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出版者:Dover Pubns

作者:Johnson, Roger A.

出品人:

页数:336

译者:

出版时间:2007-8

价格:$ 20.28

装帧:Pap

isbn号码:9780486462370

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微分几何7
• 几何学
• 欧几里得几何
• 高级几何
• 数学
• 竞赛数学
• 几何证明
• 三角形
• 圆
• 几何问题
• 数学教材

《欧几里得的现代回响：平面几何的深度探索与创新视角》 这是一本旨在带领读者深入欧几里得平面几何世界，并在此基础上进行创新性探索的著作。本书并非对古老公理体系的简单复述，而是以一种现代的、富有洞察力的视角，重新审视和解读了那些奠定了我们对空间和形状认知基础的经典理论。全书围绕着“深度”与“创新”两大主题展开，旨在为读者提供一个扎实而又充满活力的几何学习体验。 第一部分：回溯经典，重塑基石 在开始对现代几何学的深入探讨之前，我们首先要对欧几里得几何的精髓进行一次彻底的回顾与再理解。这部分内容将不仅仅是定理的罗列，而是着重于理解这些定理背后的逻辑推理、几何直觉以及它们之间的内在联系。 公理体系的哲学深度：我们将超越简单的接受，去审视欧几里得几何的五条公理，特别是平行公理。我们将探讨其在数学发展史上的重要性，不同几何学分支（如非欧几何）的出现如何挑战并丰富了我们对公理的认知。本书将尝试用现代的语言和思维方式，重新解读这些基础概念，使其更加易于理解，并展现出其超越时代的智慧。 基本图形的深刻洞察：直线、点、线段、角、三角形、圆……这些最基本的几何元素，在本书中将被赋予新的生命。我们将不仅仅学习它们的定义和性质，更会深入研究它们在不同语境下的表现，以及如何通过它们构建更复杂的图形。例如，在探讨三角形时，我们将不仅仅局限于全等、相似，还会涉及重心、垂心、内心、外心等重要点的性质，以及它们如何构成一个统一的“三角形中心体系”。 定理证明的艺术与逻辑：欧几里得几何的魅力很大程度上在于其严谨而优美的证明。本书将精选一系列具有代表性的定理，以现代数学的严谨性为标准，辅以清晰的逻辑步骤，进行细致的推导。同时，我们也会尝试引入一些新的证明技巧和工具，展示如何用不同的方法来解决同一个几何问题，培养读者的解题思维和逻辑推理能力。 第二部分：拓展视野，连接现代 一旦对欧几里得几何的基石有了牢固的掌握，本书便将带领读者走向更广阔的几何天地，探索欧几里得几何与现代数学分支的交汇点。 坐标几何的赋能：笛卡尔坐标系的引入，极大地改变了我们研究几何的方式。本部分将详细阐述如何利用代数工具来描述和解决几何问题。我们将学习直线方程、圆的方程、二次曲线的参数方程等，并探索如何通过代数方法证明几何定理，例如利用向量代数来分析点、线、面的关系，以及计算距离、夹角等。这部分内容将使几何分析更加精确和系统化。 向量的几何语言：向量作为一种既有大小又有方向的量，是连接几何与代数的桥梁。本书将深入介绍向量的基本运算（加法、减法、标量乘法、点积、叉积），以及它们在几何中的强大应用，如判断共线、共面，计算夹角，求面积、体积等。向量的应用将贯穿于后续各个章节，为解决复杂几何问题提供有力的工具。 仿射几何与射影几何的初步：在欧几里得几何的基础上，我们将初步接触到更一般的几何系统。仿射几何关注图形在平行移动、伸缩等仿射变换下的不变性质，而射影几何则更加关注图形在投影变换下的不变性。这些更抽象的几何理论，将帮助我们理解几何的本质，并为学习更高级的几何学打下基础。我们将通过具体的例子，展现这些高级几何概念是如何从欧几里得几何演化而来，并具有更强的普适性。 第三部分：专题深化，激发创新 在掌握了基础理论和现代工具后，本书将进入一系列专题研究，深入挖掘欧几里得几何的深度，并鼓励读者进行创新性的思考。 圆锥曲线的和谐之美：圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）是平面几何中最迷人的一类图形。本书将不仅介绍它们的代数方程和几何定义，更会深入探讨它们独特的几何性质，例如焦点、准线、切线性质等。我们将研究圆锥曲线的各种构造方法，以及它们在物理学、天文学等领域的实际应用，例如行星轨道、卫星轨迹的描述。 多边形与镶嵌的结构之趣：从简单的三角形、四边形，到复杂的正多边形，多边形的研究揭示了平面结构的丰富性。本书将深入探讨多边形的内角、外角和、对角线等性质，以及它们与度量几何的关系。同时，我们将重点研究平面镶嵌（tessellations）的数学原理，探索不同图形如何无缝隙、无重叠地铺满整个平面，这其中蕴含着深刻的对称性和组合数学的思想。 几何变换的对称性与映射：几何变换是理解图形性质的重要手段。本书将系统地介绍平面上的基本几何变换，包括平移、旋转、反射（对称）以及相似变换。我们将重点分析这些变换如何保持或改变图形的性质，并探索它们在对称性分析中的作用。通过研究各种变换的组合，我们将能够更好地理解图形的本质结构和分类。 三角学与几何的协同：三角学是描述角与边之间关系的学科，与几何学有着天然的紧密联系。本书将回顾正弦定理、余弦定理等基本三角公式，并展示如何将它们应用于解决复杂的几何问题，例如测量距离、高度，计算多边形的面积等。我们将探索三角学在几何证明和度量计算中的强大威力。 第四部分：思维训练与问题探究 本书的最终目标是激发读者的几何思维，培养独立解决问题的能力。 精选习题与挑战：每一章都配有精心设计的习题，从基础巩固到综合应用，循序渐进。部分习题将引入一些开放性的探索，鼓励读者尝试不同的解题思路。 经典几何问题的深度解析：我们将选取一些历史上著名的几何难题，例如三等分角、倍立方、化圆为方等，从现代数学的视角进行分析，探讨其几何上的不可解性，以及这些探索如何推动了数学的发展。 几何直觉与逻辑推理的结合：本书始终强调几何直觉与严谨逻辑推理的结合。我们将鼓励读者在脑海中构建几何图形，培养空间想象能力，同时运用精确的数学语言来验证和表达这些直觉。 《欧几里得的现代回响：平面几何的深度探索与创新视角》将是一次穿越时空的几何之旅。无论您是初次接触平面几何的学生，还是希望深化几何理解的数学爱好者，抑或是寻求几何灵感的教育工作者，本书都将为您提供一条通往几何智慧殿堂的清晰而精彩的路径。它不仅仅是一本书，更是一扇窗，让您窥见几何学背后深邃而无穷的魅力。

