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出版者:北京大学出版社

作者:潘承洞

出品人:

页数:333

译者:

出版时间:2002-6

价格:18.00元

装帧:平装

isbn号码:9787301055168

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• 复分析
• 群表示

好的，这是一本名为《高等数论基础》的图书简介。 --- 《高等数论基础》图书简介 引言：数字世界的深层结构 在数学的广阔疆域中，数论无疑是最古老、最迷人也最具挑战性的分支之一。它探究的是整数的内在性质、素数的分布规律以及数字之间的深刻联系。如果说初等数论揭示了数字表象下的基本规则，那么高等数论则深入到代数、几何和分析的交叉地带，揭示了数字世界更为隐秘和宏大的结构。 《高等数论基础》旨在为读者提供一个严谨而富有启发性的入门路径，系统地构建起理解现代数论的理论框架。本书的撰写核心理念是平衡理论的深度与可理解性，确保读者在掌握必要工具的同时，能深刻体会到数论思想的美妙与力量。我们相信，对于任何渴望探索抽象数学前沿，或需要应用数论知识于密码学、代数几何等领域的读者而言，本书将是一份不可或缺的指南。 第一部分：代数数论的基石 高等数论的首要基石是代数数论，它将数论的工具从有理数域 $mathbb{Q}$ 扩展到了更一般的数域，即代数数域。 1. 域扩张与环论基础： 本书从复习域论（Field Theory）的基本概念开始，重点关注域扩张（Field Extensions）的构造。随后，我们将深入探讨代数整数（Algebraic Integers）的概念，这是代数数论的核心对象。读者将学习如何构造和分析域中的代数整数环 $mathcal{O}_K$，并理解这些环与 $mathbb{Z}$ 之间的结构性差异。 2. 理想的分解与类域论的开端： 在 $mathbb{Z}$ 中，素数具有唯一分解性。然而，在一般的代数整数环中，这种性质往往会失效。本书详尽地阐述了理想（Ideals）的概念，并引入了“理想的唯一分解”这一替代性的、更强大的结构。我们将详细分析素理想（Prime Ideals）在扩展域中的分解律，包括惯性次数（Inertia Degree）、剩余度（Ramification Index）以及它们与域扩张次数之间的关系。 3. 判别式与单位群： 判别式（Discriminant）是衡量一个数域结构“好坏”的关键不变量。我们将推导出判别式的计算方法，并展示其在识别域扩张类型中的作用。随后，我们将聚焦于代数整数的乘法结构——单位群（Unit Group）。通过 Dirichlet 单位定理，我们将揭示单位群的有限生成性，并给出其结构（包含有限扭转部分和无限秩部分）的完整描述。这一部分是连接数论与代数拓扑的重要桥梁。 第二部分：解析数论的视角 解析数论利用复变函数论的强大工具来解决关于整数分布的深刻问题。本书将解析数论的引入处理得既具有历史启发性，又具有现代应用的指导性。 1. 黎曼 $zeta$ 函数的构造与性质： 本书将从最基本的数论恒等式出发，自然地引出黎曼 $zeta$ 函数 $zeta(s)$。我们将详细讨论其在复平面上的解析延拓，以及其关键的函数方程。读者将学习如何利用 $zeta$ 函数的零点分布来推断素数的统计规律。 2. 素数定理的证明骨架： 素数定理（Prime Number Theorem, PNT）是解析数论的里程碑。我们将构建 PNT 的证明框架，重点阐述 $zeta(s)$ 在 $ ext{Re}(s) = 1$ 处无零点的关键性。我们也将介绍更精细的估计，如余项的误差界限，让读者了解现代数论研究的精度要求。 3. Dirichlet L-函数与二次剩余： 为了处理更复杂的算术函数和模形式，我们需要更广义的工具——Dirichlet $L$-函数。本书将介绍 Dirichlet 特征（Characters）的概念及其性质，并构建相应的 $L$-函数。我们将应用这些工具来证明著名的 Dirichlet 素数定理，即证明任意素数次序的算术级数中存在无穷多个素数。 第三部分：函数域上的类比与展望 为了深化对数论结构的理解，本书引入了函数域上的类比，这不仅为证明提供了更强的工具，也为未来的研究指明了方向。 1. 有限域上的黎曼-洛赫定理： 我们将简要介绍有限域上的代数曲线和函数域的概念。函数域上的黎曼-洛赫定理提供了一个与代数曲线上的度量和线性系统相关的深刻结果，它在数论中的类比——Weil 猜想（虽然本书不深入证明 Weil 猜想本身），为理解数域上的结构提供了强大的几何直觉。 2. 模空间与算术几何的初步接触： 最后，本书会提供一个展望性的章节，将我们所学的代数数论和解析数论工具连接起来，初步接触更前沿的领域。我们将简要讨论模形式（Modular Forms）在黎曼曲面上的自同构性质，以及它们如何通过 Eichler-Shimura 对应等途径，在数域的 $L$-函数与自守表示之间建立起桥梁。这部分内容旨在激发读者对更高深理论的兴趣。 本书特色与目标读者 《高等数论基础》的结构设计旨在促进理论的系统性掌握和知识的融会贯通。 严谨的论证： 所有核心定理均提供完整且详细的证明，注重概念的清晰界定。 丰富的例题： 书中穿插了大量的具体计算实例，尤其是在二次域和高斯整数环上的例子，帮助读者将抽象概念具体化。 现代视角： 不仅涵盖经典成果，也适度引入了现代数论研究中常用的工具和视角，为后续学习奠定基础。 本书适合于数学系本科高年级学生、研究生，以及对深入理解数论有浓厚兴趣的科研人员。读者需要具备扎实的抽象代数（群、环、域）和复变函数的基础知识。掌握这些基础，读者便能从容地驾驭代数数论和解析数论的宏大叙事。 ---

