Inversion Theory and Conformal Mapping pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:David E. Blair

出品人:

页数:118

译者:

出版时间:2000-8-17

价格:USD 22.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821826362

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

• 数学
• 微分几何7
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《复数世界中的几何变幻：非欧几何与拓扑洞见》 本书并非关于“反演理论与共形映射”的著作。它是一次穿越数学抽象边界的探索，聚焦于那些塑造我们对空间、形状及连接方式理解的深层原理。本书将引导读者步入一个丰富而迷人的数学领域，这里，几何不再局限于欧氏平面，而是在更广阔的视角下展现其内在的张力与活力。 第一部分：超越欧氏疆域——非欧几何的黎明 在数学史的长河中，欧几里得几何曾是定义“空间”的唯一范式。然而，正如每一次科学革命都会打破既有的桎梏，数学家们也开始质疑其公理体系的绝对性，特别是第五公设——平行公理。本书的第一部分，我们将追溯非欧几何诞生的思想火花。 第五公设的幽灵与高斯、波尔约、罗巴切夫斯基的远见：我们将深入探讨平行公理的“独立性”问题，以及它如何激发了三位伟大的数学家——卡尔·弗里德里希·高斯（虽然他的研究成果并未公开发表，但其思想的超前性不容忽视）、扬什·鲍约艾（János Bolyai）和尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）——独立地构建出与欧氏几何截然不同的几何系统。我们将重点解析双曲几何（Hyperbolic Geometry）的基本概念。在双曲空间中，过直线外一点有无数条直线与已知直线平行，这带来了与我们直觉相悖但逻辑自洽的几何性质。我们将通过类比和可视化手段，帮助读者理解曲率的概念，以及负曲率空间是如何运作的。 黎曼几何的壮丽画卷：如果说罗巴切夫斯基和鲍约艾为我们打开了负曲率的大门，那么贝尔恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）则以他非凡的洞察力，构筑了一个更为普适的几何框架——黎曼几何。本书将阐述黎曼几何的核心思想，即通过度量张量（metric tensor）来定义空间上的距离和角度。我们将探索正曲率空间（如球面几何）和零曲率空间（欧氏空间）在黎曼框架下的统一表达。读者将了解到，黎曼几何不仅仅是关于空间形态的描述，更是为物理学（尤其是广义相对论）奠定了坚实的数学基础。我们将简要介绍测地线（geodesics）、曲率张量（curvature tensor）等关键概念，并说明它们如何在描述弯曲时空中物质和能量的相互作用中扮演核心角色。 直观的类比与模型的构建：为了让抽象的非欧几何概念更加生动，我们将引入一系列直观的类比和模型。例如，通过对球面上的“直线”（大圆弧线）的分析，来理解正曲率几何的奇特性。对于双曲几何，我们将介绍庞加莱圆盘模型（Poincaré disk model）和庞加莱半平面模型（Poincaré half-plane model），这些模型虽然存在视角上的扭曲，但它们能够有效地展示双曲空间中的点、线、角度和距离关系，展现出平行公理失效后的丰富可能性。 第二部分：形变的艺术与连接的本质——拓扑学的深层洞见 在非欧几何探索空间结构的本质之后，拓扑学则将我们的目光引向了那些在连续形变下保持不变的性质。