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出版者:Springer

作者:[法]Marcel Berger

出品人:

页数:416

译者:Michael Cole

出版时间:2009-2-1

价格:USD 69.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540170150

丛书系列:universitext

图书标签:

• Geometry
• 2009
• 数学
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《几何的深邃回响》 一、 穿越时空的思想脉络 本书并非一本简单的教科书，而是一次对几何学思想史的深度探索，一次穿越古今的智识之旅。我们追溯欧几里得《几何原本》奠定的坚实基石，见证非欧几何的革命性突破如何拓展了我们对空间的认知边界，再到微分几何、代数几何等现代分支的蓬勃发展。我们试图勾勒出几何学这门古老学科如何在人类文明的长河中不断演进，如何深刻影响着数学、物理学乃至哲学思想的进程。 二、 抽象的魅力与实在的映射 几何学，作为一门研究形状、大小、位置和空间关系的学科，其魅力在于它既能抵达最纯粹的抽象之境，又能映射我们所处的实在世界。本书将带领读者领略抽象几何的优雅逻辑，理解点、线、面、体之间错综复杂的关系，以及在更高维度下的奇妙展现。同时，我们也会深入探讨几何学在物理学中的应用，从牛顿力学的空间框架到爱因斯坦广义相对论中的时空弯曲，再到现代弦理论中的高维几何。这些抽象的数学语言，是如何成为描述宇宙运行规律的强大工具，赋予了我们理解自然界宏大叙事的可能。 三、 几何的语言，宇宙的韵律 从最基础的直线与圆，到复杂的拓扑结构与流形，几何学以其独特的语言构建起一个严谨而富有想象力的世界。本书将深入浅出地剖析几何学的核心概念，例如： 点、线、面的基础构造： 回顾公理化体系的严密性，理解公理与定理之间的逻辑链条，以及它们如何构筑起几何学的宏伟大厦。 度量与变换的奥秘： 探讨欧氏几何中的距离、角度等概念，以及相似、全等、旋转、平移等几何变换所蕴含的对称性和不变性。 曲线与曲面的奇妙世界： 领略抛物线、双曲线、椭圆等经典曲线的几何特性，以及球面、扭曲面等曲面在三维空间中的迷人形态。 非欧几何的颠覆与拓展： 深入了解黎曼几何、双曲几何等非欧几何的公理系统，理解它们如何挑战了欧氏几何的唯一性，并为我们打开了看待空间的新视角。 拓扑学的“橡皮泥”几何： 探索拓扑学这一分支，它关注的是物体在连续形变下保持不变的性质，例如一个甜甜圈和一个杯子在拓扑学上是等价的。理解这种“弹性”的几何思想如何应用于分析形状的本质属性。 微分几何的“微观”视角： 剖析微分几何如何利用微积分的工具来研究光滑的曲线、曲面和流形，理解曲率、测地线等概念在描述局部形状和整体结构中的作用。 代数几何的符号之美： 介绍代数几何如何运用代数方程来描述几何对象，理解多项式方程与几何形状之间的深刻联系，以及它在抽象数学领域中的重要地位。 四、 跨学科的视野与前沿的启示 几何学的力量远不止于数学内部。本书将尝试展示几何学在其他领域的广泛影响： 物理学的基石： 从经典力学中的坐标系建立，到量子力学中 Hilbert 空间的几何表述，再到相对论中扭曲时空的几何描述，几何学始终是物理学理解宇宙运作的语言。 计算机科学的利器： 在计算机图形学、机器学习、计算机视觉等领域，几何算法和模型是构建虚拟世界、识别图像、分析数据的核心。 艺术与设计的灵感源泉： 从古希腊建筑的黄金分割，到文艺复兴透视法的运用，再到现代艺术中的抽象几何表达，几何学一直是塑造美学理念的重要力量。 哲学的深层对话： 几何学对于空间、无限、真理等基本哲学概念的探讨，激发了无数哲学家对世界本质的思考。 五、 引导性的阅读体验 《几何的深邃回响》旨在为读者提供一种引导性的阅读体验。我们避免了冗长枯燥的公式推导，更侧重于概念的阐释、思想的演进以及几何学在不同领域中的实际应用。通过生动的语言和恰当的比喻，我们力求让读者在轻松愉悦的氛围中，逐步领悟几何学的精妙之处。无论您是数学爱好者、科学探索者，还是对知识充满好奇的求知者，本书都将为您开启一扇通往几何学奇妙世界的大门，激发您对数学和宇宙的无限遐想。