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这本《模形式导引》的装帧设计简直是艺术品，封面那种低调奢华的质感，拿在手里沉甸甸的，就让人对里面的内容充满了期待。我原本以为这是一本晦涩难懂的纯数学著作，但翻开目录后才发现，作者的编排思路非常清晰，从基础的数论概念娓娓道来，逐步引入到更复杂的模形式理论。尤其是一些历史背景的穿插，让枯燥的公式和定理变得鲜活起来，仿佛能看到那些数学巨匠们探索真理时的挣扎与喜悦。我特别喜欢它在引入椭圆函数和黎曼曲面时的那种循序渐进，没有直接抛出那些令人望而却步的定义，而是通过几何直观来建立理解的桥梁。对于我这种自学数论的爱好者来说，这本书简直是及时雨，它不像很多教科书那样只注重推导的严谨性，而是花了大量的篇幅去解释“为什么”要研究这些，背后的深层联系是什么。读完前三章，我已经对整个模形式的宏伟蓝图有了一个初步的认识，那种豁然开朗的感觉，是其他几本我读过的入门书籍无法比拟的。我感觉作者真的下了苦功，把一个复杂到极致的领域，用如此雅致且富有洞察力的方式呈现出来，这份匠心，值得每一个数学学习者珍藏。

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我收藏了很多本关于数论的书，但《模形式导引》无疑是其中最让我感到“物超所值”的一本。它的学术价值毋庸置疑，但更难得的是它在教学上的平衡感。比如，在介绍Hecke特征子空间理论时，作者用了好几页篇幅来解释为什么这些算子被称为“特征子空间”，而不是简单地给出一个算子定义就草草了事。这种对命名背后含义的挖掘，对于建立深层理解至关重要。此外，书末附带的几组拓展练习，设计得非常巧妙，它们不是那种简单的计算题，而是引导读者去思考理论的边界和潜在的应用方向，每一组练习都像是给读者布置了一个微型的研究课题。我花了两周时间才完全消化了关于模形式族和模空间构造的那一部分，收获巨大。这本书的语言风格沉稳大气，没有华丽的辞藻，但字里行间透露出作者对整个领域结构的高度掌控力。它就像一位耐心的导师，手把手地将你引向数学的深处，而不是把你推入迷雾之中。

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坦白说，我购买这本书之前是有些犹豫的，因为它在某些圈子里被认为是“难度偏上”的读物。然而，实际阅读后发现，这种难度并非源于故弄玄虚，而是源于主题本身的深度。作者在处理模形式与L函数之间的联系时，展现了一种惊人的洞察力。他没有直接抛出Weil猜想的结论，而是巧妙地引导读者去体会为什么这些形式具有如此强大的解析性质，以及它们与数论的交汇点到底在哪里。这本书的精髓在于其“连接”的能力，它将傅里叶分析、复分析、表示论的元素巧妙地编织在一起，形成了一个统一的理论框架。我特别欣赏作者在探讨模形式乘法性时的那种谨慎和精确，每一步的量化分析都做得无懈可击。对于我这样希望从解析数论转向代数数论过渡的研究生来说，这本书提供了一个完美的“中转站”，它既保持了数学的严谨，又兼顾了应用层面的可解释性，绝不是那种只有少数专家才能理解的“天书”。

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老实说，这本书的行文风格非常英式，带着一种独特的、略显疏离的严谨美学。初看起来，每一句话都像是经过了千锤百炼的，逻辑链条短小精悍，但支撑的却是庞大的数学结构。我个人对证明的细节要求很高，而《模形式导引》在这方面做得非常出色，很多关键的引理和定理的证明过程，它没有像某些教材那样直接跳过，而是清晰地展示了每一步的逻辑支撑，哪怕是复杂的积分变换和变换性质的推导，也处理得井井有条。我花了整整一个下午来啃第五章关于自守形式的性质，里面的细节处理得极其到位，特别是对 $Gamma_0(N)$ 和 $Gamma_1(N)$ 模群的讲解，结合了具体例子，让抽象的群论概念有了实在的落脚点。唯一让我感到一点点吃力的地方，可能是对某些代数几何背景的假设略高，对于完全没有接触过现代代数几何的读者来说，可能需要频繁查阅其他参考书来补足基础。但即便如此，这本书的价值依然无可替代，它提供了一种“深入腹地”的视角，而不是停留在表面现象的描述。对于有一定基础，想要真正进入研究领域的读者，这本书无疑是一扇坚实的门户。

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这本书的排版和图示运用，简直是教科书设计界的典范。在讲解像库斯默尔积分或者模尖点结构这类视觉化难度极高的内容时，作者没有吝啬于使用高质量的插图。比如，关于模曲面的图示，那些复杂的拓扑结构被用非常清晰的线条和标注展现出来，即便是那些在复平面上扭曲变形的映射，也能通过辅助线索被准确把握。这种对视觉呈现的重视，极大地减轻了理解抽象概念的认知负担。我印象最深的是对费德曼链（Feder-chain）的介绍，作者用了一个对比鲜明的图例，生动地展示了不同素数因子对模形式行为的影响，这比纯文字描述要直观一万倍。另外，书中的参考文献列表也相当详尽且具有权威性，涵盖了从经典Hardy-Littlewood时期到现代Wiles证明前夜的关键文献，这使得这本书不仅是一本教材，更像是一份高质量的研究综述。阅读体验非常流畅，我甚至愿意花时间去重现书中的每一个图表，因为它们本身就是一种学习。

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相当糟糕 乱七八糟 无主线

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费马猜想的证明的一个工具书籍。

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