计算反演问题中的优化与正则化方法及其应用 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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页数:350

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出版时间:2010-5

价格:79.00元

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isbn号码:9787040285154

丛书系列:

图书标签:

计算反演
优化算法
正则化方法
反演问题
数值分析
应用数学
信号处理
图像重建
机器学习
科学计算

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具体描述

《计算反演问题中的优化与正则化方法及其应用》内容简介：Optimization and Regularization for Computational Inverse Problems and Applications focuses on advances in inversion theory and recent developments with practical applications, particularly emphasizing the combination of optimization and regularization for solving inverse problems. This book covers both the methods, including standard regularization theory, Fejer processes for linear and nonlinear problems, the balancing principle, extrapolated regularization, nonstandard regularization, nonlinear gradient method, the nonmonotone gradient method, subspace method and Lie group method; and the practical applications, such as the reconstruction problem for inverse scattering, molecular spectra data processing, quantitative remote sensing inversion, seismic inversion using the Lie group method, and the gravitational lensing problem.

Scientists, researchers and engineers, as well as graduate students engaged in applied mathematics, engineering, geophysics, medical science, image processing, remote sensing and atmospheric science will benefit from this book.

深入解析复杂系统中的信息恢复与结构辨识：基于先进算法的视角本书聚焦于在数据稀疏、噪声干扰或模型不完全清晰的复杂系统中，如何有效地从观测数据中恢复出系统的真实状态、潜在结构或内部参数。本书旨在为研究人员、工程师和高级学生提供一个全面、深入的理论框架和实践指导，涵盖从基础数学原理到尖端计算方法的演进历程。我们生活在一个数据爆炸的时代，但很多关键信息往往隐藏在海量、不完整或失真的数据背后。从医学影像的清晰化、地球物理勘探的数据成像，到金融市场的风险预测，再到大规模工程系统的状态监测，核心挑战都指向信息反演和结构辨识的难题。这类问题通常表现为病态性（Ill-posedness），即微小的观测误差可能导致解的巨大偏差，或者存在多个输入对应于相同的输出，使得唯一解难以确定。本书系统地梳理了处理此类病态问题的核心策略，将重点放在算法的设计、分析与应用上，而非专注于单一领域的问题建模。 --- 第一部分：病态反演问题的理论基础与建模本部分为后续高级方法的理论铺垫，强调从数学上如何理解和量化反演问题的困难性。 1.1 反演问题的分类与数学表征：详细阐述了线性与非线性反演问题在数学上的定义。线性问题通过雅可比矩阵或核函数来描述，重点分析其奇异值分解（SVD）结构如何揭示问题的病态程度。对于非线性问题，讨论了迭代线性化的局限性以及如何通过一阶或高阶泰勒展开来近似局部线性结构。 1.2 病态性的量化与影响分析：深入探讨了条件数、谱间隙与解的稳定性之间的关系。书中特别引入了信息论的视角，探讨了数据信息的有效维度（有效秩）与模型自由度之间的平衡，解释了为什么直接的最小二乘解在病态情况下会失败，因为它过度拟合了噪声。 1.3 数据的先验信息与模型约束：强调了在信息不足时，引入外部知识（先验信息）的重要性。这部分内容将先验知识分为两大类：数据空间约束（如平滑性、稀疏性）和参数空间约束（如物理可解释性、边界条件）。我们对比了贝叶斯框架下先验分布的构建与经典约束方法在实际应用中的异同。 --- 第二部分：经典正则化方法的深入剖析本部分是本书的核心，详细介绍了历史上发展起来的、至今仍广泛应用的正则化技术及其数学推导和收敛性分析。 2.1 谱截断与Tikhonov正则化：详细分析了Tikhonov正则化的几何意义和谱截断方法的对比。重点阐述了正则化参数 $lambda$ 的选择策略，包括经典的L曲线法（L-Curve）、广义交叉验证（GCV）以及偏差-方差权衡（Bias-Variance Trade-off）的解析。 2.2 稀疏性驱动的正则化：$L_1$范数与Basis Pursuit：针对数据或模型参数具有内在稀疏性的场景，本书深入讲解了 $L_1$ 范数（LASSO的理论基础）如何促进稀疏解的产生。理论部分会严谨论证 $L_1$ 范数在凸优化中的次梯度方法，并介绍如何通过松弛（Relaxation）技术将其应用于连续优化问题。 2.3 结构引导的正则化：Total Variation (TV) 与张量方法：在图像处理和信号处理中，保持边缘和结构信息至关重要。本书详细介绍了Total Variation (TV) 正则化，即最小化梯度的 $L_1$ 范数，如何有效去除噪声而保留阶跃不连续性。同时，拓展到更高维度的结构保持，如各向异性TV和张量分量分析（Tensor Decomposition）在多维数据恢复中的应用。 --- 第三部分：现代迭代求解器与算法加速传统的正则化方法往往需要解一个大型的线性系统或进行复杂的非光滑优化，本部分聚焦于高效的迭代求解技术。 3.1 近端梯度方法（Proximal Gradient Methods）：系统性地介绍了加速近端梯度（FISTA）算法及其在处理结构化正则项（如 $L_1$ 或 TV）时的优势。书中提供了这些方法在凸函数和结构化非凸函数上的收敛速度的严格证明。 3.2 乘子交替方向法 (ADMM) 与其变体： ADMM因其出色的可扩展性和并行性，已成为处理大规模约束优化问题的首选方法。本书详细讲解了ADMM如何将一个复杂问题分解为若干个易于求解的子问题，特别是在处理带有稀疏性约束（如Split Bregman）和大规模矩阵分解中的应用。 3.3 随机化方法与大规模数据处理：当数据集过于庞大，无法一次性载入内存时，随机梯度下降（SGD）及其变体成为关键。本章讨论了随机正则化问题的处理，如随机梯度下降的收敛性分析，以及如何在正则化项中引入随机性以提高计算效率（Stochastic Proximal Point Methods）。 --- 第四部分：非凸优化与深度学习视角下的反演近年来，非凸正则化（如SCAD, MCP）和深度学习模型作为强大的函数逼近器，在反演问题中展现出巨大潜力。 4.1 非凸正则化与精确稀疏性恢复：讨论了为何 $L_1$ 范数在理论上存在偏置（Bias），并引入了如SCAD（Smoothly Clipped Absolute Deviation）和MCP（Minimax Concave Penalty）等非凸惩罚项。重点分析了这些非凸函数下的优化算法设计，如迭代收缩阈值算法（ISTA）的非凸推广。 4.2 深度学习作为正则化器：将深度神经网络视为一个高度非线性的先验模型。书中介绍了几种主流的基于学习的反演框架：可学习的迭代（Learned Iterative Methods）：将传统迭代算法的每一步映射到神经网络层。深度无监督反演（Deep Unrolling）：将传统正则化问题的结构“展开”到网络结构中，利用迭代的物理意义指导网络设计。生成模型在反演中的应用：利用生成对抗网络（GANs）或变分自编码器（VAEs）学习高维数据流形，并在流形上寻找最佳解。 --- 结语与展望全书最后总结了不同方法在计算复杂度、解的精度和对先验信息的依赖程度上的权衡。我们展望了可解释性AI在反演问题中的未来角色，以及量子计算对病态系统求解的潜在颠覆性影响。本书力求在理论深度与工程实用性之间搭建坚实的桥梁，为读者提供一套解决复杂反演挑战的“工具箱”。