它研究的是“连续性”和“连通性”，是空间中那些“不会因为拉伸、压缩、弯曲而改变”的根本属性。 从橡皮泥到咖啡杯：拓扑等价与不变量：拓扑学最核心的概念之一是“拓扑等价”。本书将解释，两个物体在拓扑学意义上是等价的，如果它们可以通过连续的形变（允许拉伸、弯曲，但不能撕裂或粘合）相互转化。最经典的例子莫过于一个甜甜圈（torus）和一个咖啡杯，它们在拓扑上是等价的，因为它们都只有一个“洞”。我们将深入探讨这些“洞”（连通分支、手柄等）是如何成为拓扑不变量（topological invariants）的，即它们在任何连续形变下都不会改变。 欧拉示性数与嵌入式形状：我们将介绍欧拉示性数（Euler characteristic）这一重要的拓扑不变量。对于二维多面体，欧拉示性数为V - E + F（顶点数减边数加面数），它与多面体的“亏格”（genus，即洞的数量）密切相关。我们将展示如何利用欧拉示性数来区分不同拓扑类型的物体，例如球面（亏格为0）和甜甜圈（亏格为1）。本书还将触及嵌入式形状的拓扑性质，例如二维曲面在三维空间中的行为。 同胚与同伦：连接性的不同层面：在拓扑学中，“同胚”（homeomorphism）描述了两个空间在拓扑上是“相等”的，即存在一个双连续映射将一个空间映射到另一个空间。在此基础上，我们还将介绍“同伦”（homotopy）的概念，它描述了两种连续路径或映射之间的“连续形变”关系。理解同伦对于分析函数的连续性、研究群论以及在代数拓扑中构建更复杂的结构至关重要。 肠结与缝合：从离散到连续的桥梁：本书将通过一些生动有趣的例子，例如不同类型的肠结（knots）和缝合（links），来展示拓扑学在离散结构和连续形状之间建立联系的能力。我们将探讨如何定义和区分不同的肠结，以及它们在数学和物理（如DNA分子结构研究）中的潜在应用。 第三部分：数学的交汇点——跨学科的启示 非欧几何和拓扑学并非孤立的数学分支，它们与数学的其他领域，以及其他科学领域，都存在着深刻的联系。本书的第三部分将探讨这些交汇点，揭示它们在更广阔的知识图景中的位置。 微分几何的融合：我们将简要介绍微分几何（Differential Geometry）的概念，它将微积分的工具应用于研究光滑的曲线、曲面和流形。非欧几何的曲率概念以及拓扑学中的连续性，都是微分几何研究的重要课题。本书将说明，微分几何是如何将解析性的方法与几何直觉相结合，来精确描述弯曲空间的性质。 代数拓扑的视角：代数拓扑（Algebraic Topology）是拓扑学的一个分支，它利用代数工具（如群论）来研究拓扑空间。我们将简要介绍代数拓扑的思想，例如如何通过同调群（homology groups）来刻画空间的“洞”的数量和类型。这为量化拓扑性质提供了强大的数学语言。 物理学中的投影与隐喻：非欧几何是现代物理学，特别是爱因斯坦的广义相对论的基石，它描述了引力是如何由时空的弯曲引起的。我们将简要探讨这一联系，说明在广义相对论中，时空是一个黎曼流形，其曲率决定了物体的运动轨迹。同时，拓扑学也在粒子物理学、弦理论等领域扮演着越来越重要的角色，例如在描述基本粒子的内在对称性以及宇宙的拓扑结构方面。 可视化与直觉的挑战：在探索这些抽象的数学概念时，可视化和直觉往往会面临挑战。本书将鼓励读者以开放的心态去拥抱这些挑战，并通过一系列思考题和讨论，帮助读者建立起对这些非直观数学对象的深刻理解。我们将强调，数学的进步往往来自于对传统直觉的超越。 《复数世界中的几何变幻：非欧几何与拓扑洞见》旨在为读者提供一个关于空间、形状和连接本质的全新视角。它邀请您一同踏上这场智力冒险，去感受数学的严谨之美，去探索超越日常经验的数学真理，并从中获得对我们所处世界更深层次的洞察。这本书的阅读之旅，将是一次对思维疆域的拓展，一次对数学想象力的激发。

