Holomorphic Operator Functions of One Variable and Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Basel

作者:Israel Gohberg

出品人:

页数:422

译者:

出版时间:2009-08-06

价格:USD 139.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783034601252

丛书系列:

图书标签:

• 复分析
• 算子论
• 函数论
• 全纯函数
• 应用数学
• 数学分析
• 谱理论
• 算子函数
• 数学
• 高等数学

全息算子函数的单变量理论及其应用 本书深入探讨了单变量全息算子函数的分析理论，并系统阐述了其在多个数学分支中的广泛应用。全息算子函数，顾名思义，是指那些具有“全息”性质的算子值函数，其核心在于函数行为的局部性：一个函数在某一点的行为完全由其在该点附近的信息所决定，并且可以被该点周围的值所“重构”。这种性质使得我们能够将许多在复变函数论中用于研究标量函数的强大工具和深刻洞察，推广到更为复杂的算子代数及其函数。 全息算子函数的理论，作为算子代数和复分析交叉领域的重要组成部分，为我们理解和操纵算子提供了一个全新的视角。它不仅丰富了函数论的内涵，更重要的是，为解决诸如算子方程、谱理论、微分方程组等一系列经典数学问题提供了强有力的分析工具。本书的撰写旨在系统梳理这一领域的核心概念、关键定理以及重要的应用，为相关领域的科研人员和研究生提供一本全面而深入的参考。 第一部分：全息算子函数的理论基础 本部分将奠定全息算子函数理论的坚实基础，从最基本的定义和性质出发，逐步深入到更高级的概念。 复变函数论的回顾与推广： 我们将首先回顾复变函数论中的基本概念，如解析函数、柯西积分公式、留数定理等。随后，我们将讨论如何将这些概念推广到算子代数的框架下。这涉及到定义算子值函数，并探讨其在复平面上的“解析性”。这里，“解析性”将通过算子在某一点的黎曼可微性或更强的全纯性来刻画。例如，一个算子值函数 $F(z)$ 在点 $z_0$ 处是全息的，如果存在一个算子值函数 $G(z)$ 使得 $F(z) = F(z_0) + G(z)(z-z_0)$ 在 $z_0$ 的邻域内成立，且 $G(z)$ 在 $z_0$ 处连续。 算子值函数的全息性定义与性质： 本节将正式引入单变量全息算子函数的定义。我们将详细讨论不同形式的全息性定义（例如，基于黎曼可微性，基于 Taylor 展开，或基于某个算子代数中的可微性定义）之间的等价性。我们还将研究全息算子函数的基本性质，例如： 算子函数的四则运算与复合： 探讨全息算子函数的和、差、积、商以及复合运算是否仍然保持全息性。 算子函数的泰勒展开： 阐述全息算子函数在某一点的泰勒展开式，并证明其收敛性。这将是理解函数局部行为的关键。 算子函数的柯西积分公式： 将经典的柯西积分公式推广到算子值函数上。例如，对于一个在闭区域 $ar{D}$ 上全息，在边界 $partial D$ 上连续的算子值函数 $F(z)$，以及在 $D$ 内部的全息函数 $g(z)$，我们能否得到类似的积分表示？ 孤立奇点与留数理论： 借鉴复变函数论的思想，我们将分析全息算子函数在孤立奇点附近的性质，并引入算子值函数留数的概念。这对于理解函数在奇点处的行为以及利用积分方法解决问题至关重要。 谱理论的视角： 谱理论是研究算子性质的关键工具。本书将从谱理论的角度出发，探讨全息算子函数的定义和性质。 算子函数的谱： 定义算子函数的谱集，并分析其与复数域中的函数谱集之间的关系。 谱映射定理的推广： 经典的谱映射定理描述了代数同态下谱集的变化规律。我们将探讨如何将其推广到全息算子函数的框架下，例如，对于全息函数 $f$ 和算子 $A$， $f(A)$ 的谱集与 $f$ 的值域及 $A$ 的谱集之间的关系。 有限维与无限维空间的算子函数： 讨论有限维和无限维向量空间中算子函数的区别与联系。在有限维情况下，算子可以被矩阵表示，理论会更具体。而在无限维空间，例如 Hilbert 空间或 Banach 空间，理论则更为抽象，但应用也更为广泛。 第二部分：全息算子函数的关键理论工具 本部分将聚焦于一些专门为研究全息算子函数发展起来的核心技术和理论。 