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出版者:Springer

作者:Yu. I. Manin

出品人:

页数:384

译者:Neal Koblitz

出版时间:2009-10-30

价格:USD 69.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9781441906144

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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逻辑学中的严谨之路：数学家所需的基础与深度 本书旨在为那些在纯粹数学领域深耕的学者和研究人员提供一套扎实、全面且深入的数学逻辑学基础训练。我们认识到，对于数学家而言，逻辑不仅仅是推理的工具，更是数学结构的基石，是确保理论无懈可击的骨架。本书将带领读者穿梭于形式系统的核心地带，探究现代数学哲学得以建立的那些基本概念和技术。 本书的叙事结构遵循循序渐进的原则，从最基本的符号系统和自然演绎法开始，逐步过渡到集合论的公理化基础，并最终探讨数理逻辑在复杂数学结构分析中的前沿应用。我们刻意避免了对非数学专业领域（如哲学逻辑的语义辩论或计算机科学中的特定算法实现）的过度关注，而是将全部精力集中于那些直接服务于数学研究的逻辑工具。 第一部分：形式语言与证明理论的基石 本部分是构建整个逻辑大厦的基石。我们首先要确立一个共同的、无歧义的语言。 1. 谓词演算与命题演算的精确定义： 我们将详细阐述如何构建一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）的形式语言。这包括对符号集（变量、常量、函数符号、关系符号、逻辑联结词和量词）的精确枚举，以及如何定义合式公式（Well-Formed Formulas, WFFs）的递归规则。我们不会将注意力停留在简单的布尔代数层面，而是立即引入结构和解释的概念，为后续的语义分析做准备。 2. 证明理论的构建： 我们将采用一种清晰且易于操作的证明系统。本书主要侧重于自然演绎（Natural Deduction）系统，因为其结构最贴近数学家日常的直观推理模式。我们将详细分析引入（Introduction）和消除（Elimination）规则，特别是对于量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）的引入和消除规则的严谨推导。通过大量具有数学背景的示例，读者将学会如何在受控的环境下构建复杂的有效证明。 3. 形式系统的性质： 一旦建立了证明系统，我们必须考察该系统的基本元性质。 一致性（Consistency）： 证明系统内部不存在矛盾，即不可能证明一个命题及其否定。我们将讨论证明一致性的标准技术，例如通过归结原理或特定的模型构造法。 完备性（Completeness）： 这是逻辑学的核心“梦想”之一。我们将深入探讨哥德尔的完备性定理，并给出其在可数语言上的标准证明框架。完备性定理保证了所有逻辑上有效的陈述都可以通过我们选择的公理和规则系统被证明出来，从而确立了证明系统在逻辑真理上的捕获能力。 第二部分：模型论与数学结构的桥梁 形式语言与证明论关注的是句子的“可证性”；而模型论则关注的是句子的“可真性”，即将形式化的语言映射到现实的数学结构上。 1. 基础结构： 我们将定义数学结构（Structure）或模型（Model）的概念，包括其域（Domain）和对符号的解释。关键在于理解如何定义一个结构上的个体、函数和谓词的意义。 2. 真值与满足关系： 本书会详尽阐述“结构 $mathcal{M}$ 满足公式 $phi$”（记作 $mathcal{M} models phi$）的精确递归定义。这包括对原子公式的满足、联结词的真值条件，以及对量词的遍历定义。理解满足关系是连接纯粹句法与具体数学实例的桥梁。 3. 基本定理：紧致性与上 স্থাপত্য性： 紧致性定理（Compactness Theorem）： 它是模型论的支柱之一。我们将展示其证明思路，并探讨其在反例构造中的强大威力（例如，构建非标准模型或具有特定性质的无限结构）。 Löwenheim-Skolem 定理： 讨论了如果一个理论（一组公理）在某个无限基数上有一个模型，那么它在所有更大的无限基数上也有模型。这对于理解数学理论的“大小”至关重要。 第三部分：递归论与哥德尔的深刻洞察 本部分将把读者的视角从静态的数学结构提升到动态的“可计算性”与“可定义性”的层次。 1. 可计算性基础： 我们不直接深入图灵机理论的工程细节，而是关注可计算性的数学表述。我们将定义递归函数（Recursive Functions）和 $mu$-递归函数，并阐述它们与直觉上“可计算”概念的等价性（Church-Turing 论题的逻辑视角）。这为理解哪些数学问题本质上是“不可解的”提供了坚实的基础。 2. 不可判定性： 通过递归论，我们将转向关于形式系统的内在局限性的探讨。 可证性与可计算性的关系： 证明一个公式的证明过程本质上是一个可计算的过程。 哥德尔第二不完备性定理： 深入分析该定理的构建。我们将展示如何构造一个能够“谈论自身证明能力”的公式 $G$，并论证在一个足够强大的、一致的系统内，该系统无法证明自身的完全一致性。这对于所有试图将数学基础建立在纯粹形式系统之上的尝试具有深远影响。 判定问题（Entscheidungsproblem）的终结： 论证一阶逻辑的有效性问题是不可判定的，即不存在一个通用的算法可以对任何 FOL 语句判断其是否为重言式。 第四部分：公理化集合论的逻辑视角（ZFC） 虽然集合论本身是一个分支学科，但它构成了现代数学的共同基础。我们从逻辑学的角度审视集合论。 1. 朴素集合论的悖论： 简要回顾罗素悖论等，以说明公理化集合论的必要性。 2. ZFC 公理系统的逻辑基础： 我们将详细分析 Zermelo-Fraenkel 集合论（ZFC）的关键公理，如外延性、配对、并集、分离、替换、幂集以及替换公理，并从逻辑学的角度解读它们在保证数学对象存在性和避免悖论中的作用。 3. 选择公理（Axiom of Choice, AC）： AC 是逻辑上最受争议但又最实用的公理之一。我们将讨论 AC 的等价命题（如良序定理、极大元定理），并从一阶逻辑的角度解释为什么 AC 及其否定（$ eg ext{AC}$）都与 ZFC 的其他公理保持相对独立（即相容性）。我们将简要介绍 Cohen 的力迫法（Forcing）作为证明这种独立性的标准技术。 结论： 本书的最终目标是培养读者将逻辑视为一种严谨的“数学实践”而非仅仅是哲学的思辨。通过对形式化、证明、模型以及计算限制的深入理解，读者将能以更坚实、更批判性的眼光审视和构建他们的数学理论。本书的深度和广度确保了它能为研究生阶段的数学研究者提供必要的逻辑工具箱。

