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出版者:Dover Publications

作者:Donald W. Kahn

出品人:

页数:240

译者:

出版时间:1995-07-19

价格:USD 12.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486686097

丛书系列:

图书标签:

• Topology
• Mathematics
• 拓扑学
• 点集拓扑
• 代数拓扑
• 微分拓扑
• 拓扑空间
• 连续函数
• 同伦
• 覆盖空间
• 拓扑群
• 拓扑流形

《拓扑学：空间的本质与结构的奥秘》 《拓扑学：空间的本质与结构的奥秘》并非一本详述特定书籍《Topology》的导览手册，而是旨在深入浅出地揭示数学领域中一个迷人且基础的分支——拓扑学——的核心思想、研究对象以及其在现代科学和技术中的重要应用。本书将带领读者踏上一段探索“形状”与“空间”在最根本层面的旅程，理解它们在连续形变下保持不变的那些“韧性”属性。 开篇：打破固有的空间想象 我们通常对空间的认知，是基于欧几里得几何的直观理解：直线、平面、角度、距离。然而，拓扑学将我们从这些具体的测量尺度中解放出来，关注的是那些在连续拉伸、弯曲、扭转甚至“打洞”等形变下依然保持不变的性质。本书的第一部分将挑战读者固有的空间观念，通过一系列生动有趣的例子，如咖啡杯与甜甜圈的拓扑等价性，来阐释拓扑学中“同胚”这一核心概念。我们将探讨，为什么在拓扑学家眼中，一个杯子和一块饼干在某些层面上是相同的，而一个球体和一个苹果却并非如此。这里，距离和角度不再重要，关键在于连接和连续性。 第一章：集合论的基石——点集拓扑的入门 拓扑学的严谨性建立在集合论的坚实基础之上。本书将循序渐进地介绍点集拓扑的基础概念。我们将学习“开集”、“闭集”、“邻域”、“收敛”、“紧致性”和“连通性”等基本工具。这些概念构成了描述和分析空间性质的语言。通过引入“拓扑空间”的定义，我们将看到如何赋予一个集合一种“结构”，使得我们可以在其中谈论“接近”和“连续”。读者将理解，为何一个集合上的不同拓扑可以产生截然不同的空间性质，以及这些性质如何影响我们对空间的理解。我们将探讨度量空间与一般拓扑空间的区别，以及为何拓扑学能够适用于更广泛的数学对象。 第二章：形态的语言——流形与边界的探索 拓扑学的一个重要分支是研究“流形”。流形可以被看作是在局部看起来像欧几里得空间（例如，地球表面在局部看起来像一个平面）但整体结构可能非常复杂的空间。本书将深入介绍“流形”的概念，包括一维的曲线、二维的曲面（如球面、环面、克莱因瓶）以及更高维流形的构造。我们将探讨流形的分类，以及如何利用“特征数”或“不变量”来区分不同的流形。特别地，我们将关注流形的“边界”这一重要特征，理解为何某些流形有边界，而另一些则没有，并探讨边界在理解流形整体结构中的作用。 第三章：连接的艺术——图论与网络分析 拓扑学与图论有着密不可分的联系。在这一章节，我们将探索图的拓扑性质，例如图的连通性、连通分支、割点、桥等。本书将介绍一些经典的拓扑问题，如著名的“七桥问题”及其在图论中的解答，以及“欧拉路径”和“哈密顿路径”的概念。我们将看到，即使我们改变了图的几何形状，只要保持其节点和边的连接关系不变，其拓扑性质就得以保留。这使得拓扑学成为分析网络结构，如社交网络、交通网络、计算机网络等问题的强大工具。 第四章：空间的“洞”与“扭结”——同调论与基本群 要更深入地理解空间的结构，我们需要更强大的工具来“探测”空间的“洞”和“连通性”。本书将引入同调论（Homology Theory）的基本思想。我们将学习如何通过“链复形”和“同调群”来量化空间的“洞”的数量和类型。例如，一个甜甜圈有两个“洞”（一个穿过中心的圆孔，一个由圆环本身形成的洞），而一个球体则没有洞。同调论提供了一种代数方法来研究拓扑空间，并将拓扑问题转化为代数问题。此外，我们还将触及“基本群”（Fundamental Group）的概念，它能够捕捉空间中闭合路径的“扭转”方式，从而提供另一种重要的拓扑不变量。 第五章：超越二维——高维空间与抽象的探索 虽然我们直观地生活在三维空间中，但拓扑学在研究更高维度空间时展现出其强大的抽象能力。本书将引导读者理解高维空间的概念，并探讨在高维空间中可能出现的反直觉现象。我们将介绍一些基础的高维拓扑概念，如“纤维丛”和“映射度”，并简要提及同伦论（Homotopy Theory）如何研究空间中连续变化的路径。这一部分旨在拓展读者的视野，认识到拓扑学所能触及的数学世界的广度和深度。 第六章：现代应用——从宇宙学到生物学 拓扑学并非仅仅是抽象的数学游戏，它在现代科学的许多领域都有着至关重要的应用。本书的最后一部分将集中展示拓扑学的实际价值。我们将探讨拓扑学如何在宇宙学中帮助理解宇宙的整体形状；如何在计算机科学中应用于数据分析、模式识别和机器人路径规划；如何在材料科学中描述复杂材料的微观结构；甚至如何在生物学中理解蛋白质的折叠和DNA的结构。通过这些具体的案例，读者将深刻体会到拓扑学作为一门“通用语言”的力量，它能够帮助我们描述和理解那些由复杂连接和连续性构成的世界。 《拓扑学：空间的本质与结构的奥秘》旨在为读者提供一个扎实而全面的拓扑学入门。本书避免了晦涩的符号推导，而是注重概念的清晰阐释和直观理解，并通过丰富的例子和类比，让读者能够轻松地领略拓扑学独特的魅力。无论您是对数学的抽象之美充满好奇，还是希望理解现代科学前沿的技术原理，本书都将是您探索空间本质、洞悉结构奥秘的理想向导。

