成人高等教育专科升本科-微分几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787535142283

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《微分几何：从零到精通》 本书是一部面向成人高等教育专科升本科层次的数学入门与进阶教材，旨在为读者构建扎实的微分几何理论基础，并引导其深入理解和掌握相关分析方法。全书以清晰的逻辑脉络、详实的数学推演和丰富的应用实例，力求将抽象的几何概念具体化，将复杂的计算过程条理化，让学习者能够由浅入深，循序渐进地掌握微分几何的核心内容。 内容概览： 本书的编排紧密贴合成人高等教育的教学需求，考虑到了学习者的已有知识背景和学习特点，力求在保证科学严谨性的同时，提升学习的可读性和实践性。 第一部分：基础概念与空间几何 引言：几何学的演进与微分几何的地位 简要回顾欧几里得几何、解析几何的发展历程，阐述微分几何作为现代几何学分支的崛起及其在物理学、工程学等领域的关键作用。 明确本书的学习目标和适用范围，帮助读者建立学习的预期。 曲线的微分几何 参数方程与曲线描述： 深入讲解参数方程在描述三维空间曲线中的作用，包括切向量、法向量、副法向量等基本概念的引入。 曲率与挠率： 详细推导曲率和挠率的计算公式，并通过大量算例展示它们如何刻画曲线的弯曲程度和扭转程度。 弗雷内标架与弗雷内公式： 引入弗雷内标架作为描述曲线局部几何性质的有力工具，深入理解弗雷内公式及其在曲线分类和性质分析中的应用。 特殊曲线的几何性质： 分析螺旋线、球面曲线等常见特殊曲线的几何特性，例如恒定挠率螺旋线的性质。 曲面的微分几何 曲面的参数表示与第一基本形式： 学习如何用参数方程表示曲面，并掌握第一基本形式在度量曲面上长度、角度和面积中的作用，理解曲面的等度规性质。 曲面的第二基本形式： 引入第二基本形式，深入研究曲面的法曲率、主曲率、平均曲率和高斯曲率。理解这些曲率概念如何描述曲面的局部弯曲特性。 曲面的等温线与测地线： 探讨曲面上的等温线概念，并重点讲解测地线的定义、性质及其在曲面几何中的重要性，例如球面上的测地线即大圆。 曲面的等度规与等距映射： 分析曲面的等度规性质，以及等距映射在保持曲面几何性质方面的意义。 第二部分：微分几何的分析方法与理论深化 张量分析基础 张量的定义与运算： 引入张量的概念，包括张量的指标表示、协变与逆变张量，以及张量的加法、减法、乘法和收缩等基本运算。 度量张量与张量场的微分： 讲解度量张量在定义曲面上距离和角度中的核心作用，以及张量场的梯度、散度和旋度等微分算子。 协变导数： 深入理解协变导数，它是度量曲面上向量场和张量场变化率的关键工具，与欧氏空间中的梯度概念有所不同。 黎曼几何入门 黎曼流形与黎曼度量： 将曲面的概念推广到高维的黎曼流形，引入黎曼度量作为定义流形上度量的基本工具。 克里斯托费尔符号与黎曼曲率张量： 学习如何从黎曼度量计算克里斯托费尔符号，并进一步导出黎曼曲率张量，它是描述黎曼流形内禀曲率的根本。 里奇张量与斯卡拉曲率： 介绍黎曼曲率张量的缩并运算，得到里奇张量和斯卡拉曲率，它们是刻画流形整体曲率的重要指标。 微分形式与积分 外代数与外微分： 引入微分形式的概念，学习外积、外微分等基本运算，为积分运算提供更强大的理论支撑。 斯托克斯定理及其推广： 深入理解并掌握斯托克斯定理及其在二维和三维空间中的推广形式，认识微分形式在曲面积分和体积积分中的威力。 第三部分：微分几何的应用与展望 微分几何在物理学中的应用 广义相对论： 阐述微分几何，特别是黎曼几何，如何成为描述时空几何和引力的数学语言，例如爱因斯坦场方程的几何解释。 经典力学与场论： 探讨拉格朗日力学、哈密顿力学以及电磁场理论中的几何结构。 微分几何在工程与计算机科学中的应用 计算机图形学与几何建模： 介绍微分几何方法在曲面建模、网格生成、形状分析等方面的应用。 机器人学与路径规划： 探讨机器人在复杂环境中导航和路径规划时，如何利用微分几何的理论。 前沿课题与学习方向 简要介绍一些微分几何的前沿研究方向，如非欧几何、拓扑学与几何的交叉等，为有志于深入研究的读者指明方向。 本书特色： 循序渐进的难度设计： 从基础概念出发，逐步引入复杂理论，确保不同基础的学习者都能跟上。 丰富的例题与习题： 每章都配有大量计算例题和概念辨析题，以及一定数量的综合性习题，帮助巩固所学知识。 注重概念理解： 强调对几何直观和数学原理的深刻理解，而非死记硬背公式。 应用导向： 通过展示微分几何在各领域的应用，激发学习兴趣，体会数学的实用价值。 本书适合正在攻读专科升本科的数学、物理、工程类专业的学生，以及对微分几何有浓厚兴趣的自学者。通过系统学习本书，读者将能够建立起坚实的微分几何理论体系，为进一步的专业学习和研究打下坚实的基础。