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这本书的封面设计相当朴实，但内页的排版却透露出一种严谨与专业的气息，这正是我所期待的。拿到书的当下，我立刻被其清晰的章节划分和详尽的引言所吸引。作者显然花费了大量心血来构建一个逻辑严密的知识体系，从基础的命题逻辑讲起，逐步深入到更抽象的谓词逻辑和集合论的初步概念。对于初次接触这个领域的读者来说，开篇的叙述方式异常友好，没有一开始就抛出过于晦涩的术语，而是通过大量的例子来建立直观的理解。我尤其欣赏作者在讲解证明技巧时的细致入微，很多地方会插入一些历史背景或者哲学思考，这使得原本枯燥的逻辑学习过程变得生动起来，仿佛在跟随一位经验丰富的导师进行一对一的辅导，而不是简单地阅读一本教科书。这种对学习体验的关注，使得阅读过程中的挫败感大大降低，让人更有动力去攻克后续那些更具挑战性的章节。

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装帧和印刷质量是常常被忽略却又至关重要的方面。这本书的纸张选材非常考究，那种略带磨砂质感的米黄色纸张，即使在长时间的阅读后，眼睛也不会感到强烈的疲劳。内页的墨水质量也值得称赞，字体清晰锐利，特别是那些复杂的数学符号，没有丝毫的模糊或重影，这对于阅读逻辑证明至关重要。我在阅读过程中几乎没有遇到排版错误或者印刷瑕疵，这反映了出版方对学术书籍制作的尊重。老实说，一本内容深奥的专业书籍，如果阅读体验不佳，很容易让人望而却步，但这本书在物理实体层面上的精心打磨，成功地消除了这种障碍，让读者能够更专注于思想的交流，而不是与书本的物理形态作斗争。

