Smooth Ergodic Theory for Endomorphisms pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Min, Quian/ Xie, Jian-sheng/ Zhu, Shu

出品人:

页数:277

译者:

出版时间:

价格:540.00

装帧:

isbn号码:9783642019531

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• Ergodic Theory
• Dynamical Systems
• Endomorphisms
• Smooth Dynamics
• Measure Theory
• Topology
• Manifolds
• Invariant Measures
• Ergodic Invariants
• Functional Analysis

探索动力系统的几何与统计规律：一本关于可积性与遍历性的深度指南 本书并非一本关于“光滑遍历理论在自同态群中的应用”的详细教程，而是深入探讨动力系统这一迷人领域中，关于可积性、遍历性以及更一般意义下的系统行为的内在几何结构与统计规律。我们将聚焦于一类特殊的动力系统，它们在数学的多个分支中扮演着核心角色，从理论物理的相空间演化，到数论中的数域结构，再到概率论中的随机过程建模，其影响无处不在。 我们的旅程将从动力系统的基石——相空间与流的概念出发。想象一个系统，其状态可以在一个几何空间中被描述。随着时间的推移，这个状态会遵循一套固定的规则（动力学）而演化。这个演化过程，可以用一个映射或一个微分方程来刻画，我们称之为“流”或“动力学”。本书将首先细致地考察这些空间本身的几何特性，以及映射或流作用在这些空间上的拓扑性质。我们将引入测度的概念，它为我们量化相空间中不同区域的“大小”或“概率”提供了工具。对于一个给定的动力系统，我们寻找那些在时间演化下保持不变的测度，这些被称为不变测度。它们是理解系统长期行为的关键，因为它们反映了系统在无穷时间内“平均”会停留在哪里。 接下来，我们将深入探讨遍历性这一核心概念。一个具有遍历性的动力系统，意味着系统的长期平均行为，等同于系统在相空间中某个固定状态下的瞬时行为。换句话说，如果你观察系统的一个粒子（或者说一个轨迹）足够长的时间，它所“访问”到的相空间区域的平均属性，将与相空间中所有可能的点所具有的平均属性一致。这是一种强大的统计平均概念，将微观的个体轨迹行为与宏观的整体统计性质联系起来。我们将详细介绍不同类型的遍历性，包括遍历定理的各种表述及其在不同测度空间上的证明。特别地，我们将关注那些在几何上表现出“混合”特性的系统，其中轨迹会迅速地“扩散”并“混合”到相空间的不同区域，使得系统很快遗忘其初始状态。 本书的另一条重要线索是可积性（Integrability）。在动力系统中，可积性通常意味着系统存在足够多的守恒量，从而使得系统的运动可以在某种意义下被“解耦”或“解”出来。一个可积系统通常具有非常规则的、可预测的运动轨迹，它们往往限制在特定的“李群”或“李代数”的子空间中。我们将深入研究可积系统的结构，包括它们是如何由一族包含的“李群”或“李代数”子群所决定的。我们将探索李群与李代数之间的深刻联系，以及它们如何被用来理解和分类具有特殊结构的动力系统。本书将特别关注具有“光滑”结构的动力系统，这意味着它们的演化规则是可微的，这使得我们可以利用微积分的强大工具来分析系统的行为。 在探讨了可积性之后，我们将转向更一般但同样重要的概念——近似可积性（Near-Integrability）。现实世界中的许多系统并非完全可积，而是由一个可积系统加上一个小的“扰动”构成的。理解这些扰动如何影响系统的长期行为，是动力学研究中的一个核心挑战。我们将引入KAM理论（Kolmogorov-Arnold-Moser theorem）的经典结果，该理论解释了在何种条件下，一个近似可积系统中的大部分“良好行为”能够被保留下来，而只有一小部分区域会经历“混沌”的演化。我们将详细阐述KAM理论的几何直觉，以及它在解决许多长期稳定性问题中的关键作用。 本书的另一个重要方面是熵的概念。在信息论和统计力学中，熵衡量了系统的无序程度或不确定性。在动力学系统中，度量熵（Metric Entropy）或Kolmogorov-Sinai熵（KS-entropy）则提供了量化系统“混沌”程度的工具。高熵意味着系统对初始条件的敏感性非常强，微小的扰动会指数级增长，导致轨迹迅速分化，使得长期预测变得极其困难。我们将详细介绍熵的定义、计算方法，以及它与系统遍历性、李雅普诺夫指数之间的关系。本书将重点分析那些具有“正熵”的系统，它们往往表现出高度的混沌行为。 此外，我们还将考察李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）。对于一个动力系统，李雅普诺夫指数衡量了相邻轨迹在时间演化下分离或趋近的平均指数速率。正的李雅普诺夫指数是混沌行为的标志，它意味着系统对初始条件极其敏感。我们将学习如何计算和解释李雅普诺夫指数，以及它们在判断系统是否混沌、量化混沌程度方面的作用。 本书还将涉及一些更高级的主题，例如随机游走在相空间中的行为，以及如何用遍历性理论来理解统计力学中的平衡态和非平衡态。我们将探讨马尔可夫链作为一种离散时间动力系统的例子，以及如何利用不变测度的概念来分析其长期行为。 总体而言，本书的目标是为读者提供一个关于动力系统内在结构、几何性质以及统计规律的全面视角。我们避免了针对特定数学对象的死记硬背，而是致力于培养读者理解动力系统行为背后深层原理的能力。通过对可积性、遍历性、熵以及李雅普诺夫指数等核心概念的深入剖析，我们希望读者能够掌握一套强大的工具，来理解和分析各种复杂的动力学现象。本书的章节安排将循序渐进，从基础概念出发，逐步深入到更抽象和更具挑战性的问题，力求为读者构建一个清晰而连贯的学习路径。我们将通过严谨的数学论证和丰富的例子，展现动力系统理论的魅力，以及其在各个科学领域中的广泛应用前景。

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