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这本书的排版和装帧简直是灾难，但内容却让人欲罢不能。我必须承认，我在阅读过程中不得不反复查阅很多预备知识，因为它假定读者已经对线性代数和基础微积分了如指掌，对某些高级工具的提及颇为简略。然而，一旦跨过了初期的障碍，那种被复杂结构揭示的喜悦是无与伦比的。它巧妙地连接了代数、分析和拓扑，展示了现代数学学科的交叉性。特别是对代数拓扑中同调群的初探部分，虽然深度有限，但为后续深入学习铺设了一条清晰的路线图。我发现自己经常停下来，在草稿纸上画满了各种奇怪的图形和箭头，试图捕捉作者试图通过晦涩公式表达的几何直觉。这本书更像是一份精妙的路线图，指引你前往知识的深处，而不是直接把你抱到终点。

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这本书的魅力在于其对“美感”的追求。作者似乎并不满足于仅仅证明定理，他更关心的是几何对象内在的和谐与统一。我喜欢它对对称性和不变量的强调，这使得原本枯燥的计算过程有了一种艺术性的指导原则。在描述完具体的曲线和曲面之后，作者笔锋一转，开始探讨更抽象的空间性质，比如完备性、紧致性在几何语境下的意义。这种从具体到抽象的思维跃迁，非常锻炼人的数学抽象能力。书中的证明虽然冗长，但每一步都像是精心雕琢的工艺品，逻辑链条无可指摘。这本书让我明白，几何学远不止于画图和测量，它是一种关于形式、结构和内在秩序的深刻哲学探讨。阅读它，就像是聆听一位大师对宇宙基本形态的低语。

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对于一个非数学专业的理工科学生来说，这本书的某些章节简直是“天书”。我本来是想通过它来补习一下关于空间描述的知识，但很快发现，它涉及的数学工具远超我的预期。例如，关于辛几何的介绍部分，那复杂的泊松括号和哈密顿动力学之间的联系，对于我来说，更像是阅读一篇哲学论文而非数学教科书。这本书的叙事风格非常“欧洲古典”，严谨到近乎冷酷，缺乏现代教材中常见的互动性和趣味性。它更像是一本为已经浸淫多年的学者准备的参考手册，而非为初学者设计的入门读物。我试着跳读了一些章节，试图抓住重点，但很快就迷失在了定义和定理的汪洋大海中。它无疑是专业的，但它的“专业”可能意味着将绝大多数非专业读者拒之门外。

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这本《几何学II》简直是数学爱好者的福音，它深入浅出地剖析了高等几何的精髓。从一开始的欧几里得几何的严谨推导，到后来对非欧几何的探讨，作者的讲解逻辑清晰，层次分明。我尤其欣赏书中对于微分几何基础概念的介绍，向量场、曲率等抽象概念被赋予了直观的几何意义，让人豁然开朗。书中的例题设计得非常巧妙，既能巩固理论知识，又能激发深入思考。那些经典的拓扑学入门部分，例如关于流形的概念和分类，也处理得非常到位。读完这本书，我感觉自己对空间结构的理解达到了一个新的高度，不再满足于平面上的规则图形，而是开始用更广阔的视角去看待我们所处的宇宙。对于想要系统学习现代几何学的人来说，这本书绝对是不可多得的经典教材。

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说实话，这本书的阅读体验像是在进行一场高强度的脑力马拉松。内容密度实在太大了，每翻开一页都感觉信息量爆炸。它不像一些入门书籍那样温柔地引导读者，而是直接将你扔进了复杂的数学构造之中。例如，对射影几何的阐述，那种对偶性和变换群的讨论，需要读者具备相当扎实的代数基础才能跟上节奏。我花了大量时间去消化那些关于黎曼几何的初步概念，尤其是度量张量的引入，一开始真的让人摸不着头脑。这本书的图示相对稀少，更多依赖于文字的精确描述，这无疑增加了理解的难度。如果你期望找到一本轻松愉快的读物，那恐怕要失望了，但这对于那些寻求挑战、渴望真正掌握几何学深层原理的硬核学习者来说，无疑是一份宝贵的财富，它强迫你用最严谨的思维去构建你的几何直觉。

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