Zeta Functions of Groups and Rings pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:du Sautoy

出品人:

页数:208

译者:

出版时间:2007-1

价格:59.95

装帧:平装

isbn号码:9783540747017

丛书系列:

图书标签:

• Zeta Functions
• Group Theory
• Ring Theory
• Algebra
• Number Theory
• Arithmetic
• Mathematics
• Abstract Algebra
• Algebraic Number Theory
• Functions

几何结构与代数拓扑的交汇：基于高阶纤维丛的理论框架研究 第一章：基础概念与背景 本书深入探讨了在现代数学物理交叉领域中，连接代数拓扑与微分几何的关键桥梁——高阶纤维丛的理论结构。我们将从基础的流形理论和光滑结构出发，逐步引入向量丛、主丛的严格定义，并将其推广到高阶（$k$-order）的结构，这对于描述非线性动力学系统和复杂物理场至关重要。 第一部分将细致回顾光滑流形上的张量场、微分形式以及李导数，为后续引入纤维丛的切丛和上切丛（Higher Tangent Bundles）奠定坚实的分析基础。重点分析了可微结构如何决定局部坐标变换下的微分同胚性质，并引入了纤维丛的定义——一个局部平凡的、具有特定纤维结构的映射。 第二章：高阶纤维丛的构造与分类 本章的核心在于构建和分类超越标准切丛的高阶纤维丛。我们首先关注二阶切丛（Second-Order Tangent Bundle, $T^2M$），它由流形 $M$ 上的二阶微分算子或加速度场提供纤维结构。这不仅仅是 $TM imes TM$ 的简单积空间，而是涉及特定的连接形式（Connection Form）和曲率张量定义的非线性结构。 详细讨论了 Jet 丛（Jet Bundles）作为高阶微分方程解空间的几何化工具。特别是，我们将引入 $k$-Jet 丛 $J^k(pi)$，其中 $pi: E o M$ 是一个纤维丛。研究 $k$-Jet 丛的微分几何性质，包括其辛结构（Symplectic Structure）在无穷小形变下的保持性。 在分类方面，我们将依照纤维的内在结构对高阶丛进行划分： 1. 纯几何高阶丛（Purely Geometric Higher Bundles）： 如高阶共变导数丛（Higher Covariant Derivative Bundles），它们主要服务于广义相对论和规范场论中对曲率的更高阶描述。 2. 代数结构高阶丛（Algebraically Structured Higher Bundles）： 涉及具有非交换纤维代数结构的丛，例如，在非交换几何中，它们可能对应于具有特定非交换代数结构的局部截面。 第三章：高阶丛上的联络与曲率 联络（Connection）是微分几何中连接纤维之间信息传递的关键工具。对于标准纤维丛，我们有惠特尼联络（Whitney Connection）和阿蒂亚-辛格联络（Atiyah-Singer Connection）。本章扩展到高阶丛 $T^k M$ 上的联络 $Gamma^{(k)}$。 重点分析了 $k$-联络的定义，它需要一个 $(k+1)$-阶的局部截面来保持一致性。讨论了这种高阶联络下的高阶曲率张量 $R^{(k)}$。我们证明了 $R^{(k)}$ 的消失与流形上特定类型的微分方程组的可积性之间存在深刻联系。特别地，当 $k o infty$ 时，高阶曲率如何趋近于经典黎曼曲率或更广义的庞加莱型曲率。 引入 Holonomy Group of Higher Order Connections 的概念。传统的联络全纯群仅依赖于路径积分，而高阶联络的全纯群则依赖于更高阶的积分路径（例如，在流形上的 $k$-曲面）。 第四章：高阶丛与微分方程的可积性 高阶纤维丛的几何性质直接反映了在其上定义的微分方程组的几何特征。本章将“几何化”偏微分方程（PDEs）。 我们利用 $k$-Jet 丛 $J^k(pi)$ 来对一般性的 $p$ 阶非线性 PDE 进行几何化表示。一个解 $phi: M o N$ 对应于 $J^k(pi)$ 上的一个横截面（Transversal Section）。 深入研究了 Prolongation of Vector Fields（向量场的提升）在高阶丛上的行为。一个定义在 $M$ 上的向量场 $X$ 提升到 $J^k M$ 上的 $X^{(k)}$ 必须满足特定的微分同胚条件。我们利用这些提升的性质，引入了关于 $k$-接触结构（$k$-Contact Structure）的条件，这些条件是 PDE 可积性的必要条件。 本章还包括对 Frobenius Theorem 的推广。经典的 Frobenius 定理处理的是一阶微分系统，我们将其推广到高阶系统，证明了在特定条件下，高阶可积性可以分解为一系列低阶可积性的嵌套。 第五章：拓扑不变量与高阶陈-西蒙斯理论 几何结构的研究往往依赖于拓扑不变量。对于标准纤维丛，我们有陈-示性类（Chern-Weil Theory）。本章探索了基于高阶丛截面的 高阶示性类 $C_k$。 我们定义了新的 高阶庞加莱-黎曼（Poincaré-Riemann）类，它依赖于 $k$-联络和相应的截面。这些新类在某些规范变换下保持不变，揭示了流形高阶结构的一些基本拓扑限制。 探讨了 高阶陈-西蒙斯（Higher Chern-Simons）泛函。在经典陈-西蒙斯理论中，泛函依赖于联络的一阶曲率。在高阶理论中，我们引入依赖于 $k$-曲率 $R^{(k)}$ 的泛函 $CS_k$。我们证明了 $delta CS_k = 0$（即泛函的一阶变分为零）对应于特定的高阶等时性方程（Isomonodromy Equations）。 结论与展望 本书旨在提供一个关于高阶纤维丛理论的自洽且深入的数学框架，该框架在传统微分几何的边界之外，触及了非线性分析和高维几何的深层结构。我们所建立的高阶联络、曲率以及其在 PDE 可积性中的作用，为研究复杂的几何动力学系统和深化非交换拓扑学提供了新的工具集。未来的研究方向可能集中在这些高阶示性类在量子场论中的具体物理诠释上。

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