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这本书的写作风格异常的坦诚与务实，完全没有那种故作高深的架子。作者在处理一些公认难度较高的部分时，并没有直接抛出最终结论，而是采取了一种“对话式”的讲解方式，仿佛他正坐在你身边，耐心地为你拆解那些复杂步骤。我特别欣赏他在脚注中穿插的一些“思考题”和“延伸讨论”，这些内容往往不直接出现在正文主线中，但对于拓展思维却至关重要。例如，关于某个特定积分方法的探讨，书中就提供了一个全新的视角，这让我在解决实际问题时找到了新的突破口。总的来说，这本书更像是一位经验丰富的导师，它不仅传授知识，更重要的是，它在培养你的数学思维方式，鼓励你跳出既有的框架去审视问题。

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初读这本书时，我最大的感受是其内容的严谨性几乎达到了吹毛求疵的地步。作者似乎对每一个定义和定理都进行了近乎偏执的审视，确保了推导过程的每一步都无懈可击。这对于需要扎实基础的研究者来说，简直是福音，因为它极大地减少了读者在自我验证和寻找潜在漏洞上花费的精力。书中大量的插图和图解，并非简单的装饰，而是精妙地服务于抽象概念的可视化，例如在讲解拓扑结构变化时，那些辅助图形的运用简直是点睛之笔，帮助我瞬间理解了那些原本难以捉摸的空间变换。我发现自己不得不放慢阅读速度，因为每一个定理的证明后面都隐藏着深厚的数学直觉，如果只是走马观花，恐怕会错过太多精髓。这本书更像是一部需要“慢读”的经典，它要求读者带着敬畏之心去品味数学家们的智慧结晶。

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这本书的结构安排体现了一种精妙的平衡艺术。它似乎在努力兼顾理论的深度和教学的广度。前半部分对基础概念的回顾和系统化整理，扎实得让人安心，即便是稍有生疏的读者也能迅速找回感觉。然而，当进入到更复杂的章节时，作者的笔锋骤然变得锐利起来，开始深入探讨一些前沿和非标准的应用领域。这种渐进式的难度提升，使得整本书读起来张弛有度，不会让人在前半段感到冗余，也不会在后半段感到力不从心。我尤其喜欢其中对不同学派观点进行比较和评述的部分，它没有简单地偏袒任何一方，而是客观地展示了每种方法的优缺点，这种学术上的公正性，极大地提升了阅读体验。它不是一本只顾“教你做题”的工具书，而是一部引导你“理解世界”的知识宝库。

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这本书的装帧设计实在让人眼前一亮，那种沉稳的深蓝色搭配烫金的书名，透露出一种古典与现代交织的学术气息。我拿到手时，就忍不住翻开了扉页，印刷的质量非常考究，纸张的触感细腻而有分量，即便是长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳。作者在引言部分对于学科发展脉络的梳理，清晰且富有洞察力，他不仅勾勒出了该领域的核心概念，更巧妙地将读者带入了一个充满逻辑美感的数学世界。我尤其欣赏其中对早期数学家们如何一步步构建起这些复杂理论的叙述，那种历史的厚重感，让枯燥的公式似乎都有了生命。虽然我对某些高级部分的理解还需要反复咀嚼，但这本书的整体编排节奏把握得非常好，每一个章节之间的过渡都显得自然而然，让人有种被温和地引导着深入迷宫的感觉，而不是被突然推入深渊。它无疑是为那些真正热爱数学的读者准备的，每一页都充满了可以反复品味的知识点。

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从一个实际应用角度来看，这本书的理论深度远超我的预期，这让我有些惊喜。虽然它主要聚焦于纯粹的数学构建，但书中不时出现的对物理学、工程学领域中相关概念的隐晦提及，极大地拓宽了我的视野。我发现自己开始思考，那些抽象的变换究竟如何在更宏观的尺度上影响我们的世界。该书的参考文献列表异常详尽且具有时代代表性，这为进一步的学术深挖提供了坚实的跳板。如果你想了解某一特定问题的历史起源和后续发展，这本书的索引和引用系统能帮你快速定位到关键的文献。对我而言，它已经超越了一本教科书的范畴，更像是一份详细的地图，标示了通往更深层次知识殿堂的几条主要路径，每条路径都充满了挑战，但也预示着丰厚的学术回报。这本书要求投入时间，但它所给予的回报是无可估量的。

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本科时看的，研究Mobius变换的兴趣和双曲几何成功挂钩

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