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这本书的配图和图示部分，虽然数量上可能不如一些纯粹的几何学导论教材那样铺天盖地，但其质量绝对是上乘的。每一次空间维度的变化，每一次曲面的描绘，都力求精准地传达出数学对象的几何直观。这些图例不仅仅是装饰，它们是理解抽象定义的关键桥梁。作者在引入复杂概念时，总会配上一个简洁而有力的示意图，帮助我们的大脑快速建立起三维或更高维度的空间想象。尤其是涉及到张量和微分形式时，图示的辅助作用更是不可替代，它有效地弥补了纯文字描述在空间感上的不足，让抽象的代数运算与具体的几何形态紧密结合起来。

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在习题设计的方面，这本书的深度和广度拿捏得恰到好处，充分体现了“专科升本科”这一应用导向的定位。练习题种类丰富，涵盖了从基础概念验证到复杂证明的各个层次。值得称赞的是，它没有一味追求难题怪题的数量，而是更注重考察学生对核心思想的掌握程度。对于那些核心定理的理解，总能找到相对应的、巧妙的练习来加以巩固。如果说有什么遗憾，或许是部分中等难度习题的详细解答略显简略，对于自学时遇到瓶颈的读者来说，可能需要借助其他资源来辅助理解证明过程的中间步骤，但这或许也是为了鼓励读者独立思考的策略吧。

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这本书的语言风格是我在众多高等数学教材中体验过最为独特的一种。它不是那种冷峻的、纯粹的数学语言，而是带有一种鼓励和对话的语气。作者似乎在努力与读者建立一种亦师亦友的关系，用一种相对人性化的方式解释那些抽象的数学概念。有些地方的叙述，甚至带有一丝哲学的韵味，引导读者去思考数学背后的意义，而不仅仅是记住公式。这种深入浅出的表达方式，极大地激发了我继续阅读下去的兴趣。很多复杂问题的讲解，通过作者精妙的比喻和类比，一下子就变得清晰起来，仿佛拨开了笼罩在概念上的迷雾，让人有豁然开朗之感。

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这本书的装帧和排版确实让人眼前一亮，封面设计简洁却富有设计感，一看就是精心打磨过的。拿到手沉甸甸的，纸张的质感也相当不错，阅读体验很舒适，长时间翻阅也不会感到疲劳。尤其是一些关键公式的印刷，清晰锐利，这一点对于需要反复推敲数学细节的读者来说至关重要。装帧的牢固度也看得出来是下了功夫的，估计能经受住多次翻阅和携带。不过，我个人稍微期待在插图上能有更多色彩的运用，毕竟几何学是如此直观的学科，适度的彩色图示或许能帮助更好地理解空间结构。整体而言，从物理层面上讲，这本书的制作水准无疑是属于上乘的，摆在书架上也算是一件赏心悦目的物品。

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这本书的逻辑结构安排得非常巧妙，作者似乎花了很多心思来组织章节的递进关系。它不像某些教科书那样，上来就抛出大量晦涩的定义和定理，而是采用了一种循序渐进的引导方式，让人感觉每一步的攀登都是有迹可循的。从基础的拓扑概念到后来的流形结构，过渡得非常自然流畅，很少出现那种“为什么突然跳到这里”的困惑感。这种精心构建的知识脉络，极大地降低了初学者入门的心理门槛。我尤其欣赏它在每部分收尾时提供的“回顾与展望”部分，清晰地梳理了本章的核心思想，并为下一阶段的学习做了必要的铺垫，显示出作者深厚的教学功底和对学科整体把握的清晰度。

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