重于处理映射和空间构造带来的拓扑变化，这些是理解复杂空间结构的关键。 连续映射与拓扑保持性： 重新审视了连续函数的拓扑定义，并探讨了连续映射如何保持拓扑性质（如连通性和紧致性）。我们详细研究了连续函数在紧致集上的性质，例如连续函数在紧致集上必能取到最大值和最小值。 积拓扑的深度剖析： 积空间（如 $mathbb{R}^2$ 或无穷多个空间的乘积）的拓扑性质往往是其组成空间拓扑性质的复杂组合。我们利用 Tychonoff 定理（作为紧致性的终极体现）来分析积空间的紧致性，并讨论了该定理在集合论基础中的地位。 商拓扑的应用与构造： 商拓扑的构建是构造新型拓扑空间的有力工具，尤其适用于将特定点或子集“粘合”起来形成新空间（例如圆环、球面等）。我们详细分析了商映射的连续性条件，并探讨了如何利用商拓扑来构造“等价类空间”。 第四部分：可数性、分离性和度量化 本部分关注拓扑空间中“良好行为”的特征，这些特征使得空间能够被更精细地研究，甚至重新赋予距离结构。 分离公理（Separation Axioms）： 我们系统地介绍了 $T_1, T_2$ (Hausdorff)、$T_3$ 和 $T_4$ (Normal) 等分离公理。Hausdorff 性质（即任意两点可被不相交的开集分开）被证明是理解拓扑空间局部结构的基本要求。 可数性条件： 讨论了可数紧致性、可数紧性、可分离性（Separable）和第一可数性（First Countable）等性质。特别是，我们探讨了第一可数性与局部底（Local Base）之间的联系，这是连接度量空间直观概念与一般拓扑空间的桥梁。 度量化问题（Metrizability）： 这是拓扑学中的一个重要课题：一个给定的拓扑空间何时可以被赋予一个度量，使其产生的拓扑与原有的拓扑一致？我们将介绍 Urysohn 度量化定理及其相关成果，展示在何种充分条件下，一个拓扑空间可以被视为一个度量空间的子空间。 结语 《拓扑学基础与应用》旨在提供一个坚实、深入且富有洞察力的拓扑学导论。本书的知识体系环环相扣，从度量空间的具体性出发，最终抽象到一般拓扑学的本质。掌握这些概念，不仅能为后续的微分几何、代数拓扑、泛函分析提供必要的语言和工具，更重要的是，它能培养读者对空间结构进行非线性、非量化思维的深刻能力。本书的习题设计力求多样化，既包含计算和证明的训练，也包含启发性的概念探索，鼓励读者在实践中巩固所学。

评分☆☆☆☆☆

按：不是书评，恰好读到这篇回忆文章，觉得写得很好。 [http://www.math.pku.edu.cn/xw/yyhn/zhangzhusheng.html] 怀念张筑生 本文由王垦原载于[天涯博客] 一、四川大学学习标兵 1962年我进入四川大学外语系，第一个听闻的人就是张筑生。当时四川大学正在大搞又红又专教育，树...  

评分☆☆☆☆☆

这本书一套三本，第一本主要是说实数、极限、连续、导数、积分与微分方程初步。 当年大一的时候教材就是这本，还记得初次接受到epsilon-delta语言，初次看到实数的构造，大开眼界。 当然，他采用的不是最“高大上”的观点，比如实数构造，没有从Peano自然数公理开始，没有用De...

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按：不是书评，恰好读到这篇回忆文章，觉得写得很好。 [http://www.math.pku.edu.cn/xw/yyhn/zhangzhusheng.html] 怀念张筑生 本文由王垦原载于[天涯博客] 一、四川大学学习标兵 1962年我进入四川大学外语系，第一个听闻的人就是张筑生。当时四川大学正在大搞又红又专教育，树...  

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这本书一套三本，第一本主要是说实数、极限、连续、导数、积分与微分方程初步。 当年大一的时候教材就是这本，还记得初次接受到epsilon-delta语言，初次看到实数的构造，大开眼界。 当然，他采用的不是最“高大上”的观点，比如实数构造，没有从Peano自然数公理开始，没有用De...

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最近我正在准备一个比较重要的数学考试，需要快速回顾和检验自己对核心概念的掌握程度。这时，**[图书名称]**就展现出了它作为“复习宝典”的价值。它的习题部分设计得非常巧妙，虽然数量不算特别庞大，但每一道题都直指某个核心定理的“阿喀琉斯之踵”。不像有些习题集堆砌大量重复性的计算题，这里的每一道练习题都像是一个“陷阱”的布置，考察你是否真正理解了定理的边界条件和适用范围。我发现，如果我能顺利地解答出这些题目，那么我对这部分内容的理解就基本达到了“炉火纯青”的境界。当然，这背后的代价是，你在阅读理论章节时必须全神贯注，因为书本不会给你第二次解释的机会。它就像一位严厉的导师，你必须自己去发现错误，自己去纠正误解，最终才能真正地将知识内化吸收，这种自我驱动的学习过程，是任何轻松阅读都无法带来的深度体验。