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这本《代数几何导论》简直是为那些渴望深入理解现代数学核心概念的读者量身定做的。作者并没有急于抛出那些晦涩难懂的定义和定理，而是采取了一种非常循序渐进的方式，从最基本的代数结构讲起，逐步过渡到更复杂的几何对象。我尤其欣赏书中对“簇”（scheme）这一核心概念的阐述，它通过巧妙地将代数环与拓扑空间联系起来，为理解更高维度的几何结构提供了强大的工具。书中大量的例子，特别是关于曲线和曲面的例子，都极其精妙，它们不仅帮助读者直观地把握抽象概念，更激发了我们去探索更多未知的数学领域。读完这本书，我感觉自己像是站在了一个高高的瞭望台上，整个代数几何的宏伟蓝图尽收眼底，那些过去看起来零散的知识点，此刻都完美地串联了起来，形成了一个逻辑严谨、美轮美奂的体系。

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对于那些计划继续深造，尤其是打算研究模空间或算术几何方向的研究生来说，这本书提供的基础是无可替代的。它毫不回避那些困难的议题，比如对Weil预论文（Weil Conjectures）的初步介绍，虽然只是点到为止，但已经足够为读者构建起一个未来研究的框架。我特别喜欢它在讨论局部完备性定理时所展现的严谨性，这直接关系到如何处理奇点问题。书中对Blowing-up（爆破）操作的详细分析，展示了如何通过局部变换来“平滑”一个奇点，这在解决代数方程的几何表示问题时显得尤为关键。总而言之，它为进入前沿研究领域搭建了一座坚实而可靠的阶梯，每一个尝试攀登的读者都会从中受益匪浅。

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我必须坦率地说，这本书的习题部分设计得相当具有挑战性，它们绝不是那种简单的计算或记忆性测试。许多习题直接要求读者去证明一些在正文中未完全展开的引理，或者要求将某个抽象的理论应用于具体的、稍微复杂一点的例子中去。完成这些习题的过程，就是真正内化这些知识的过程。例如，书中关于相交理论（Intersection Theory）的介绍后附带的练习，迫使我不得不重新审视经典的代数拓扑工具，并思考如何用代数语言重新构造它们。虽然过程中不乏卡壳和反复查阅资料的时刻，但每当攻克一个难题，那种成就感是无与伦比的。这本书的价值，有一半体现在其文字内容中，另一半则深深地嵌入在那些沉默而有力的练习题里。

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我必须承认，这本书的阅读体验是充满挑战，但也无比充实的。它要求读者对基础的抽象代数和点集拓扑有一定的预备知识，否则可能会在初期感到吃力。然而，一旦你克服了最初的障碍，接下来的学习过程就会变得非常顺畅。作者对构造性证明的偏爱，使得许多定理的推导过程清晰可见，每一个步骤都有其坚实的逻辑基础。书中对Sheaf（层）理论的介绍，是这本书的一大亮点，它将局部信息以一种优雅的方式组织起来，极大地简化了对复杂几何对象的研究。坦白说，我花了不少时间在消化那些关于范畴论的描述上，但最终的豁然开朗感是任何其他教材都无法比拟的。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的训练，它教会你如何用现代数学的语言去精确地描述和推理。

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这本书的排版和设计简直是艺术品。厚厚的篇幅中，数学符号的印刷清晰锐利，公式的对齐一丝不苟，这对于长时间阅读数学著作的眼睛来说是一种极大的慰藉。更重要的是，作者在阐述每一个新概念时，都会穿插一些历史背景和动机的讨论。比如，它会解释为什么黎曼需要引入这种新的视角来解决解析函数的问题，或者为什么代数几何家要放弃最初的“点”的定义而去拥抱更抽象的结构。这种叙事性的写作风格，让冰冷的数学公式仿佛有了生命和故事。它让读者明白，数学理论的发展并非一蹴而就，而是人类智慧在不断解决实际问题过程中逐步完善的结果。这本书不仅是教科书，更像是一部关于数学思想演变的编年史，值得珍藏。

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