Bochner-Martin 定理及其推广： Bochner-Martin 定理是复变函数论中关于多变量解析函数的一个重要结果。我们将探讨如何将这一定理的思想和结论推广到算子值函数的设定下，从而深入理解算子函数的多变量性质。 Operator Valued Analytic Continuation（算子值解析延拓）： 类似于标量函数的解析延拓，我们将研究算子值函数如何从一个区域延拓到更大的区域，并保持其全息性。这将是处理算子函数在不同定义域之间关系的关键。 函数演算（Functional Calculus）的深化： 函数演算提供了将标量函数作用于算子的系统方法。本书将在此基础上，深入探讨与全息算子函数紧密相关的函数演算理论。 Holomorphic Functional Calculus： 重点介绍基于全息函数和算子谱的函数演算，其结果是另一个算子。我们将证明，如果 $f(z)$ 是全息函数，而 $A$ 是一个算子，那么 $f(A)$ 的定义及其性质。 Resolvent Operator（解算子）及其应用： 解算子 $R(lambda, A) = (lambda I - A)^{-1}$ 是研究算子谱和函数演算的基石。我们将深入研究解算子在定义全息算子函数中的作用。 算子方程的解法： 全息算子函数的理论为求解各类算子方程提供了强大的框架。 代数方程： 讨论形如 $P(A) = 0$ 的代数方程，其中 $P$ 是一个多项式，以及更一般的算子方程，利用算子函数理论寻找其解。 微分方程： 探讨如 $A'(t) = L(A(t))$ 形式的算子微分方程，其中 $L$ 是一个算子，以及如何利用全息算子函数理论来构造和分析其解。 第三部分：全息算子函数的应用 本部分将详细阐述全息算子函数在不同数学分支中的具体应用，展示其理论的普适性和实用性。 算子代数理论中的应用： C-代数与von Neumann 代数： 在这些特殊的算子代数中，全息算子函数的理论扮演着至关重要的角色，例如用于研究交换代数和非交换代数中的函数。 算子函数的谱性质： 利用全息算子函数的理论来研究算子函数的谱性质，例如谱的连接性、孤立点等。 生成元理论： 在研究无穷维算子半群时，生成元理论至关重要，而全息算子函数为理解和刻画生成元提供了工具。 算子方程与算子微分方程的求解： Lyapunov 方程与 Riccati 方程： 讨论如何利用全息算子函数理论来分析和求解线性和非线性算子方程，例如在控制理论和系统稳定性分析中出现的 Lyapunov 方程和 Riccati 方程。 线性算子微分方程组： 研究如 $frac{dX}{dt} = AX + XB$ 形式的算子微分方程，其中 $A, B$ 是算子，以及利用全息算子函数的方法来构造其解。 控制理论与稳定性分析： 系统表示与传递函数： 在线性系统理论中，系统的传递函数通常是用复变量的函数来描述的。本书将探讨如何将这些概念推广到算子系统，并利用全息算子函数的理论来分析系统的可控性、可观测性和稳定性。 半导体器件建模： 在一些高级的半导体器件模型中，需要用到算子方程来描述电子在材料中的行为，全息算子函数理论提供了分析这些复杂模型的数学工具。 量子力学与量子信息理论： 算符演化： 在量子力学中，量子态和算符的演化遵循薛定谔方程。全息算子函数理论可以用来分析算符在时间上的演化，以及理解量子系统的动力学性质。 量子纠缠与量子计算： 在量子信息理论中，一些复杂的量子操作和算法的分析可能涉及到算子值函数，全息性质可能会为理解这些操作的结构和计算复杂度提供新的视角。 其他新兴应用领域： 概率论中的算子方法： 在一些高维随机过程和马尔可夫链的分析中，可能会遇到算子值函数，全息理论为研究其极限行为和统计性质提供了可能性。 偏微分方程的算子方法： 对于一些特定的偏微分方程，可以通过算子化转化为算子方程，然后利用全息算子函数理论来求解。 本书的结构力求清晰，逻辑严谨，从理论基础出发，逐步深入到高级工具和广泛应用。我们希望通过对单变量全息算子函数理论的系统阐述，能够激发读者对这一领域更深入的探索，并为解决实际数学问题提供新的思路和方法。本书的读者对象包括对复分析、泛函分析、算子代数以及相关应用领域感兴趣的研究生和科研人员。

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