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这本《**[图书名称]**》真是让人又爱又恨的一本“神器”。我算是被它折磨了好一阵子，尤其是那些看似平易近人，实则暗藏杀机的概念和证明，简直是数学分析初学者的噩梦。我记得有一次，我花了整整一个下午，对着书本上关于“连续函数的一致连续性”的证明反复揣摩，试图理解那个$epsilon-delta$语言背后的直观意义。结果呢？越看越糊涂，感觉自己仿佛被困在一个由极限和上下确界编织的迷宫里。这本书的作者，似乎特别热衷于用最精炼、最抽象的方式来阐述理论，这对于那些习惯了循序渐进、需要大量实例铺垫的读者来说，无疑是一种巨大的挑战。每一次当我以为自己终于抓住了某个关键点时，下一页的内容又会用一个全新的视角把我打回原形。不过，说实话，一旦你咬紧牙关，熬过了最开始的阵痛，那种豁然开朗的感觉，那种征服了看似不可逾越的理论高峰的成就感，是其他任何科目都无法比拟的。它强迫你进行最严谨的逻辑思考，不留一丝一毫的含糊空间，这对构建扎实的数学思维框架是极其有效的，只是过程确实称得上是“痛苦并快乐着”。

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我手里拿到的这本**[图书名称]**，给我的第一印象是它的“硬核”。它绝对不是那种会耐心地牵着你的手带你一步步走过知识点的教材。更像是一本武林秘籍，把所有的内功心法和招式都浓缩在密密麻麻的公式和定理之中，等着有缘人去自行参悟。我特别欣赏它在推导过程中那种毫不拖泥带水的效率感。不像有些书，为了照顾初学者，会把每一步的中间过程都写得非常细致，反而冲淡了数学的本质美感。这本书则不然，它假设读者已经具备一定的基础，可以直接跳到核心的数学推理。举个例子，在讲述傅立叶级数的收敛性时，它给出的证明框架非常简洁有力，直击问题的关键——狄利克雷核的性质。这对于已经有一定基础，希望深入理解理论底层逻辑的人来说，是极大的福音。它不是一本让你“学会做题”的书，它是一本让你“理解数学为什么是这样”的书。缺点就是，如果你的基础不够扎实，这本书可能会让你感到挫败，因为它缺乏足够的“拐杖”。

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这本书给我的感觉，就像是走进了瑞士的一座精密钟表店。每一个齿轮的咬合，每一个游丝的摆动，都必须精确无误，否则整个系统就会停摆。我对比过其他一些更“现代”的分析教材，它们往往会引入更多的拓扑概念，试图将分析建立在一个更抽象的集合论框架之上，显得非常优雅。然而，**[图书名称]**则显得更加“脚踏实地”，它更专注于实数系统内部的结构，对拓扑的引入非常克制，几乎所有推导都紧紧围绕着 $mathbb{R}^n$ 上的距离和顺序展开。这对我个人的学习路径来说，起到了很好的“定锚”作用。它巩固了我对最基本概念的掌握，避免了在过早地陷入高维抽象时迷失方向。对我这种更偏爱经典分析方法论的人来说，它提供的视角是无可替代的。它不是最快的路径，但绝对是最坚实的地基。

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说实话，我在图书馆里翻阅过好几本同类型的分析教材，但**[图书名称]**的排版和符号习惯有一种独特的“老派”气质。它好像是从上个世纪的严谨学术传统中走出来的，透露着一股不容置疑的权威感。我特别注意到它在处理一些经典问题的切入点。比如在讨论黎曼积分的定义时，它对上和下Darboux和的描述，那种对“逼近”过程的精确控制，简直就是教科书级别的范例。我过去总是模模糊糊地理解积分是“面积”，但通过这本书的阐述，我才真正体会到“可积”这个词背后所蕴含的严格性——它要求你对任何可能出现的误差范围都能给出确定的界限。这种对细节的执着，让我在阅读时不得不放慢速度，甚至需要准备草稿纸来画图辅助理解。如果有人问我，哪本书能最直接地感受到经典数学分析的魅力与难度，我一定会推荐这本，因为它忠实地保留了数学美学中那种追求绝对精确的特质。

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记得那是五年前，在南开的书店，我读到数学中关于符号的写作，就是不理解，仔细阅读，就是不理解，现在理解了集合论中关于关于集合的表达可以表示定义和逻辑，很多问题就很好理解，函数序列不过是添加了一个关于自然数的参数的函数。五年后的今天，我越发理解《什么是数学》在数学里的地位，所有国内数学都会自觉不自觉遵守这本书的思想，因为那本书不仅讲数学，还讲哲学。。。关于国内的书，我们是不是要挑选基本好的书，我觉得没有必要，因为都是垃圾，都不适合思考，所以没有意义去探讨好坏，只有浪费时间

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谁说人家没在学习……

评分☆☆☆☆☆

深入浅出，关爱学生。而且确实是新讲，一些定理的证明是独创的，非常有意思。

评分☆☆☆☆☆

国内数分写得最好的一套

评分☆☆☆☆☆

讲得还是比较容易懂的，不过感觉貌似有些地方缺乏严谨？ 或者是我蒟蒻的原因吧，等二周目再说