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这本书的价值远超于一本单纯的教材，它更像是一本系统的工具箱和思维导图。它没有过多地纠缠于单一学派的争论，而是以一种宏大而平衡的视角，勾勒出了现代数理逻辑的全景图。读完它，我感觉自己对于“什么是证明”、“什么是真理的本质”这些根本性问题有了更坚实、更具批判性的理解。作者在处理一些有争议的话题时，也保持了一种令人信服的中立立场，清晰地阐述了不同观点背后的逻辑基础。特别是关于非经典逻辑的部分，作者的处理方式极其优雅，它不仅介绍了这些逻辑系统，更重要的是，它教会了我如何去“构建”和“评估”一个新的逻辑系统。这本书是那种读完后，你会发现自己看待整个数学和哲学领域的方式都发生微妙而深刻变化的著作。

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从教学法角度来看，这本书的组织结构体现了极高的专业水准。它没有将应用和理论割裂开来，而是巧妙地在每一核心概念介绍后，都紧跟着一个或多个“应用侧记”或者“哲学反思”的小节。例如，在介绍模态逻辑时，作者并没有停留在纯粹的语义学解释上，而是深入探讨了它在哲学和计算机科学中（比如知识表示）的实际应用场景，这极大地拓宽了我的视野。这种设计使得读者能够清晰地看到，那些看似冰冷的逻辑形式是如何被用来解决现实世界中复杂问题的。此外，习题的设置也十分巧妙，它们并非简单的公式套用，而是要求读者进行概念的综合运用和思想的批判性分析，这真正体现了“为数学家准备的逻辑课程”这一定位——它训练的不仅是计算能力，更是数学直觉和严谨的论证能力。

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这本书的深度是毋庸置疑的，它绝不是那种蜻蜓点水、只求概览的入门读物。一旦进入到数理逻辑的核心部分，比如哥德尔不完备性定理的探讨，作者的笔触立刻变得锐利而精确。我花了整整一个周末的时间来消化其中关于可计算性理论的论述，其间穿插的图灵机模型及其与递归函数的等价性证明，其推导过程之严谨，令我不得不反复研读，并尝试自己重构证明的每一步。这要求读者必须具备一定的抽象思维能力和对形式系统的敏感度。我发现自己不得不频繁地查阅附录中的符号约定，因为一旦走神，很容易在复杂的公式推导中迷失方向。然而，正是这种挑战性，让我感到极大的满足感——每攻克一个难点，都像是完成了一次智力上的攀登，对逻辑思维的训练效果是立竿见影的。

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喜歡其中的Digressions，應該成為科學書籍的常態

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这是一本非同寻常的现代数理逻辑教科书。它起源于Manin自学逻辑的记录，从行文可看出作者的思维方式。作者指出了现代数理逻辑的三个生长点：模型论及其在代数、代数几何、算术几何、算子代数、动力系统中的运用；高阶范畴及其逻辑；理论计算机科学。本书最后一章强调了第一个方向（实际是Boris Zilber写的），而Manin-Marcolli最近几年文章则集中于后两个方向。

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这是一本非同寻常的现代数理逻辑教科书。它起源于Manin自学逻辑的记录，从行文可看出作者的思维方式。作者指出了现代数理逻辑的三个生长点：模型论及其在代数、代数几何、算术几何、算子代数、动力系统中的运用；高阶范畴及其逻辑；理论计算机科学。本书最后一章强调了第一个方向（实际是Boris Zilber写的），而Manin-Marcolli最近几年文章则集中于后两个方向。

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喜歡其中的Digressions，應該成為科學書籍的常態

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可作为课外读物，但不适合用作教科书。