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这本书的语言风格非常古朴和正式，读起来有一种沉浸在古典学术氛围中的感觉。它详尽地探讨了欧氏几何的各个分支，特别是那些常常在现代课程中被一笔带过的边缘领域，给予了它们应有的关注和细致的分析。比如，关于特定多面体的拓扑性质和内在测量的章节，内容翔实，论证严密，让人不得不佩服作者广博的知识储备和严谨的治学态度。虽然阅读速度较慢，但每一次停下来思考书中的某个论断时，总能发现新的层次和含义。它不是一本追求速度的书，而是一本追求质量的书。这本书更像是老一辈数学家留下的珍贵手稿，充满了对数学真理的敬畏和探索精神，极大地丰富了我对经典几何学理论体系的认知。

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这本书简直是几何学爱好者的盛宴，尤其是对于那些渴望超越中学平面几何范畴的读者来说。作者的叙述方式充满了数学的严谨性，但又不失引导性，让人感觉像是在跟随一位经验丰富的向导探索一个宏伟的知识迷宫。书中对点、线、面的概念进行了深入的剖析，引入了大量的公理和定理，这些内容在其他入门级的教材中是很难找到的。我特别欣赏它对欧几里得体系的继承与批判性思考，不仅仅是知识的堆砌，更重要的是思维方式的培养。读完这本书，你对空间关系的理解会提升到一个全新的高度，仿佛打开了一扇通往更纯粹数学世界的门。那些关于构造性证明的讨论，更是让我受益匪浅，它教会我在面对复杂问题时，如何从最基本的元素出发，一步步搭建起坚实的逻辑大厦。对于想要在高等数学，尤其是微分几何或拓扑学领域深造的学生来说，这本书无疑是打下坚实基础的绝佳读物。

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坦率地说，这本书的入门门槛相当高，它假设读者已经对基础的几何概念了如指掌，并且对抽象思维具有一定的耐受力。我尝试将其推荐给几位刚接触高等数学的朋友，他们大多望而却步。然而，对于那些已经积累了扎实基础，渴望在欧氏几何的框架下挖掘更深层次结构的人来说，这本书的价值是无可替代的。它巧妙地平衡了理论的深度和概念的清晰度，尽管后者有时需要读者自行去脑补一些中间步骤。书中对一些经典命题的证明，不同于教科书上的标准流程，提供了更具洞察力的视角。这种独特的视角让整个阅读体验变得富有挑战性和探索性，每次攻克一个难点，都像是完成了一次智力上的攀登。它不是一本用来“应试”的书，而是一本用来“启发”的书。

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拿起这本书的瞬间，我就被它那严谨而又有些“老派”的风格所吸引。它不像现代教材那样充斥着大量的彩色插图和花哨的排版，而是更专注于文字本身的精确与力量。阅读过程需要极大的专注力，因为每一个定义的引入、每一步推理的展开，都承载着深厚的数学思想。我印象最深的是它对“无穷”概念在欧氏空间中处理的细致入微，这部分内容极大地挑战了我原有的直觉认知，迫使我必须依靠纯粹的逻辑来构建理解。这本书的深度不是那种可以快速翻阅就能掌握的，它更像是需要时间去“消化”和“回味”的陈年佳酿。我花了很长时间才完全理解其中关于非传统度量空间的一些章节，但那种豁然开朗的成就感是无与伦比的。对于那些追求深层理解而非仅仅追求解题技巧的读者，这本书是不可多得的宝藏。

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这本书最令人称道之处在于其对“对称性”和“变换”概念的精妙阐述。作者并没有将这些内容视为附带的装饰品，而是将其融入到欧氏几何的基本结构之中，展示了变换如何揭示隐藏在静态图形背后的深刻联系。我发现，通过作者构建的变换群的视角来看待传统的几何定理，一切都变得更加和谐与必然。这种高屋建瓴的视角，极大地提升了我对几何学整体框架的认识。书中对某些构造性问题的讨论，也充满了艺术感，每一步操作都仿佛是精心编排的舞蹈，最终导向一个优雅的结论。对于想深入理解几何学美感的读者，这本书提供了无与伦比的材料，它展示了数学形式与内在逻辑之美的完美结合。

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